診斷數(shù)列問(wèn)題中的七種典型錯(cuò)解

四川 蔡勇全 劉海軍

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是歷年高考經(jīng)久不衰的熱點(diǎn)．由于本部分內(nèi)容所涉及到的概念、公式、性質(zhì)較多，而且極易混淆，因而在解題時(shí)容易出現(xiàn)“會(huì)而不對(duì)、對(duì)而不全、常做常錯(cuò)、一錯(cuò)再錯(cuò)”的現(xiàn)象．本文結(jié)合實(shí)例診斷數(shù)列問(wèn)題中的七種典型錯(cuò)解，供大家參考．

一、因忽視an=Sn-Sn-1的適用前提而致誤

【例1】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=2n2-3n+1，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．

錯(cuò)解由題意，an=Sn-Sn-1=(2n2-3n+1)-[2(n-1)2-3(n-1)+1]=4n-5．

變式1 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=3n+2，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式，并判斷數(shù)列{an}是否為等比數(shù)列．

變式2 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=aqn(a≠0，q為非零常數(shù)且q≠1)，則數(shù)列{an}為

( )

A．等差數(shù)列

B．等比數(shù)列

C．既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列

D．既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列

評(píng)注上述案例可引申得到如下特殊結(jié)論:設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn=An2+Bn(A，B為常數(shù))，則數(shù)列{an}為等差數(shù)列(反之亦成立)；若Sn=An2+Bn+C(A，B，C為常數(shù)且C≠0)，則數(shù)列{an}從第二項(xiàng)起為等差數(shù)列；若Sn=Aqn+B(A，B為非零常數(shù)且A+B=0)，則數(shù)列{an}為等比數(shù)列；若Sn=Aqn+B(A，B為非零常數(shù)且A+B≠0)，則數(shù)列{an}從第二項(xiàng)起為等比數(shù)列．

二、因忽視隱含條件而致誤

( )

剖析上述解法僅利用到a10>1這一條件，而忽視了關(guān)鍵詞中“開(kāi)始”所隱含的“a9≤1”這一信息，從而造成錯(cuò)解．

變式1 在等比數(shù)列{an}中，a6，a10是方程x2-8x+1=0的兩根，則a8等于

( )

A．1 B．-1

C．±1 D．不能確定

評(píng)注在解答變式1時(shí)，挖掘出的隱含條件是“a8>0”，在解答變式2時(shí)，挖掘出的隱含條件是“y>0”．在數(shù)列問(wèn)題中，由于眾多性質(zhì)、規(guī)律的存在，許多特殊的條件常常會(huì)隱含在待解的題目中，解答時(shí)，要注意根據(jù)數(shù)列的性質(zhì)、規(guī)律去挖掘出這些隱含的條件．

三、因?qū)?shù)列中有關(guān)概念的理解不透徹而致誤

變式1 若a，b，c是實(shí)數(shù)，則“b2=ac”是“a，b，c成等比數(shù)列”的

( )

A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充要條件

D．既不充分也不必要條件

變式2 已知x，2x+2，3x+3成等比數(shù)列，且x+1，x+5分別是等差數(shù)列{an}的第2項(xiàng)，第4項(xiàng)，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．

評(píng)注解答變式1與變式2，皆需建立在對(duì)等比數(shù)列的定義“如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比值等于同一個(gè)常數(shù)，那么該數(shù)列叫等比數(shù)列”有透徹的理解的基礎(chǔ)上，尤其是要抓住“比值”這一關(guān)鍵詞，否則僅靠“內(nèi)項(xiàng)之積等于外項(xiàng)之積”得到的結(jié)果往往是不完全符合要求的．

四、因?qū)Φ炔顢?shù)列前n項(xiàng)和公式的理解不到位而致誤

剖析上述錯(cuò)解主要體現(xiàn)在忽視了對(duì)“在等差數(shù)列中，如果公差d≠0，那么前n項(xiàng)和是關(guān)于n的二次函數(shù)(常數(shù)項(xiàng)為0)”這一結(jié)論的理解，而在上述解法中，當(dāng)k是與n無(wú)關(guān)的常數(shù)時(shí)，Sn與Tn都是關(guān)于n的一次函數(shù)，因此得到的結(jié)論就必然是不正確的．

( )

