磁彈耦合扭轉(zhuǎn)波位移傳感器輸出電壓理論研究*

鮑丙豪,張小蝶,張?jiān)獎?/p>

(江蘇大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,江蘇 鎮(zhèn)江 212013)

磁致伸縮位移傳感器是一種基于磁彈性耦合效應(yīng)實(shí)現(xiàn)絕對位置測量的傳感器,以其高精度、高靈敏度、抗干擾能力強(qiáng)、適用于惡劣環(huán)境測量等優(yōu)點(diǎn),在大量程位移(或液位)測量中具有廣泛應(yīng)用。磁致伸縮位移傳感器磁彈耦合扭轉(zhuǎn)波的產(chǎn)生和接收是磁場和應(yīng)力場相互轉(zhuǎn)換的過程,涉及鐵磁學(xué)、電磁學(xué)、彈性力學(xué)相關(guān)學(xué)科理論,屬于多重場的非線性耦合問題,這給建立檢測信號與激勵源對應(yīng)關(guān)系帶來了諸多困難。近年來,針對磁致伸縮效應(yīng)的理論和實(shí)驗(yàn)研究已取得了很大進(jìn)展[1-5],但針對超磁致伸縮材料的研究較多,關(guān)于鐵基合金材料的磁致伸縮位移傳感器的理論研究文章較少。例如文獻(xiàn)[5]分析了偏置磁場對超磁致伸縮致動器輸出特性的影響;文獻(xiàn)[6]從磁疇旋轉(zhuǎn)和磁場仿真的角度解釋了磁致伸縮效應(yīng)機(jī)理;文獻(xiàn)[7]建立了輸出電壓與耦合磁場關(guān)系模型,但未能直接反應(yīng)出傳感器激勵源參數(shù)與輸出信號間關(guān)系;文獻(xiàn)[8]建立了磁致伸縮縱向?qū)Рń邮漳Ｐ?但未考慮應(yīng)力引起的材料磁導(dǎo)率的改變,且所建立的積分形式模型只有在一定條件下才能計(jì)算。

本文根據(jù)壓磁方程得出偏置場與交變場耦合位置波導(dǎo)絲所形成的應(yīng)力波,并由麥克斯韋方程組和帶阻尼項(xiàng)的吉爾伯特磁化強(qiáng)度進(jìn)動方程[9]得出磁場耦合處的波導(dǎo)絲相對磁導(dǎo)率;利用磁機(jī)效應(yīng)的Jiles-Atherton(J-A)理論得出感應(yīng)線圈所在位置的磁化強(qiáng)度變化率[10];再由法拉第電磁感應(yīng)定律,利用所求磁導(dǎo)率及磁化強(qiáng)度變化率得出線圈輸出電壓表達(dá)式,并對所求關(guān)系式進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。

1 線圈輸出電壓模型

磁彈耦合扭轉(zhuǎn)波位移傳感器結(jié)構(gòu)示意圖如圖1所示,主要包括鐵鎳合金絲,游標(biāo)磁鐵,感應(yīng)線圈,激勵回路,回波信號處理電路。傳感器的工作原理如下:鐵鎳合金波導(dǎo)絲在受到激勵脈沖電流信號產(chǎn)生的交變磁場Hi和永久磁鐵產(chǎn)生的恒定偏置磁場He共同作用下,在偏置磁場處扭轉(zhuǎn)變形,從而產(chǎn)生磁彈耦合扭轉(zhuǎn)波;扭轉(zhuǎn)波以應(yīng)力波的形式向波導(dǎo)絲兩端傳播,根據(jù)維拉利效應(yīng),感應(yīng)線圈位置波導(dǎo)絲內(nèi)應(yīng)變變化會導(dǎo)致其磁化狀態(tài)改變;由法拉第電磁感應(yīng)定律,感應(yīng)線圈會產(chǎn)生感生電動勢[11]。

圖1 磁彈耦合扭轉(zhuǎn)波位移傳感器工作原理示意圖

本文為構(gòu)建感應(yīng)線圈輸出電壓理論計(jì)算表達(dá)式,首先從磁疇的角度分析了磁致伸縮(即磁彈耦合扭轉(zhuǎn)波)產(chǎn)生機(jī)理,耦合磁場所產(chǎn)生的應(yīng)力瞬間作用在波導(dǎo)絲而產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)波。對于磁致伸縮位移傳感器波導(dǎo)絲上發(fā)生的復(fù)雜三維多場非線性耦合問題,可利用磁固耦合模型[12]將所求電磁力轉(zhuǎn)化到彈性力學(xué)方程求解,并構(gòu)建波導(dǎo)絲線材內(nèi)部微元的運(yùn)動方程。

