基于混沌Gyrator變換與壓縮感知的光學(xué)圖像加密算法

(陜西機(jī)電職業(yè)技術(shù)學(xué)院，陜西 寶雞 721001)

0 引言

隨著各國(guó)之間的交流日益頻繁，信息安全已成為當(dāng)前各國(guó)的關(guān)注焦點(diǎn)，特別是隨著計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)與互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的快速發(fā)展，使得信息被竊取變得越來(lái)越容易[1]。而數(shù)字圖像含有很多用戶想要表達(dá)的隱秘信息，是當(dāng)前用戶進(jìn)行交流的常用介質(zhì)[2]。但是，當(dāng)圖像在開放的互聯(lián)網(wǎng)中傳輸時(shí)，易被未知攻擊干擾，導(dǎo)致圖像內(nèi)容被外泄，帶給用戶諸多安全隱患[3]。為了防止數(shù)字圖像信息在互聯(lián)網(wǎng)中遭遇攻擊，保證其真實(shí)性，研究人員提出了圖像加密技術(shù)，根據(jù)當(dāng)前的研究成果可知，圖像加密方法主要集中為2類較，一種是基于混沌理論的加密技術(shù)[4-6]，另外一個(gè)是利用光學(xué)理論來(lái)加密[7-8]。如李春虎等人[4]為了擴(kuò)大加密算法的密鑰空間，設(shè)計(jì)了基于斜帳篷混沌映射和Arnold變換的圖像加密方案，首先根據(jù)明文生成密鑰，然后利用斜帳篷混沌映射和Arnold變換對(duì)圖像進(jìn)行加密，該算法引入混沌映射大大增加了密鑰空間，使密文隨機(jī)性和抗攻擊性更強(qiáng)。呂群等人[5]為了解決現(xiàn)有的一些圖像加密算法中,存在無(wú)法抵御選擇明文攻擊以及加密程度低、效率低等問(wèn)題，設(shè)計(jì)了基于混沌系統(tǒng)和動(dòng)態(tài)S-盒的圖像加密算法，依靠圖像本身進(jìn)行二維映射變換來(lái)改變像素點(diǎn)的位置，完成圖像的置亂，并根據(jù)混沌序列對(duì)置亂后的圖像進(jìn)行分組，再聯(lián)合S盒，完成圖像的擴(kuò)散。Ye等人[6]為了增強(qiáng)密文的安全性與抵御攻擊能力，通過(guò)聯(lián)合波線置換和塊擴(kuò)散方法，提出了一種新的魯棒加密方案，根據(jù)波浪特性，設(shè)計(jì)了波線置換技術(shù)，并通過(guò)二維 Arnold變換，從多個(gè)不同的方向來(lái)完成像素的置亂，并基于Arnold變換的輸出序列，設(shè)計(jì)一種新的像素?cái)U(kuò)散函數(shù)，實(shí)現(xiàn)置亂圖像的加密，實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了其算法的安全性。雖然基于混沌理論的加密算法能夠改善密文的安全性，在互聯(lián)網(wǎng)中抵御一定的攻擊能力，但是，不管是低維的混沌映射，還是高維的混沌系統(tǒng)，二者均存在迭代周期性，使得密文的安全性不佳[7]。

為了克服基于混沌理論的加密方案存在的不足，學(xué)者們又提出了光學(xué)加密方法，如肖寧等人[1]為了消除密文的輪廓顯示問(wèn)題，設(shè)計(jì)了基于圓諧分量展開與Gyrator變換域相位檢索的光學(xué)圖像加密算法，基于離軸圓諧分量展開機(jī)制，將Gyrator變換頻譜分割為零階圓諧分量與非零階圓諧分量，并利用球面相位因子來(lái)調(diào)制零階圓諧分量，輸出加密密文，隨后，引入迭代相位檢索Gyrator變換算法，對(duì)非零階圓諧分量完成編碼，輸出最終的密文，實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了其算法的合理性。楊建新等人[7]為了解決當(dāng)前基于干涉原理的光學(xué)圖像加密算法因存在輪廓顯現(xiàn)導(dǎo)致其安全性不高的問(wèn)題，設(shè)計(jì)了雙光束疊加與差異模的光學(xué)圖像加密算法，基于Gyrator變換,將明文變成一個(gè)Gyrator頻域的復(fù)雜函數(shù)，隨后引入矢量分解方法，將Gyrator頻域復(fù)雜函數(shù)進(jìn)行差異分解,輸出幅度與相位不均等的2個(gè)矢量成分，利用2個(gè)相位掩碼對(duì)矢量成分進(jìn)行調(diào)制,將其從頻域變?yōu)榭沼?將其相位部分視為私密，而幅度部分視為最終加密密文。Wang等人[8]為了增強(qiáng)密文的安全性，消除對(duì)稱加密方法的不足，提出了基于改進(jìn)的幅度-相位恢復(fù)機(jī)制的非對(duì)稱光學(xué)圖像加密技術(shù)，通過(guò)利用不同的初始條件迭代Logistic映射，輸出2個(gè)混沌掩碼，將二者作為公共密鑰，隨后，對(duì)幅度-相位檢索方法進(jìn)行改進(jìn)，完成圖像的加密，獲取一個(gè)實(shí)值密文，便于存儲(chǔ)與管理，測(cè)試數(shù)據(jù)表明了其加密方法的可靠性。

