對(duì)一道定值問(wèn)題的探究、拓展及應(yīng)用

北京 趙 毅 劉 剛

解析幾何是一門(mén)用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題的學(xué)科，是高中數(shù)學(xué)重要內(nèi)容之一，在高考中占有重要地位．從各類(lèi)考試看，重點(diǎn)考查圓錐曲線(xiàn)的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)以及直線(xiàn)和圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系，其中定值、定點(diǎn)問(wèn)題是圓錐曲線(xiàn)中一類(lèi)重要題型，它揭示了圓錐曲線(xiàn)所固有的某些幾何或代數(shù)性質(zhì)，是歷來(lái)考試中的熱點(diǎn)問(wèn)題．下面以一道定值問(wèn)題為例，剖析其解法，并運(yùn)用特殊到一般的方法，挖掘其一般規(guī)律；同時(shí)運(yùn)用類(lèi)比的思想，嘗試在其他圓錐曲線(xiàn)中進(jìn)行推廣與拓展，供大家參考．

一、試題

(2017·綿陽(yáng)市高三第三次診斷考試)已知點(diǎn)E(-2,0)，點(diǎn)P是圓F:(x-2)2+y2=36上任意一點(diǎn)，線(xiàn)段EP的垂直平分線(xiàn)交FP于點(diǎn)M，點(diǎn)M的軌跡記為曲線(xiàn)C．

(Ⅰ)求曲線(xiàn)C的方程；

試題以圓為背景考查了橢圓的定義、直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系以及定值問(wèn)題，考查了坐標(biāo)法的運(yùn)用．試題解法靈活，內(nèi)涵豐富，是一道具有研究性學(xué)習(xí)價(jià)值的好題．

二、解法探究

解法1：由題意知F(2,0)，若直線(xiàn)AB恰好過(guò)原點(diǎn)，

則A(-3,0)，B(3,0)，N(0,0)，

若直線(xiàn)AB不過(guò)原點(diǎn)，

設(shè)直線(xiàn)AB:x=ty+2(t≠0)，A(ty1+2,y1)，

解法2:由題意知F(2,0)，m≠-1，n≠-1，

設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，N(0,y0)，

得(x1,y1-y0)=m(2-x1,-y1)，

由此可得m，n是關(guān)于x的一元二次方程

三、拓展

經(jīng)過(guò)對(duì)本題的一般化探究，可以得到下面的一組定值性質(zhì)．

證明：由題意知，m≠-1，n≠-1，

設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，N(0,y0)，

得(x1,y1-y0)=m(x0-x1,-y1)，

證明：由題意知，m≠-1，n≠-1，

整理得

由橢圓類(lèi)比到雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)，可得另外兩條性質(zhì)．

證明:由題意知，m≠-1，n≠-1，

設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，N(0,y0)，

因?yàn)锳點(diǎn)在拋物線(xiàn)C:y2=2px上，

故m+n為定值-1．

四、應(yīng)用

【例1】已知線(xiàn)段AB的兩個(gè)端點(diǎn)A，B分別在x軸，y軸上滑動(dòng)，|AB|=3，點(diǎn)M是線(xiàn)段AB上一點(diǎn)，且|AM|=1，點(diǎn)M隨線(xiàn)段AB的滑動(dòng)而運(yùn)動(dòng)．

(Ⅰ)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡E的方程；

解：(Ⅰ)設(shè)A(m,0)，B(0,n)，M(x,y)，

即(-m,n)=3(x-m,y)，

因?yàn)閨AB|=3，所以m2+n2=9，

(Ⅰ)求E的方程；

【例3】已知拋物線(xiàn)C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為4.

(Ⅰ)求拋物線(xiàn)C的方程；

解：(Ⅰ)由已知，得p=4，所以?huà)佄锞€(xiàn)C的方程為y2=8x．