磁疇所受耦合磁場H作用的合力可分解為軸向的正應(yīng)力σ和徑向的剪應(yīng)力τ。圖2給出了波導(dǎo)絲微元徑向和軸向受力分析示意圖,以永磁體位置為坐標(biāo)原點(diǎn),建立了圖2(a)所示坐標(biāo)系。由于波導(dǎo)絲直徑較小,扭轉(zhuǎn)后慣性矩變化小[13],并只考慮在偏置磁場處出現(xiàn)的最大的磁致伸縮效應(yīng)。根據(jù)以上約束條件,如圖2(b)所示,在耦合磁場處波導(dǎo)絲周向受扭力引起扭轉(zhuǎn)振動;如圖2(c)所示在,接收線圈處波導(dǎo)絲軸向受到應(yīng)力波傳播時(shí)正應(yīng)力作用而產(chǎn)生的軸向振動。

圖2 波導(dǎo)絲微元徑向和軸向受力分析

根據(jù)應(yīng)力分析圖,可分別建立波導(dǎo)絲微元軸向和周向的振動微分方程。設(shè)波導(dǎo)絲橫截面積為A,彈性模量為E,體密度為ρ,圓截面對其中心的極慣性矩為IP,材料的剪切彈性模量為G,設(shè)波導(dǎo)絲受到扭轉(zhuǎn)力后發(fā)生剛性轉(zhuǎn)動,其端面仍視為平面,θ表示軸上z截面相對左端面的扭轉(zhuǎn)角,T為扭矩。以dz為研究對象,分別建立正應(yīng)力σ和剪應(yīng)力τ作用下z方向的受力平衡方程如式(1)所示(本文公式均使用SI制):

(1)

結(jié)合材料力學(xué)知識可得軸向振動方程和扭轉(zhuǎn)振動方程:

(2)

式中:c2=E/ρ,v2=G/ρ。

由此可知,在磁場耦合位置處的波導(dǎo)絲將產(chǎn)生以一維超聲波形式運(yùn)動的磁彈耦合扭轉(zhuǎn)應(yīng)力波。根據(jù)維拉利效應(yīng),扭轉(zhuǎn)波傳播至接收線圈位置時(shí),將導(dǎo)致波導(dǎo)絲內(nèi)磁化強(qiáng)度改變。采用感應(yīng)線圈拾取扭轉(zhuǎn)波,根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律可知,感應(yīng)線圈將產(chǎn)生感生電動勢,電動勢Vout的大小可表示為:

(3)

式中:ψ為感應(yīng)線圈的總磁通。

設(shè)單位長度的接收線圈匝數(shù)為n,截面有效面積為S,長度為dz線圈磁通dψ為nBSdz。

壓磁效應(yīng)的線性耦合方程是描述鐵磁材料磁機(jī)耦合關(guān)系的基本理論模型,其形式如下[14]:

(4)

式中:ε為應(yīng)變量,σ為應(yīng)力,EH為恒磁場強(qiáng)度下的楊氏模量;H,B是磁場強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度,μσ為應(yīng)力作用下的磁導(dǎo)率;d=(dε/dH)|σ表示恒應(yīng)力條件下應(yīng)變分量ε關(guān)于磁場強(qiáng)度分量H的變化率;d*=(dB/dσ)|H表示恒磁場條件下磁感應(yīng)強(qiáng)度分量B關(guān)于應(yīng)力分量σ變化率。將材料的壓磁勁度常數(shù)h,和介磁隔離常數(shù)β=1/μ0μr代入式(4)可得振動源位置的磁機(jī)耦合方程:

σ=(EH-μ0μrh2)ε-μ0μrhH

(5)