A．3 B．4 C．5 D．6

五、因忽視項(xiàng)數(shù)n的特殊性而致誤

【例5】已知{an}的前n項(xiàng)和Sn=2n2-18n+9，則Sn的最小值為_(kāi)______．

剖析上述解答忽視了n是正整數(shù)這一特殊背景，同時(shí)，Sn在取得最小值時(shí)n的取值也一定是某一個(gè)正整數(shù)值，而上述解法根本沒(méi)有考慮到這一點(diǎn)，因此造成錯(cuò)解．

正解因?yàn)楫?dāng)x=4.5時(shí)，y=2x2-18x+9取得最小值，而n∈N*，由拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可知，n=4或5時(shí)，Sn最小，最小值為S4=S5=-31．

變式2 已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=n2+λn(n∈N*)，若數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

提示因?yàn)閿?shù)列{an}是遞增數(shù)列，所以an+1-an>0對(duì)于任意n∈N*恒成立，即(n+1)2+λ(n+1)-(n2+λn)>0對(duì)于任意n∈N*恒成立，也即λ>-(2n+1)對(duì)于任意n∈N*恒成立，因?yàn)?(2n+1)的最大值為-3，所以λ>-3，故λ的取值范圍是(-3，+∞)．

評(píng)注從上述案例可以看到，忽略項(xiàng)數(shù)n為正整數(shù)這一背景，實(shí)質(zhì)就是忽略了數(shù)列的離散性，從而用連續(xù)代替離散，那么無(wú)疑會(huì)擴(kuò)大相應(yīng)函數(shù)的定義域，求出的函數(shù)最值或參數(shù)的取值范圍就會(huì)出現(xiàn)偏差．

六、因未實(shí)施分類(lèi)討論而致誤

【例6】已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)之和．

(Ⅰ)求證:S7，S14-S7，S21-S14成等比數(shù)列；

(Ⅱ)設(shè)k∈N*，試問(wèn):Sk，S2k-Sk，S3k-S2k是否能組成等比數(shù)列？

(Ⅱ)類(lèi)似(Ⅰ)題可證:Sk，S2k-Sk，S3k-S2k一定能組成等比數(shù)列．

(Ⅱ)①當(dāng)q≠-1時(shí)，對(duì)任意k∈N*，Sk，S2k-Sk，S3k-S2k一定能組成等比數(shù)列；②當(dāng)q=-1時(shí)，若k為正奇數(shù)，則Sk，S2k-Sk，S3k-S2k一定能組成等比數(shù)列；若k為正偶數(shù)，則Sk=0，S2k-Sk=0，S3k-S2k=0，此時(shí)Sk，S2k-Sk，S3k-S2k不能組成等比數(shù)列．

變式1 對(duì)于數(shù)列{rn}，若存在常數(shù)M>0，對(duì)任意的n∈N*，恒有|rn+1-rn|+|rn-rn-1|+…+|r2-r1|0)的等比數(shù)列{an}是否為Ω數(shù)列？請(qǐng)說(shuō)明理由．

綜上所述，當(dāng)01時(shí)，等比數(shù)列{an}不是Ω數(shù)列．

變式2 已知正數(shù)a，b，且a，x1，x2，…，xn，b成等比數(shù)列，求x1x2·…·xn的值．

評(píng)注數(shù)列問(wèn)題中，當(dāng)所研究的對(duì)象或結(jié)果在題目背景下存在多種可能性時(shí)，公差、公比、項(xiàng)數(shù)或其他參數(shù)常常需要進(jìn)行分類(lèi)討論，其中，公比往往是從等于1與不等于1兩個(gè)角度來(lái)討論的，公差往往是從正、負(fù)兩個(gè)角度來(lái)討論的，項(xiàng)數(shù)往往是從奇、偶兩個(gè)角度來(lái)討論的．

七、因主觀臆斷、思維定勢(shì)而致誤

【例7】已知數(shù)列15，5，16，16，28，試問(wèn):該數(shù)列的通項(xiàng)公式存在嗎？若存在，請(qǐng)指出；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

錯(cuò)解因?yàn)樵摂?shù)列沒(méi)有任何規(guī)律，所以它沒(méi)有通項(xiàng)公式．

剖析主觀上，不少解題者認(rèn)為，沒(méi)有規(guī)律的數(shù)列是沒(méi)有通項(xiàng)公式的，事實(shí)上，對(duì)于任意有限數(shù)列而言，它都是存在通項(xiàng)公式的，它的各項(xiàng)(共n項(xiàng))可以看作一個(gè)一元n次方程的根．