軸承滾動(dòng)體初始相位對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動(dòng)特性的影響

邊子方，張慈，王菲，羅忠

(東北大學(xué) a.機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院；b.航空動(dòng)力裝備振動(dòng)及控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，沈陽(yáng) 110819)

滾動(dòng)軸承是航空燃?xì)鉁u輪機(jī)等旋轉(zhuǎn)機(jī)械中的重要部件，其非線(xiàn)性特性對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)與運(yùn)行穩(wěn)定性有重要影響。在轉(zhuǎn)子系統(tǒng)運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)，由于裝配等因素的影響，軸承的滾動(dòng)體分布并不完全一致，這必然導(dǎo)致支承處的非線(xiàn)性軸承力存在差異，進(jìn)而影響轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)響應(yīng)。目前國(guó)內(nèi)外學(xué)者大多關(guān)注滾動(dòng)體個(gè)數(shù)、波紋度、游隙及表面損傷等因素對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)特性的影響。文獻(xiàn)[1]對(duì)不同滾動(dòng)體個(gè)數(shù)和波紋度下的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)進(jìn)行分析，指出軸承的滾動(dòng)體個(gè)數(shù)和波紋度是影響轉(zhuǎn)子系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)響應(yīng)的重要因素；文獻(xiàn)[2]研究了軸承波紋度的非均勻分布對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動(dòng)特性的影響；文獻(xiàn)[3]建立了考慮軸承內(nèi)外圈滾道表面波紋度的軸承模型，分析了波紋度對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)的影響，指出當(dāng)外圈的波紋度波數(shù)與滾動(dòng)體數(shù)相同時(shí)，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)會(huì)產(chǎn)生強(qiáng)烈振動(dòng)；文獻(xiàn)[4]根據(jù)分形理論應(yīng)用G-P算法計(jì)算了不同波紋度最大幅值時(shí)的關(guān)聯(lián)維數(shù)，發(fā)現(xiàn)當(dāng)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)時(shí)，隨著軸承波紋度最大幅值的增加，由系統(tǒng)位移構(gòu)成的時(shí)間序列的關(guān)聯(lián)維數(shù)相應(yīng)增大。文獻(xiàn)[5]建立了對(duì)稱(chēng)放置的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，分析了軸承游隙等因素對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動(dòng)特性的影響，指出適當(dāng)?shù)挠蜗犊梢员苊廪D(zhuǎn)子系統(tǒng)的非周期振動(dòng)；文獻(xiàn)[6]研究了軸承游隙對(duì)于滾動(dòng)軸承-偏置轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動(dòng)特性的影響；文獻(xiàn)[7]利用有限元方法在某型真實(shí)發(fā)動(dòng)機(jī)模型的基礎(chǔ)上建立復(fù)雜支承-機(jī)匣-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型，分析了軸承游隙對(duì)轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)響應(yīng)的影響，并在不同轉(zhuǎn)速和游隙下對(duì)軸承各個(gè)滾動(dòng)體的受載狀態(tài)進(jìn)行研究，指出由軸承游隙造成的滾動(dòng)體不連續(xù)的受載狀態(tài)是導(dǎo)致轉(zhuǎn)子系統(tǒng)不穩(wěn)定振動(dòng)的主要原因；文獻(xiàn)[8-9]指出滾動(dòng)軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中的次諧波頻率成分主要與非線(xiàn)性軸承力和軸承游隙有關(guān)。針對(duì)軸承表面損傷對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)響應(yīng)的影響，文獻(xiàn)[10]將軸承內(nèi)外圈與滾動(dòng)體的接觸視為彈簧阻尼單元，建立了含有軸承損傷的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，并通過(guò)試驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證；文獻(xiàn)[11]研究了軸承不同位置的損傷對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動(dòng)特性的影響，研究表明軸承損傷會(huì)引起系統(tǒng)混沌區(qū)域增加，外圈損傷對(duì)系統(tǒng)非周期運(yùn)動(dòng)影響較?。晃墨I(xiàn)[12-13]對(duì)具有軸承局部損傷的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動(dòng)特性和穩(wěn)定性進(jìn)行研究，指出當(dāng)軸承內(nèi)圈和滾動(dòng)體具有損傷時(shí)，系統(tǒng)振動(dòng)較為劇烈。