即得出磁場耦合位置處的波導(dǎo)絲所受應(yīng)力。

波導(dǎo)絲在扭轉(zhuǎn)波作用下磁化狀態(tài)將改變,其磁感應(yīng)強(qiáng)度亦隨之變化。在SI制中,磁感應(yīng)強(qiáng)度用磁化強(qiáng)度表示為B=μ0(M+H),其中M、H分別為磁化強(qiáng)度和磁場強(qiáng)度。感應(yīng)線圈與后續(xù)高輸入阻抗運(yùn)算放大器相連,線圈電流忽略不計(jì),無感生磁場。由此可得線圈輸出電壓表達(dá)式為:

(6)

綜合上述分析可知,扭轉(zhuǎn)波以應(yīng)力波的形式在波導(dǎo)絲中傳播,導(dǎo)致波導(dǎo)絲磁化強(qiáng)度改變,即磁化強(qiáng)度的變化與應(yīng)力有直接關(guān)系。根據(jù)式(5)、式(6)可知,磁場耦合位置處波導(dǎo)絲磁導(dǎo)率以及感應(yīng)線圈位置的波導(dǎo)絲磁化強(qiáng)度變化率的確定是建立線圈輸出電壓模型的關(guān)鍵。

2 磁導(dǎo)率的計(jì)算

本文利用磁疇模型計(jì)算磁導(dǎo)率,根據(jù)微磁學(xué)理論,波導(dǎo)絲內(nèi)的自由能主要包括4種:外磁場能、自旋交換作用能、磁各向異性能和退磁場能[15-16]?？紤]到波導(dǎo)絲線材的飽和磁致伸縮系數(shù)λs不為零,材料中還存在殘余內(nèi)應(yīng)力σr、預(yù)應(yīng)力σ的作用,即自由能還應(yīng)包括磁應(yīng)力能。當(dāng)所加激勵頻率小于1 GHz時(shí),材料內(nèi)部的交換作用可以忽略,且對于細(xì)長直線型材料的波導(dǎo)絲不需考慮退磁場能[17]。

因此材料內(nèi)主要包括靜態(tài)的偏置磁場He和動態(tài)交變磁場h、磁晶各向異性能等效場Hk、殘余內(nèi)應(yīng)力能等效場Hσr、預(yù)應(yīng)力能等效場Hσ。靜態(tài)場作用的自由能等效場H1、交變磁場作用的自由能等效場H2的矢量表達(dá)式如式(7)所示。

(7)

波導(dǎo)絲中通入的激勵信號為周期性脈沖電流I(t),可展開為三角函數(shù)信號的各次諧波分量的疊加:

(8)

式中:ω為激勵信號頻率,IA表示脈沖信號幅值,Ip表示任意頻率下電流幅值,當(dāng)p取1時(shí)即I1為基頻電流幅值,τ表示脈寬,T表示矩形脈沖信號周期。因此電流復(fù)數(shù)與時(shí)間關(guān)系為I(t)=Ipe-jpωt,則交變磁場復(fù)數(shù)與時(shí)間的關(guān)系為H(t)=H0e-jpωt,可設(shè)由交變磁場作用的應(yīng)力分量依賴于時(shí)間的關(guān)系為σ1(t)=(Ipσ0e-jpωt)/I1,其中H0、σ0為基頻交變電流I作用下磁場與應(yīng)力幅值。當(dāng)脈沖信號的頻率或?qū)挾茸兓瘯r(shí),磁場與應(yīng)力幅值也會相應(yīng)改變,且與基波電流大小正相關(guān)。

圖3 磁疇模型及其坐標(biāo)系建立示意圖

為了確定磁疇靜態(tài)取向,本文建立了如圖3所示坐標(biāo)系,給出了波導(dǎo)絲線材內(nèi)部磁疇分布及各等效場分布示意圖,其中n方向表示靜態(tài)時(shí)的磁疇取向θ0。根據(jù)布朗方程M0×H0=0可得靜態(tài)磁疇取向滿足等式:

Hecos(θ+θ0)=(HK1+Hσ1+Hσr1)cosθsinθ

(9)

再根據(jù)所求取向以及坐標(biāo)系中等效場分量可得波導(dǎo)絲中通以交變電流時(shí)材料內(nèi)部等效場Heff在各個(gè)軸的分量表達(dá)式:

(10)

式中:HK=2K/μ0Ms,Hσ=3λsσ/μ0Ms,Hσr=3λsσr/μ0Ms,分別表示各個(gè)自由能系數(shù)。

利用所求的Heff在各軸分量并結(jié)合Maxwell方程和Landau-Lifshitz-Gilbert方程:

