立足數(shù)學(xué)本質(zhì)·聚焦知識交匯·提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)
——高考數(shù)列題型及其解法略探

寧夏 朱全林 張 興

數(shù)列是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，是高中數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)方法的匯合點(diǎn)，它在測試邏輯推理能力、理性思維水平以及考查學(xué)生創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力上具有不可替代的作用，所以研究高考數(shù)列試題的呈現(xiàn)特點(diǎn)及其解答方法，對于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)具有十分重要的現(xiàn)實(shí)意義.經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)新課標(biāo)從2007年開始到2017年，文、理36套共計(jì)57道數(shù)列考題，其中包括40道選填題、17道解答題.主要考查等差與等比數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項(xiàng)公式及求和公式，數(shù)列與函數(shù)、不等式的關(guān)系等基礎(chǔ)知識和基本技能，其中等差與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式是重點(diǎn).經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)每年的數(shù)列試題可能是2道選填題，也可能是1道解答題，平均兩年3道試題.文、理科試題的選材背景基本一致，選填題基本沒有差別，都以特殊數(shù)列為主，解答題在能力層次上要求不同，文科以基礎(chǔ)知識為主，理科兼顧綜合.通過對這些高考試題及其解法的分析總結(jié)，得出其解答應(yīng)立足于數(shù)列知識的本質(zhì)內(nèi)涵與個(gè)性特色，聚焦知識交匯綜合，突出數(shù)列的數(shù)列化、數(shù)列的方程化、數(shù)列的函數(shù)化、數(shù)列的不等式化和數(shù)列的數(shù)學(xué)建?；宕蠼忸}策略.下面通過例題加以具體說明.

一、數(shù)列的方程化解題策略

數(shù)列的方程化策略，就是分析數(shù)列問題中的數(shù)量關(guān)系，將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，然后通過列、解方程來解決問題，它集中體現(xiàn)了方程的思想.通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式是等差(或等比)數(shù)列的兩個(gè)基本公式，共涉及五個(gè)量a1，an，d(或q)，n，Sn，已知其中三個(gè)量就能夠求出另外兩個(gè)量，其中兩個(gè)基本量a1，d(或q)是關(guān)鍵.解答的一般步驟是：先用題目給出的兩個(gè)條件列方程，再用通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式將方程化簡為兩個(gè)基本量的關(guān)系式，解方程求出兩個(gè)基本量a1和d(或q)，最后由基本量a1和d(或q)求出結(jié)論.

【例1】(2017·全國卷Ⅰ理·4)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若a4+a5=24，S6=48，則{an}的公差為

( )

A.1 B.2 C.4 D.8

【例2】(2017·全國卷Ⅲ理·14)設(shè)等比數(shù)列{an}滿足a1+a2=-1,a1-a3=-3，則a4=________.

【評析】上述兩例均為“根據(jù)條件列方程、解方程求基本量a1和d(或q)、由基本量a1和d(或q)求結(jié)論”，在具體解方程時(shí)，等差數(shù)列通常作差，等比數(shù)列通常作商.主要考查等差與等比數(shù)列的基本概念和基本性質(zhì)，突出了方程思想的運(yùn)用，指向于學(xué)生邏輯思維和運(yùn)算求解能力.

二、數(shù)列的函數(shù)化解題策略

數(shù)列的函數(shù)化解題策略，就是把數(shù)列看成是一種特殊的函數(shù)，比如等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式分別看成是一次與二次函數(shù)，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式可以看成是指數(shù)型復(fù)合函數(shù).解題時(shí)充分運(yùn)用函數(shù)思想，借助于函數(shù)的圖象、性質(zhì)，既能簡化解題過程，又能保證結(jié)果的準(zhǔn)確性.

【例3】(2016·全國卷Ⅰ理·15)設(shè)等比數(shù)列{an}滿足a1+a3=10，a2+a4=5，則a1a2·…·an的最大值為_______.

所以a1a2·…·an的最大值為64．

【例4】(2010·課程標(biāo)準(zhǔn)卷文·17)設(shè)等差數(shù)列{an}滿足a3=5，a10=-9.

(Ⅰ)求{an}的通項(xiàng)公式；

(Ⅱ)求{an}的前n項(xiàng)和Sn及使得Sn最大的序號n的值.

【解析】(Ⅰ)設(shè)公差為d，由題知a1+2d=5，a1+9d=-9，解得d=-2，a1=9，數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=11-2n.