除滾動(dòng)體個(gè)數(shù)、波紋度、軸承游隙和表面損傷外，軸承潤(rùn)滑、裝配工藝等因素對(duì)于轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)也具有重要影響。文獻(xiàn)[14]基于彈性流體動(dòng)力學(xué)潤(rùn)滑理論分析了軸承潤(rùn)滑對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動(dòng)特性的影響；文獻(xiàn)[15]對(duì)航空發(fā)動(dòng)機(jī)軸承外圈的裝配工藝進(jìn)行研究，指出軸承外圈與軸承座的配合是引起發(fā)動(dòng)機(jī)振動(dòng)異常的敏感因素，而軸承外圈擰緊力矩對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動(dòng)不敏感，軸承座與外圈之間的間隙將引起系統(tǒng)次諧波、高倍頻的振動(dòng)；文獻(xiàn)[16]對(duì)渦輪風(fēng)機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)、高速機(jī)械轉(zhuǎn)子系統(tǒng)、高速發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進(jìn)行分析，指出在轉(zhuǎn)子系統(tǒng)轉(zhuǎn)速較高時(shí)，應(yīng)該考慮軸承的離心力和陀螺效應(yīng)；文獻(xiàn)[17]將軸承保持架和滾動(dòng)體看作不連續(xù)碰撞的振動(dòng)系統(tǒng)，建立了一維不連續(xù)保持架-滾子碰撞模型，對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)、運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性和可靠性進(jìn)行分析。

多數(shù)文獻(xiàn)均假定轉(zhuǎn)子系統(tǒng)兩端的軸承滾動(dòng)體在運(yùn)轉(zhuǎn)過(guò)程中分布保持一致，忽視了滾動(dòng)體分布對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)特性的影響。當(dāng)滾動(dòng)軸承滾動(dòng)體分布不一致時(shí)，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)兩端的非線(xiàn)性軸承力呈現(xiàn)非對(duì)稱(chēng)分布，會(huì)引起轉(zhuǎn)子系統(tǒng)擺振[6]；文獻(xiàn)[8]使用滾動(dòng)軸承-轉(zhuǎn)子試驗(yàn)臺(tái)進(jìn)行試驗(yàn)驗(yàn)證時(shí)，在每次試驗(yàn)前調(diào)整滾動(dòng)軸承滾動(dòng)體的分布，以保證試驗(yàn)結(jié)果和其理論分析一致。可見(jiàn)，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)兩端滾動(dòng)軸承滾動(dòng)體的分布對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)非線(xiàn)性振動(dòng)特性具有一定影響。因此，主要針對(duì)滾動(dòng)軸承滾動(dòng)體的不同分布對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)非線(xiàn)性振動(dòng)特性的影響進(jìn)行研究，以期為轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線(xiàn)性特性分析與試驗(yàn)提供參考。

1 系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

建立對(duì)稱(chēng)的軸承-剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，如圖1所示。以轉(zhuǎn)子中心為原點(diǎn)，建立固定坐標(biāo)系Oxyz，2套軸承均為SKF 6002高速深溝球軸承，假設(shè)在轉(zhuǎn)子系統(tǒng)運(yùn)轉(zhuǎn)過(guò)程中，球在溝道內(nèi)均勻分布且作純滾動(dòng)。

圖1 滾動(dòng)軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型Fig.1 Dynamic model of rolling bearing-rotor system

1.1 滾動(dòng)軸承的非線(xiàn)性接觸力

1.1.1 滾動(dòng)軸承運(yùn)動(dòng)學(xué)

滾動(dòng)軸承運(yùn)動(dòng)學(xué)模型如圖2所示，圖中：數(shù)字代表球的序號(hào)；D為軸承外徑；d為軸承內(nèi)徑；θ0為轉(zhuǎn)子靜止時(shí)1#球與x軸的初始夾角；Z為球數(shù)；ωb為球的公轉(zhuǎn)角速度；t為轉(zhuǎn)子系統(tǒng)運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)間。

(a)靜止 (b)滾動(dòng)圖2 滾動(dòng)軸承運(yùn)動(dòng)學(xué)模型Fig.2 Kinematics model of rolling bearing

設(shè)軸承內(nèi)圈角速度為ωi；外圈角速度為ωe；轉(zhuǎn)子角速度為ω。將內(nèi)圈與轉(zhuǎn)軸視為一體，外圈固定于軸承座，軸承座靜止。因此ω=ωi，ωe=0，由此可得

(1)