(11)

可得出波導(dǎo)絲材料在磁場耦合處β方向的磁化率χβ:

(12)

再通過積分法可算出y軸與z軸間的各方向磁化率平均值,進(jìn)而計(jì)算出平均相對磁導(dǎo)率μr:

(13)

式中:Heq=Hesin(θ+θ0)+(HK+Hσ+Hσr)cos2θ,H1=HK+Hσ+Hσr。

3 磁化強(qiáng)度的計(jì)算

由維拉利效應(yīng)知,應(yīng)力會改變波導(dǎo)絲內(nèi)有效磁場從而導(dǎo)致材料磁化強(qiáng)度改變。忽略線圈電流產(chǎn)生的磁場,線圈位置處波導(dǎo)絲內(nèi)僅存在因應(yīng)力波傳播導(dǎo)致的材料磁化狀態(tài)的變化。磁化強(qiáng)度對時(shí)間的變化可利用磁機(jī)效應(yīng)變化率dM/dσ與應(yīng)力變化率dσ/dt表示:

(14)

由于偏置磁場恒定,只需要考慮交變磁場產(chǎn)生的應(yīng)力分量σ1(t)的作用,即應(yīng)力變化率為dσ1/dt。

材料磁化強(qiáng)度的變化主要受應(yīng)力等效場的影響,波導(dǎo)絲在應(yīng)力作用下的磁化M(σ)相當(dāng)于在等效場Hea作用下的磁化M(Hea),可利用多晶材料的Langevin函數(shù)coth(x)-1/x表示,并考慮到應(yīng)力作用的磁化強(qiáng)度遠(yuǎn)小于飽和磁化強(qiáng)度,從而求出M(Hea)[17]:

M(Hea)=MsHea/3a

(15)

式中:a為材料無滯回磁化強(qiáng)度形狀系數(shù)。有效場Hea用能量密度U可表示為式(16):

(16)

材料的磁化主要有磁疇旋轉(zhuǎn)引起的磁化強(qiáng)度變化量Mr和疇壁位移引起的變化量MWM。當(dāng)波導(dǎo)絲內(nèi)通以高頻交變電流時(shí),疇壁因受到渦流阻尼作用而釘扎,故只需考慮疇轉(zhuǎn)所引起的磁化強(qiáng)度變化。若單位體積材料內(nèi)取向?yàn)棣鹊拇女爺?shù)為b,磁矩為m,則位于疇壁另一側(cè)與m相對的磁疇磁矩m′=mcosθ。克服釘扎所需的平均能量εpin取決于m和m′。且克服釘扎所產(chǎn)生的能量等于疇轉(zhuǎn)產(chǎn)生能量的γ倍(0<γ<1)[18]。將磁化強(qiáng)度對總釘扎能Epin進(jìn)行微分可得:

(17)

式中:V為材料體積,ζ=bγεπ(1-cosθ)/2,επ為180°壁能。

由此得到了磁化強(qiáng)度與釘扎能的關(guān)系,釘扎能將以磁彈性能形式釋放,根據(jù)材料力學(xué)知識,磁彈性能密度可表示為W=σ2/2E,將磁彈性能轉(zhuǎn)化到彈性力學(xué)中可得到磁化強(qiáng)度與應(yīng)力之間的關(guān)系:

(18)

由式(15)、(16)、(17)、(18)可得磁機(jī)效應(yīng)變化率:

(19)

式中:M0為基波交變電流下磁化強(qiáng)度,與基波電流幅值線性相關(guān)。

綜上所述,利用磁導(dǎo)率、磁機(jī)效應(yīng)變化率,并結(jié)合式(6),可求出經(jīng)過放大電路放大后的輸出電壓:

(20)

式中:η為檢測電路放大倍數(shù)。

由式(20)以及(5)可知,若給定波導(dǎo)絲的彈性模量E、體積能量系數(shù)ζ、磁化曲線形狀系數(shù)a等相關(guān)參數(shù),同時(shí)求解出波導(dǎo)絲在磁場耦合位置的磁導(dǎo)率μr,此時(shí)影響接受線圈輸出電壓的因素主要有線圈匝數(shù)n、激勵電流脈寬τ及其角頻率ω等。