【評析】本例(Ⅰ)通過利用已知條件列、解方程組，求出通項(xiàng)公式an=11-2n；(Ⅱ)前n項(xiàng)和Sn看成n的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)配方法可以求其最大值.主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和二次函數(shù)知識，突出了函數(shù)思想的運(yùn)用，指向于學(xué)生靈活化歸能力和運(yùn)算求解能力.

三、數(shù)列的不等式化解題策略

數(shù)列的不等式化解題策略，就是把數(shù)列與不等式結(jié)合起來，以數(shù)列的通項(xiàng)與求和為背景，考查數(shù)列中的最值求解、解不等式、證明不等式和不等式恒成立問題.其解法需要把數(shù)列知識和不等式知識結(jié)合起來，最常用的就是放縮法、公式法、累加法等.

( )

A.3 B.4 C.5 D.6

【例6】(2015·安徽卷理·18)設(shè)n∈N*，xn是曲線y=x2n+2+1在點(diǎn)(1,2)處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

(Ⅰ)求數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式；

【例7】(2014·全國卷Ⅱ理·17)已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=3an+1.

四、數(shù)列的數(shù)列化解題策略

數(shù)列的數(shù)列化解題策略，就是用數(shù)列的知識解決數(shù)列問題.數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，數(shù)列遞推是其本質(zhì)內(nèi)涵和個(gè)性特色.數(shù)列遞推從內(nèi)容上看有三類，即項(xiàng)與項(xiàng)之間的遞推關(guān)系、項(xiàng)與和之間的遞推關(guān)系、和與和之間的遞推關(guān)系.從形式上看有三類，即線性遞推、分段遞推、乘積與商的遞推.從涉及的問題看，主要包括求某項(xiàng)或通項(xiàng)、求前n項(xiàng)和兩大類型.從解答方法上看，遞推化歸是關(guān)鍵，方法之一是把非等差、等比數(shù)列化歸為等差或等比數(shù)列，再利用等差或等比數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，尤其要注意整體代換的思想，其中有些題目也可以先用等差或等比數(shù)列的性質(zhì)，化簡以后再計(jì)算，能夠降低運(yùn)算的繁難度.方法之二是化歸為與特殊數(shù)列有關(guān)或具備某種方法適用的形式.比如求前n項(xiàng)和可以采用分組求和、裂項(xiàng)求和、倒序求和、錯(cuò)位相減求和等.這類題型對學(xué)生的觀察、分析、推理能力的要求較高，重在考查學(xué)生靈活化歸能力、邏輯思維能力、代數(shù)推理能力、分析問題與解決問題的能力.

【例8】(2015·全國卷Ⅱ文·5)設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a1+a3+a5=3，則S5=

( )

A.5 B.7 C.9 D.11

【例10】(2017·全國卷Ⅲ文·17)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1+3a2+…+(2n-1)an=2n.

(Ⅰ)求{an}的通項(xiàng)公式；

【評析】本例(Ⅰ)根據(jù)前后項(xiàng)的遞推關(guān)系，使用作差法即可求出通項(xiàng)公式；(Ⅱ)求和問題使用裂項(xiàng)相消法，考查了數(shù)列求通項(xiàng)與求和兩大問題的基本知識和基本方法.體現(xiàn)了數(shù)列遞推的本質(zhì)內(nèi)涵，考查學(xué)生靈活化歸能力、邏輯思維與推理能力.

五、數(shù)列的數(shù)學(xué)建模化解題策略

【例11】(2017·全國卷Ⅱ理·3)我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈

( )

A．1盞 B．3盞 C．5盞 D．9盞

【評析】本例由生活背景抽象出數(shù)列模型，讓學(xué)生感受我國古代數(shù)學(xué)的優(yōu)秀傳統(tǒng)，數(shù)學(xué)要關(guān)注生產(chǎn)和社會問題，優(yōu)秀文化的傳承對創(chuàng)新能力的培養(yǎng)將起到積極的作用，考查學(xué)生的應(yīng)用意識和模型思想，有利于學(xué)生理解數(shù)學(xué)價(jià)值和他們未來在數(shù)學(xué)上的發(fā)展.

【例12】(2017·全國卷Ⅰ理·12)幾位大學(xué)生響應(yīng)國家的創(chuàng)業(yè)號召，開發(fā)了一款應(yīng)用軟件.為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動.這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問題的答案：已知數(shù)列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一項(xiàng)是20，接下來的兩項(xiàng)是20，21，再接下來的三項(xiàng)是20，21，22，依此類推.求滿足如下條件的最小整數(shù)N：N>100且該數(shù)列的前N項(xiàng)和為2的整數(shù)冪.那么該款軟件激活碼是

( )

A.440 B.330 C.220 D.110