1.1.2 滾動(dòng)軸承非線(xiàn)性接觸力

球與溝道之間由擠壓變形而產(chǎn)生的變形載荷可根據(jù)Hertz彈性接觸理論計(jì)算[18]

Fj=Kb[δjH(δj)]1.5，

(2)

δj=xccosθj+ycsinθj-Gr，

式中：Fj為第j個(gè)球產(chǎn)生的載荷；Kb為Hertz接觸剛度；H(·)為亥維賽函數(shù)，當(dāng)函數(shù)變量大于0時(shí)，函數(shù)值為1，否則為0；δj為第j個(gè)球與溝道接觸產(chǎn)生的接觸變形量；xc為內(nèi)圈中心徑向位移；yc為內(nèi)圈中心水平位移；Gr為軸承徑向游隙；θj為第j個(gè)球的轉(zhuǎn)動(dòng)角度，相鄰兩球的轉(zhuǎn)動(dòng)角度相差2π/Z，由圖2可知

(3)

球的初始角度決定了其分布位置。

將滾動(dòng)軸承產(chǎn)生的非線(xiàn)性力Fb分解到x，y方向上可得

(4)

(5)

1.2 轉(zhuǎn)子模型

軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在運(yùn)轉(zhuǎn)過(guò)程中，球分布不均勻可能導(dǎo)致兩端軸承產(chǎn)生的非線(xiàn)性力大小不等，使轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在運(yùn)轉(zhuǎn)過(guò)程中出現(xiàn)輕微擺動(dòng)，因此模型中須考慮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的位移變化和擺動(dòng)角度變化。

1.2.1 轉(zhuǎn)子位移方程

在固定坐標(biāo)系Oxyz中，設(shè)轉(zhuǎn)子圓盤(pán)中心W的坐標(biāo)為(x,y)，圓盤(pán)質(zhì)心P的坐標(biāo)為(xP,yP)，圓盤(pán)的偏心距為e，將其運(yùn)動(dòng)看作圓盤(pán)中心W隨質(zhì)心P的平面運(yùn)動(dòng)和相對(duì)于質(zhì)心P的轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)角度為φ，如圖3所示。

圖3 轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)示意圖Fig.3 Motion diagram of rotor

圓盤(pán)質(zhì)心P的坐標(biāo)與圓盤(pán)中心W坐標(biāo)之間的關(guān)系為[19]

(6)

根據(jù)Newton定律可列出轉(zhuǎn)子平動(dòng)微分方程為

(7)

(8)

式中：m為轉(zhuǎn)子質(zhì)量；Fx，F(xiàn)y分別為轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在豎直方向和水平方向受到的徑向合力。

在轉(zhuǎn)子系統(tǒng)運(yùn)轉(zhuǎn)過(guò)程中，其承受2套軸承的非線(xiàn)性軸承力和阻尼力，由此可得

(9)

(10)

式中：F1bx，F(xiàn)2bx分別為軸承1，2產(chǎn)生的非線(xiàn)性力在豎直方向的分量；F1by，F(xiàn)2by分別為軸承1，2產(chǎn)生的非線(xiàn)性力在水平方向的分量；c為軸承阻尼系數(shù)；Fr為轉(zhuǎn)子系統(tǒng)受到的徑向外載荷。

將(9)，(10)式分別代入(7)，(8)式可得

(11)

(12)

1.2.2 轉(zhuǎn)子擺動(dòng)方程

轉(zhuǎn)子擺動(dòng)示意圖如圖4所示。假設(shè)轉(zhuǎn)子首先繞固定坐標(biāo)系Oxyz的x軸旋轉(zhuǎn)角度α，得到擺動(dòng)坐標(biāo)系Oxy′z′，然后繞擺動(dòng)坐標(biāo)系Oxy′z′的y′軸旋轉(zhuǎn)角度β，得到隨轉(zhuǎn)子擺動(dòng)的坐標(biāo)系Ox′y′z″[19-20]。

圖4 轉(zhuǎn)子擺動(dòng)示意圖Fig.4 Swing diagram of rotor

將轉(zhuǎn)子在坐標(biāo)系Ox′y′z″中的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分解至固定坐標(biāo)系Oxyz可得

(13)

式中：Lx，Ly分別為轉(zhuǎn)子沿固定坐標(biāo)系Oxyz中x，y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；Id為轉(zhuǎn)子的赤道轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；IP為轉(zhuǎn)子的極轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；rd為轉(zhuǎn)子半徑；H為轉(zhuǎn)子厚度。