圖4 扭轉(zhuǎn)波幅值與線圈匝數(shù)關(guān)系

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

本文利用實(shí)驗(yàn)平臺驗(yàn)證了接收線圈匝數(shù)、激勵脈寬、頻率對輸出電壓幅值的影響。首先在保持激勵信號的脈寬τ為16μs、頻率f為500 Hz和檢測線圈的有效面積S不變的條件下改變線圈匝數(shù)n,得出如圖4(a)所示的n從800到1 300變化對應(yīng)的扭轉(zhuǎn)波幅值變化,同時(shí)圖4(b)給出了扭轉(zhuǎn)波幅值隨匝數(shù)的變化趨勢?？梢钥闯?在800～1 200匝范圍內(nèi),線圈輸出電壓和匝數(shù)變化趨勢與數(shù)學(xué)模型吻合;當(dāng)n超過1 200時(shí),由于實(shí)際中檢測線圈采用層疊繞法,線圈匝數(shù)繼續(xù)增加導(dǎo)致漏磁增加,因此增加相同的匝數(shù)時(shí),輸出電壓變化幅度減小。另外,隨著線圈的匝數(shù)增加,系統(tǒng)檢測信號的噪聲也會隨之增大,故選擇n為1 200匝較為合適。

其次,在保證線圈匝數(shù)n為800,檢測線圈的有效面積S以及激勵信號頻率f為500 Hz不變的條件下,記錄扭轉(zhuǎn)波幅值隨激勵脈沖的脈寬τ的變化關(guān)系如圖5所示?？梢钥闯?在τ為2 μs～16 μs時(shí),輸出電壓隨脈寬的增加而增加,由于激勵電流的增加會使導(dǎo)體的磁化狀態(tài)趨于飽和,當(dāng)脈寬大于16 μs時(shí),磁感應(yīng)強(qiáng)度不再繼續(xù)增加,則輸出電壓值也趨于穩(wěn)定狀態(tài),且脈寬繼續(xù)增大導(dǎo)致系統(tǒng)功耗也增加,因此選擇τ為16 μs。

圖5 扭轉(zhuǎn)波幅值與脈寬關(guān)系

最后,控制其他參數(shù)和實(shí)驗(yàn)條件不變,改變激勵信號頻率f,得出其與扭轉(zhuǎn)波幅值的關(guān)系如圖6所示,扭轉(zhuǎn)波幅值隨激勵信號頻率的增加而增加,變化趨勢符合所求計(jì)算表達(dá)式。實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)信號頻率的增加也會導(dǎo)致系統(tǒng)噪聲增加,因此激勵頻率不宜過大。

圖6 扭轉(zhuǎn)波幅值與頻率關(guān)系

5 結(jié)論

本文從磁彈耦合位移傳感器扭轉(zhuǎn)波的產(chǎn)生出發(fā),利用鐵基合金材料的壓磁效應(yīng)將波導(dǎo)絲線材所受電磁力轉(zhuǎn)化到彈性力學(xué)中,得到材料中扭轉(zhuǎn)波的應(yīng)力方程并給出了扭轉(zhuǎn)波的運(yùn)動形式;根據(jù)電磁場在鐵磁體中分布以及鐵磁體中磁化強(qiáng)度在高頻下的進(jìn)動,并結(jié)合Maxwell方程和LLG方程,得出波導(dǎo)絲磁場耦合位置的磁導(dǎo)率;利用磁機(jī)效應(yīng)的J-A理論,考慮磁化強(qiáng)度改變是因應(yīng)力波的傳播導(dǎo)致,再利用能量守恒原理建立應(yīng)力感應(yīng)磁化強(qiáng)度模型,從而構(gòu)建傳感器接收線圈輸出電壓的理論計(jì)算模型。根據(jù)材料和實(shí)驗(yàn)的實(shí)際情況建立了坐標(biāo)系,使模型簡化。利用實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證并分析了感應(yīng)線圈匝數(shù)、激勵脈沖的脈寬、頻率對輸出結(jié)果的影響,實(shí)驗(yàn)均采用多次測量取均值方法以提高實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)準(zhǔn)確度。結(jié)果表明,激勵脈沖的脈寬、頻率,接收線圈匝數(shù)對檢測線圈輸出電壓幅值的影響均與所建模型相符。因此建立的理論計(jì)算模型對磁致伸縮位移傳感器的設(shè)計(jì)和制備具有一定的指導(dǎo)意義。

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