但是，上述光學(xué)加密技術(shù)均忽略了明文自身的特性，使其低于明文攻擊能力不佳，對(duì)此，本文基于混沌Gyrator變換與壓縮感知的光學(xué)圖像加密算法。為了增強(qiáng)算法與明文的聯(lián)系，本文利用明文像素來(lái)迭代Logistic映射，利用其輸出的混沌序列來(lái)生成壓縮感知的測(cè)量矩陣；同時(shí)，為了降低密文的數(shù)據(jù)容量，引入壓縮感知理論，對(duì)明文進(jìn)行數(shù)據(jù)降維處理，得到一個(gè)緊湊的中間密文；最后，根據(jù)明文像素迭代logistic映射的數(shù)組來(lái)計(jì)算Gyrator變換的旋轉(zhuǎn)角度，并結(jié)合隨機(jī)相位掩碼，利用Gyrator變換方法對(duì)中間密文完成光學(xué)調(diào)制，得到最終密文。租后，測(cè)試了所提光學(xué)加密技術(shù)的安全性。

1 壓縮感知[9-10]

隨著信息時(shí)代的到來(lái)，人們對(duì)信息需求量越來(lái)越大，使得信號(hào)采樣率、傳輸和存儲(chǔ)實(shí)現(xiàn)的壓力越來(lái)越大[9]。而壓縮感知CS(Compressed Sensing)在采樣方面有獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)，它可以利用比Nyquist采樣理論更少的樣本來(lái)重建信號(hào)。為了確保重建成功，信號(hào)應(yīng)該是稀疏的或可壓縮的[10]，對(duì)于一維信號(hào)x∈RN，其可以表示為：

(1)

其中:ξ代表N×1維向量的加權(quán)系數(shù)；φ是一個(gè)正交變換矩陣；φi是φ的正交基。

在式(1)中，若ξ只存在K(K<

y=φφξ=Θξ

(2)

其中:φ是一個(gè)M×N維的測(cè)量矩陣，它與φ無(wú)關(guān)。

為了正確恢復(fù)ξ，重構(gòu)矩陣Θ應(yīng)滿足K的嚴(yán)格等距性質(zhì)：

(3)

其中:δK∈[0 1]是等距常量。

最后，通過(guò)求解以下非凸優(yōu)化問(wèn)題，可以以較高的概率恢復(fù)原始信號(hào)：

(4)

取信號(hào)商都512，稀疏度為25%，測(cè)量長(zhǎng)度為5×5，且頻域稀疏為零時(shí)，信號(hào)的重構(gòu)效果見(jiàn)圖1。依圖可知，CS的信號(hào)恢復(fù)準(zhǔn)確度較為理想，與初始信號(hào)曲線的擬合度較高。

圖1 CS的信號(hào)恢復(fù)測(cè)試

2 Gyrator變換

積分變換[1]由于其含有變換參數(shù)，可以被視為加密鑰，有效擴(kuò)大密鑰空間，在圖像加密中得到廣泛應(yīng)用。若變換角度為α，則圖像fi(xi,yi)的Gyrator變換為[1]：

O(x0,y0)=Gα[fi(xi,yi)](x0,y0)=

(5)

式中，gα()是Gyrator變換算子；(x,y)為輸入坐標(biāo)；(u,v)為輸出坐標(biāo)；o(x,y)是復(fù)雜場(chǎng)函數(shù)。