由于擺動(dòng)角度α和β很小，根據(jù)動(dòng)量矩定理可得轉(zhuǎn)子系統(tǒng)擺動(dòng)微分方程為

(14)

(15)

轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在運(yùn)轉(zhuǎn)過(guò)程中承受由2套軸承的非線(xiàn)性軸承力與阻尼力形成的力矩，由此可得

(16)

(17)

式中：l為2套軸承的間距。

綜上可得轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程為

(18)

(19)

(20)

(21)

1.3 計(jì)算參數(shù)

相關(guān)參數(shù)如下：m=2.4 kg，rd=100 mm，H=16 mm，l=340 mm，e=0，Kb=7.055×109N/m，D=32 mm，d=15 mm，c=200 Nm/s，Gr=0.02 mm。采用Runge-Kutta變步長(zhǎng)數(shù)值積分方法對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動(dòng)微分方程進(jìn)行求解。設(shè)軸承1與軸承2的初始角度差為Δθ0，主要研究3種不同工況(圖5)下轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動(dòng)特性。

圖5 不同工況示意圖Fig.5 Diagram of different operation condition

2 軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動(dòng)特性分析

2.1 轉(zhuǎn)速對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動(dòng)特性影響

不同工況下軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)質(zhì)心隨轉(zhuǎn)速變化的豎直方向位移分岔圖如圖6所示,不同轉(zhuǎn)速下轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)圖如圖7—圖9所示。

圖6 位移分岔圖Fig.6 Displacement bifurcation diagram

圖7 工況1下轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)圖Fig. 7 Dynamic response diagram of rotor system under operating condition 1

圖8 工況2下轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)圖Fig.8 Dynamic response diagram of rotor system under operating condition 2

圖9 工況3下轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)圖Fig.9 Dynamic response diagram of rotor system under operating condition 3

2.1.1 工況1

從圖6a和圖7可以看出：

1)當(dāng)1 000 r/min≤n<2 400 r/min時(shí)，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)經(jīng)歷周期運(yùn)動(dòng)。圖7a中只有一個(gè)點(diǎn)，說(shuō)明系統(tǒng)處于周期運(yùn)動(dòng)。

2)當(dāng)2 400 r/min≤n<6 400 r/min時(shí)，系統(tǒng)經(jīng)歷周期運(yùn)動(dòng)和混沌運(yùn)動(dòng)。圖7b呈現(xiàn)無(wú)規(guī)則不可數(shù)的點(diǎn)集，說(shuō)明轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在n=4 900 r/min時(shí)處于混沌運(yùn)動(dòng)；圖7c呈現(xiàn)離散的點(diǎn)，圖7d呈現(xiàn)離散的譜線(xiàn)，頻率成分均為96 Hz的倍頻，證明轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在n=6 000 r/min時(shí)處于周期運(yùn)動(dòng)。

3)當(dāng)6 400 r/min≤n<9 300 r/min時(shí)，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)經(jīng)歷周期運(yùn)動(dòng)。圖7e呈現(xiàn)可數(shù)的離散點(diǎn)，證明轉(zhuǎn)子系統(tǒng)處于周期運(yùn)動(dòng)。

4)當(dāng)9 300 r/min≤n<13 200 r/min時(shí)，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)經(jīng)歷混沌運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)響應(yīng)復(fù)雜。圖7f呈現(xiàn)無(wú)規(guī)則不可數(shù)的點(diǎn)集，說(shuō)明系統(tǒng)處于混沌運(yùn)動(dòng)。

5)當(dāng)13 200 r/min≤n<13 600 r/min時(shí)，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)經(jīng)歷短暫的擬周期運(yùn)動(dòng)。圖7g中映射點(diǎn)呈現(xiàn)封閉的曲線(xiàn)，圖7h呈現(xiàn)離散譜線(xiàn)，出現(xiàn)不可通約的頻率成分，證明轉(zhuǎn)子系統(tǒng)處于擬周期運(yùn)動(dòng)。圖7h在變?nèi)岫?VC)頻率646 Hz處出現(xiàn)峰值，說(shuō)明系統(tǒng)仍以變?nèi)岫日駝?dòng)為主。

6)當(dāng)13 600 r/min≤n<15 000 r/min時(shí)，可以明顯看出轉(zhuǎn)子系統(tǒng)呈周期運(yùn)動(dòng)。

由此可知：當(dāng)軸承相位角度相同時(shí)，隨著轉(zhuǎn)速的增加，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在周期運(yùn)動(dòng)、擬周期運(yùn)動(dòng)和混沌運(yùn)動(dòng)之間交替變化。轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)的混沌區(qū)域發(fā)生在轉(zhuǎn)速2 400 r/min≤n<6 400 r/min與9 300 r/min≤n<13 200 r/min之間。

2.1.2 工況2

從圖6b和圖8可以看出：

1)在較低轉(zhuǎn)速下，系統(tǒng)經(jīng)歷周期運(yùn)動(dòng)和混沌運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)響應(yīng)比較復(fù)雜。

2)當(dāng)2 400 r/min≤n<5 500 r/min，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)經(jīng)歷周期運(yùn)動(dòng)，圖8a中呈現(xiàn)離散譜線(xiàn)，只存在VC及2VC頻率，證明系統(tǒng)處于周期運(yùn)動(dòng)。

3)當(dāng)5 500 r/min≤n<6 600 r/min，系統(tǒng)經(jīng)歷周期運(yùn)動(dòng)、擬周期運(yùn)動(dòng)和混沌運(yùn)動(dòng)。圖8b呈現(xiàn)離散的點(diǎn)，說(shuō)明轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在n=5 600 r/min時(shí)處于周期運(yùn)動(dòng)；圖8c呈現(xiàn)無(wú)規(guī)則不可數(shù)的點(diǎn)集，證明系統(tǒng)在n=5 800 r/min時(shí)處于混沌運(yùn)動(dòng)；圖8d呈現(xiàn)封閉的曲線(xiàn)，圖8e呈現(xiàn)離散的譜線(xiàn)，且出現(xiàn)不可通約的頻率成分，證明系統(tǒng)在n=6 450 r/min時(shí)處于擬周期運(yùn)動(dòng)。

4)當(dāng)6 600 r/min≤n<11 500 r/min，系統(tǒng)經(jīng)歷周期運(yùn)動(dòng)。圖8f中只有一個(gè)點(diǎn)，說(shuō)明系統(tǒng)處于周期運(yùn)動(dòng)。

5)當(dāng)11 500 r/min≤n<13 800 r/min時(shí)，系統(tǒng)經(jīng)歷擬周期運(yùn)動(dòng)。圖8g呈現(xiàn)封閉的曲線(xiàn)，圖8h呈現(xiàn)離散譜線(xiàn)，出現(xiàn)不可通約的頻率成分，證明系統(tǒng)處于擬周期運(yùn)動(dòng)，與圖7h相比，系統(tǒng)頻率成分發(fā)生變化，峰值頻率幅值降低，峰值頻率為520 Hz。

6)當(dāng)13 800 r/min≤n<15 000 r/min時(shí)，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)明顯處于周期運(yùn)動(dòng)。

由此可知：當(dāng)軸承初始角度相差10°時(shí)，隨著轉(zhuǎn)速的增加，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)響應(yīng)中存在周期和非周期(擬周期，混沌)的響應(yīng)形式，混沌區(qū)域發(fā)生在轉(zhuǎn)速較低時(shí)和5 500 r/min≤n<6 600 r/min之間。

2.1.3 工況3

從圖6c和圖9可以看出：

1)在轉(zhuǎn)速較低時(shí)，系統(tǒng)經(jīng)歷擬周期運(yùn)動(dòng)和混沌運(yùn)動(dòng)，振動(dòng)形式復(fù)雜。

2)當(dāng)1 700 r/min≤n<5 800 r/min時(shí)，系統(tǒng)經(jīng)歷周期運(yùn)動(dòng)。圖9a呈現(xiàn)可數(shù)的離散點(diǎn)，說(shuō)明轉(zhuǎn)子系統(tǒng)處于周期運(yùn)動(dòng)。

3)當(dāng)5 800 r/min≤n<7 200 r/min時(shí)，系統(tǒng)經(jīng)歷擬周期運(yùn)動(dòng)。圖9b呈現(xiàn)封閉的曲線(xiàn)，圖9c呈現(xiàn)離散譜線(xiàn)，且出現(xiàn)不可通約的頻率成分，證明系統(tǒng)處于擬周期運(yùn)動(dòng)。

4)當(dāng)7 200 r/min≤n<15 000 r/min時(shí)，轉(zhuǎn)子呈現(xiàn)周期運(yùn)動(dòng)。圖9d呈現(xiàn)離散的點(diǎn)，證明轉(zhuǎn)子系統(tǒng)處于周期運(yùn)動(dòng)。