另外，gα()的逆變換|o0|為：

g-α(o(x,y))=g2π-α(o(x,y))

(6)

(7)

初始圖像經(jīng)過(guò)P1與GT系統(tǒng)后，輸出的編碼結(jié)果在P2中：

?o(x,y)exp

(8)

其中:λ是光波波長(zhǎng)。

圖2 Gyrator變換的光學(xué)系統(tǒng)

3 本文光學(xué)圖像加密算法

所提的基于混沌Gyrator變換與壓縮感知的光學(xué)圖像加密算法主要包括3個(gè)過(guò)程：(1)利用Logistic映射來(lái)形成測(cè)量矩陣；(2)基于壓縮感知的明文預(yù)處理；(3)基于混沌Gyrator變換的圖像加密。具體過(guò)程如下：

1)令初始明文圖像為f(x,y)，其尺寸為h×l；隨后，引入Logistic映射，對(duì)其迭代，以形成隨機(jī)序列x={x1,x2,...xh×l}：

xn+1=μxn(1-xn)

(9)

其中:μ∈[0,4]是混沌行為控制參數(shù)；xn∈[0,1]、x0分別是輸出值與初始值。

為了增強(qiáng)密文的抗明文攻擊能力，本文利用明文像素來(lái)計(jì)算Logistic映射的x0：

(10)

其中:T是明文的像素?cái)?shù)量。

2)根據(jù)x0與μ1，對(duì)式(9)完成迭代，形成隨機(jī)序列x={x1,x2,...xh×l}。并將x={x1,x2,...xh×l}排列為一個(gè)矩陣，將其作為測(cè)量矩陣φ：

(11)

3)根據(jù)式(11)的測(cè)量矩陣φ，基于“1壓縮感知”，對(duì)圖像f(x,y)進(jìn)行壓縮，獲取預(yù)處理圖像fCS(x,y)；

(12)

(13)

6)根據(jù)參數(shù)α1,α2，以及混沌掩碼RPM1、RPM2，根據(jù)圖3所示的光電混合裝置，對(duì)預(yù)處理圖像fCS(x,y)完成2級(jí)Gyrator變換，輸出密文C(x′,y′)：

C(x′,y′)=Gα1{Gα2{fCS(x,y)×RPM1}×RPM2}

(14)

圖3 所提算法的光電混合結(jié)構(gòu)

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

為了測(cè)試本文加密方法的安全性與抗明文攻擊能力，借助Matlab 6.5軟件完成實(shí)驗(yàn)，同時(shí)，將當(dāng)前較為先進(jìn)的光學(xué)加密方案作為對(duì)照組：文獻(xiàn)[1]與文獻(xiàn)[7]，以突出所提技術(shù)的優(yōu)勢(shì)。進(jìn)行實(shí)驗(yàn)的參數(shù)為：光學(xué)波長(zhǎng)λ=623.8 nm，混沌參數(shù)u1=3.68,u2=3.95，焦距z=0.5 m。

4.1 光學(xué)圖像加密效果

將圖4(a)視為本次實(shí)驗(yàn)的對(duì)象，其尺寸為256×256，隨后，基于所提技術(shù)、文獻(xiàn)[1]以及文獻(xiàn)[7]對(duì)其完成光學(xué)加密，結(jié)果見(jiàn)圖4(b)～4(e)。依據(jù)測(cè)試結(jié)果可知，文獻(xiàn)[1]的輸出結(jié)果與所提算法、文獻(xiàn)[7]不同，其輸出2個(gè)密文，而本文算法與文獻(xiàn)[7]均為一個(gè)密文；而且三種技術(shù)的加密效果都比較好，明文信息得到了很好的隱藏，非法用戶難以從中直接獲取相關(guān)線索。