由此可知：當(dāng)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)兩端軸承初始角度相差20°時(shí)，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在大部分轉(zhuǎn)速變化范圍內(nèi)處于周期運(yùn)動(dòng)，混動(dòng)區(qū)域只發(fā)生在轉(zhuǎn)速較低時(shí)。

2.1.4 小結(jié)

綜上分析可知：

1)在相同的轉(zhuǎn)速變化范圍內(nèi)，隨著兩端軸承初始角度差的增大，系統(tǒng)非周期運(yùn)動(dòng)響應(yīng)區(qū)域明顯縮小，且高轉(zhuǎn)速下系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)更加平穩(wěn)。從能量角度來(lái)看，轉(zhuǎn)子運(yùn)轉(zhuǎn)過(guò)程中圓盤(pán)的擺動(dòng)消耗部分能量，相當(dāng)于增加阻尼，因此使得復(fù)雜運(yùn)動(dòng)響應(yīng)減少。

2)相同轉(zhuǎn)速下，當(dāng)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)兩端軸承的球分布不同時(shí)，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)形式和頻率成分發(fā)生變化。因此，研究轉(zhuǎn)速變化對(duì)滾動(dòng)軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動(dòng)特性的影響時(shí)，應(yīng)考慮球的分布位置。

2.2 徑向載荷對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動(dòng)特性影響

不同工況下，轉(zhuǎn)速為8 400 r/min時(shí)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)隨徑向載荷變化的豎直方向位移分岔圖如圖10所示;徑向載荷Fr=55 N時(shí)，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力響應(yīng)圖如圖11所示。

圖10 n=8 400 r/min時(shí)不同工況下轉(zhuǎn)子系統(tǒng)隨徑向外載荷變化位移分岔圖Fig.10 Displacement bifurcation diagram of rotor system varying with radial external load under different operating conditions at n=8 400 r/min

圖11 Fr=55 N時(shí)不同工況下轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)圖(n=8 400 r/min)Fig.11 Dynamic response diagram of rotor system under different operating conditions when n=8 400 r/min and Fr=55 N

從圖10和圖11中可以看出：

1)兩端軸承初始角度相同，當(dāng)徑向外載荷較低時(shí)，系統(tǒng)經(jīng)歷周期運(yùn)動(dòng)、擬周期運(yùn)動(dòng)和混沌運(yùn)動(dòng)。當(dāng)12 N≤Fr≤51 N，56 N≤Fr≤89 N以及94 N≤Fr≤100 N時(shí)，轉(zhuǎn)子呈周期運(yùn)動(dòng);當(dāng)51 N

2)兩端軸承初始角度相差10°，當(dāng)徑向外載荷較低時(shí)，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)經(jīng)歷周期、擬周期、混沌運(yùn)動(dòng)。當(dāng)20 N≤Fr≤100 N時(shí)，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)呈現(xiàn)周期運(yùn)動(dòng)，振動(dòng)的頻率成分為VC頻率及2VC頻率(圖11c)。

3)兩端軸承初始角度相差20°，當(dāng)徑向外載荷較小時(shí)，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在周期運(yùn)動(dòng)與非周期運(yùn)動(dòng)之間交替變化，運(yùn)動(dòng)響應(yīng)復(fù)雜。當(dāng)20 N≤Fr≤100 N時(shí)，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)呈現(xiàn)單周期運(yùn)動(dòng)。圖11d中頻率成分只包含2VC頻率，說(shuō)明系統(tǒng)處于單周期運(yùn)動(dòng)。

綜上分析可知：在相同徑向載荷變化范圍內(nèi)，隨著兩軸承初始角度之差的增大，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)非周期運(yùn)動(dòng)響應(yīng)區(qū)域明顯縮小，徑向載荷較大時(shí)，系統(tǒng)運(yùn)行更加穩(wěn)定；當(dāng)徑向載荷相同時(shí)，隨著兩軸承初始角度差增大，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)由擬周期運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)變?yōu)橹芷谶\(yùn)動(dòng)，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)形式發(fā)生變化；因此，研究徑向載荷變化對(duì)滾動(dòng)軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動(dòng)特性造成的影響時(shí)，應(yīng)考慮球的分布情況。

2.3 質(zhì)量對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動(dòng)特性的影響

不同工況下，轉(zhuǎn)速為7 200 r/min時(shí)，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)隨質(zhì)量變化的豎直方向位移分岔圖如圖12所示；m=4 kg時(shí)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)圖如圖13所示。

圖12 n=7 200 r/min時(shí)不同工況下轉(zhuǎn)子系統(tǒng)隨質(zhì)量變化位移分岔圖Fig.12 Displacement bifurcation diagram of rotor system varying with mass under different operating conditions at n=7 200 r/min

圖13 m=4 kg時(shí)不同工況下轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)圖(n=7 200 r/min)Fig.13 Dynamic response diagram of rotor system under different operating conditions when n=7 200 r/min and m=4 kg

從圖12和圖13可以看出：

1)兩端軸承初始角度相同，質(zhì)量較低時(shí)，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在混沌運(yùn)動(dòng)和周期運(yùn)動(dòng)之間交替變化。當(dāng)4 kg≤m≤10 kg時(shí)，轉(zhuǎn)子呈現(xiàn)周期運(yùn)動(dòng)。圖13a呈現(xiàn)一個(gè)點(diǎn)，圖13b中只存在VC和2VC頻率成分，證明系統(tǒng)處于周期運(yùn)動(dòng)。

2)兩端軸承初始角度相差10°，質(zhì)量較低時(shí)，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)經(jīng)歷周期、擬周期、混沌運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)響應(yīng)復(fù)雜。當(dāng)2.4 kg≤m≤10 kg時(shí)，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)呈現(xiàn)周期運(yùn)動(dòng)。圖13c中只存在VC及2VC頻率，證明轉(zhuǎn)子系統(tǒng)處于周期運(yùn)動(dòng)，峰值頻率出現(xiàn)在VC頻率處，說(shuō)明系統(tǒng)以變?nèi)岫日駝?dòng)為主。

3)兩端軸承初始角度相差20°，質(zhì)量較低時(shí)，轉(zhuǎn)子經(jīng)歷周期運(yùn)動(dòng)和擬周期運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)響應(yīng)比較復(fù)雜。當(dāng)2.4 kg≤m≤10 kg時(shí)，轉(zhuǎn)子處于周期運(yùn)動(dòng)，圖13d中只存在2VC頻率，說(shuō)明系統(tǒng)處于單周期運(yùn)動(dòng)。

綜上分析可知：在相同的質(zhì)量變化范圍內(nèi)，隨著軸承初始角度差的增大，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)非周期運(yùn)動(dòng)響應(yīng)區(qū)域相對(duì)縮小，質(zhì)量較高時(shí)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)均處于周期運(yùn)動(dòng)；在相同質(zhì)量下，隨著兩軸承初始角度差的增大，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動(dòng)的頻率成分發(fā)生變化，峰值頻率的幅值降低，2VC頻率成分相對(duì)增強(qiáng)；因此，研究質(zhì)量變化對(duì)滾動(dòng)軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動(dòng)特性造成的影響時(shí)，應(yīng)考慮球的分布情況。

3 結(jié)論

1)軸承滾動(dòng)體的分布情況對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)影響較大。在研究轉(zhuǎn)速、質(zhì)量、外載荷變化對(duì)滾動(dòng)軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動(dòng)特性的影響時(shí)，應(yīng)考慮軸承滾動(dòng)體的分布情況。隨著軸承初始角度差的增大，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)非周期運(yùn)動(dòng)響應(yīng)區(qū)域相對(duì)減小，系統(tǒng)運(yùn)行更加平穩(wěn)。轉(zhuǎn)子的擺動(dòng)消耗部分振動(dòng)能量，相當(dāng)于增加阻尼，從而減小了轉(zhuǎn)子系統(tǒng)非周期運(yùn)動(dòng)響應(yīng)區(qū)域。

2)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)兩端軸承初始角度差影響系統(tǒng)中2倍變?nèi)岫阮l率成分，隨著軸承初始角度差的增大，系統(tǒng)中2倍變?nèi)岫阮l率成分相對(duì)增強(qiáng)，峰值頻率幅值降低。

3)在實(shí)際試驗(yàn)時(shí)，可在試驗(yàn)前調(diào)節(jié)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中軸承滾動(dòng)體的分布來(lái)避免試驗(yàn)過(guò)程中其非對(duì)稱(chēng)分布對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)特性產(chǎn)生的影響，保證試驗(yàn)結(jié)果的準(zhǔn)確性。