主觀評(píng)估難以具體量化三者的優(yōu)劣，為此，本文引入信息熵值[1]來(lái)評(píng)估，測(cè)試數(shù)據(jù)見(jiàn)表1。根據(jù)表中數(shù)據(jù)可知，文獻(xiàn)[1]的密熵值最高，分別為7.995 2、7.996 7，而本文算法密文熵值略低于文獻(xiàn)[1]，約為7.996 1，文獻(xiàn)[7]的密文熵值最低，約為7.993 7。原因是文獻(xiàn)[1]利用了離軸圓諧分量展開機(jī)制將Gyrator變換頻譜分割為零階、非零階圓諧分量，并利用球面相位因子，對(duì)零階圓諧分量進(jìn)行調(diào)制，形成相應(yīng)的密文，充分破壞了加密系統(tǒng)的線性關(guān)系，將兩個(gè)密文分發(fā)給兩個(gè)不同的用戶，使其安全性最高。而本文算法則是利用明文像素來(lái)計(jì)算Gyrator變換的旋轉(zhuǎn)角度以及相應(yīng)的相位掩碼，對(duì)明文進(jìn)行二級(jí)Gyrator變換加密，顯著增強(qiáng)了密文與明文的關(guān)系，充分消除了加密系統(tǒng)的線性特征，使其具備較高的安全性。而文獻(xiàn)[7]則是利用矢量分解方法將Gyrtor頻譜分割為兩個(gè)不同的成分，通過(guò)2個(gè)相位掩碼對(duì)矢量成分進(jìn)行調(diào)制，從而完成加密，雖然矢量分解能夠破壞系統(tǒng)的線性關(guān)系，但是其結(jié)果僅保留在一個(gè)純POS掩碼中，使其安全性較低。

圖4 不同算法的光學(xué)加密結(jié)果

表1 密文熵值的測(cè)試果

4.2 抗選擇明文攻擊能力測(cè)試

選擇明文攻擊是是當(dāng)前互聯(lián)網(wǎng)中較為常見(jiàn)的攻擊類型，對(duì)密文安全威脅較大，因此，優(yōu)異的加密技術(shù)應(yīng)可充分抵御選擇明文攻擊[2]。根據(jù)當(dāng)前的研究成果可知，NPCR、UACI曲線[2]是衡量加密技術(shù)的抗選擇明文攻擊能力的經(jīng)典指標(biāo)。由文獻(xiàn)[2]可知，NPCR,UACI函數(shù)為:

(15)

(16)

(17)

式中，W,H分別是初始圖像的高度與寬度；I,I′分別代表兩個(gè)明文經(jīng)加密處理后的兩個(gè)密文，且這兩個(gè)明文都只存在一個(gè)相異灰度值[2]。

以圖4(a)為對(duì)象，將其 (126, 12)處的像素值212改為21，剩余像素不變，并通過(guò)本文算法，文獻(xiàn)[1]和文獻(xiàn)[7]對(duì)篡改前后的明文完成加密，根據(jù)式(15)～ 式(16)，形成3種方案的NPCR、UACI曲線，結(jié)果見(jiàn)圖5。按照輸出的測(cè)試數(shù)據(jù)可知，本文光學(xué)加密算法的的抗明文攻擊能力最強(qiáng)，其穩(wěn)定的密文NPCR、UACI值都是最大的，分別為99.81%, 35.79%，而文獻(xiàn)[1]、文獻(xiàn)[7]兩種技術(shù)的抗選擇明文攻擊能力較弱，對(duì)應(yīng)的NPCR、UACI值均要小于本文算法。主要是因?yàn)楸疚墓鈱W(xué)加密過(guò)程均與明文緊密相連，使其對(duì)于不同的初始圖像，會(huì)得到不同的加密密鑰，導(dǎo)致其難以獲取正確密鑰，無(wú)法對(duì)密文進(jìn)行破譯，本文方案利用初始圖像的像素來(lái)迭代Logistic映射，根據(jù)去輸出的隨機(jī)序列來(lái)壓縮初始圖像，已經(jīng)計(jì)算二級(jí)Gyrator變換的兩個(gè)旋轉(zhuǎn)角度，當(dāng)攻擊者利用其它圖像來(lái)攻擊時(shí)，因著明文的不同，使得攻擊者得到的密鑰均為錯(cuò)誤的。而文獻(xiàn)[1]、文獻(xiàn)[7]兩種技術(shù)的加密過(guò)程均沒(méi)有考慮明文自身特性，使其加密密鑰對(duì)明文不敏感。

圖5 三種算法的抗選擇明文攻擊能力測(cè)試

4.3 密鑰敏感性測(cè)試

良好的加密算法應(yīng)滿足嚴(yán)格的“雪崩效應(yīng)”，即使密鑰發(fā)生極其微小的變化，攻擊者也是無(wú)法得到正確的解密圖像[1]。對(duì)此，本文驗(yàn)證了混沌控制參數(shù)u2=3.95的敏感性，通過(guò)一個(gè)偏差Δt=10-16對(duì)u2=3.95進(jìn)行修改，形成兩個(gè)錯(cuò)誤的密鑰u2=3.95-10-16和u2=3.95+10-16，剩余的密鑰均不變。再借助正確密鑰以及兩組錯(cuò)誤密鑰來(lái)復(fù)原圖4(b)，輸出結(jié)果和對(duì)應(yīng)的MSE曲線如圖6所示。根據(jù)測(cè)試數(shù)據(jù)可知，即使u2=3.95發(fā)生了10-16這樣極其微小的修改，仍然是不能對(duì)密文進(jìn)行破譯。只有當(dāng)密鑰沒(méi)有偏差時(shí)，才能正確破譯密文，此時(shí)的MSE曲線出現(xiàn)突變，其值接近零。這說(shuō)明所提光學(xué)加密技術(shù)具備強(qiáng)烈的密鑰敏感性。

圖6 所提算法的密鑰敏感性測(cè)試

4.4 加密算法的實(shí)際應(yīng)用

醫(yī)學(xué)圖像對(duì)于醫(yī)生判斷病情至關(guān)重要，若圖像在網(wǎng)絡(luò)傳輸中遭受攻擊，則會(huì)嚴(yán)重影響圖像的質(zhì)量，對(duì)于病情的判斷不利。為此，本文以B超圖像為例，其尺寸為256×256，見(jiàn)圖7(a)；根據(jù)式(10)可計(jì)算初值x0=0.65；設(shè)置u1=3.68,u2=3.95，根據(jù)算法過(guò)程，可得到Gyrator變換的兩個(gè)旋轉(zhuǎn)角度α1=0.51°,α2=0.63°。依據(jù)式(13)，得到的兩個(gè)隨機(jī)掩碼分別見(jiàn)圖7(b)和圖7(c)。再設(shè)置光學(xué)變換參數(shù)：光學(xué)波長(zhǎng)λ=623.8 nm，混沌參數(shù)u1=3.68,u2=3.95，焦距z=0.5 m。根據(jù)式(14)，獲取相應(yīng)的密文，見(jiàn)圖7(d)。

若圖7(a)在網(wǎng)絡(luò)中遭遇噪聲與模糊攻擊，見(jiàn)圖7(e)和圖7(f)，嚴(yán)重降低了圖像質(zhì)量，給醫(yī)生的準(zhǔn)確判斷病情帶來(lái)不利影響。但是，若本文算法的密文遇到噪聲與模糊攻擊后，根據(jù)所以算法的密鑰，對(duì)其復(fù)原，結(jié)果見(jiàn)圖7(g)和圖7(h)。由圖可知，所提算法充分混淆了醫(yī)學(xué)圖像信息，即使其在網(wǎng)絡(luò)中遇到噪聲與模糊攻擊，其影響的也只是加密密文而已，只要用戶利用正確的密鑰對(duì)其解密，既可獲得清晰完整的圖像。

圖7 所提算法的實(shí)際應(yīng)用測(cè)試

5 結(jié)論

為了提高加密算法對(duì)初始明文的敏感性，增強(qiáng)密文的抗選擇明文攻擊能力，本文設(shè)計(jì)了混沌Gyrator變換耦合壓縮感知的光學(xué)圖像加密算法。通過(guò)明文像素來(lái)迭代Logistic映射，利用其輸出的混沌序列來(lái)生成壓縮感知的測(cè)量矩陣；并根據(jù)測(cè)量矩陣，利用壓縮感知技術(shù)對(duì)明文進(jìn)行預(yù)處理，增強(qiáng)算法與明文的關(guān)系，有效降低密文的數(shù)據(jù)容量；最后，利用兩個(gè)不同的隨機(jī)序列來(lái)計(jì)算Gyrator變換的兩個(gè)旋轉(zhuǎn)角度，結(jié)合相位掩碼，對(duì)預(yù)處理結(jié)果完成二級(jí)光學(xué)調(diào)制，完成圖像的加密。所提算法不僅有效破壞了整個(gè)密文的線性特性，而且對(duì)明文十分敏感。測(cè)試結(jié)果驗(yàn)證了所提光學(xué)加密技術(shù)的安全性。