變形協(xié)調(diào)條件下非線性破壞準(zhǔn)則的加筋土坡臨界高度上限解

胡衛(wèi)東，譚建輝，曾律弦，張?zhí)﹣?.湖南理工學(xué)院土木建筑工程學(xué)院，湖南 岳陽 44006；. 湖南大學(xué)巖土工程研究所，湖南 長沙 4008；.香港大學(xué)土木工程系，香港 999077)

土工合成加筋材料已廣泛應(yīng)用于邊坡、路堤和擋土墻等工程結(jié)構(gòu)中，其穩(wěn)定性分析理論與方法的研究一直受到人們關(guān)注，極限分析上限法無需準(zhǔn)確確定破壞機(jī)構(gòu)內(nèi)部的應(yīng)力分布，而且能滿足材料本構(gòu)關(guān)系、位移和邊界條件，因此成為分析加筋邊坡穩(wěn)定性的一種有效方法。

在已有加筋邊坡穩(wěn)定性理論研究中，多數(shù)都局限于線性Mohr-Coulomb破壞準(zhǔn)則，然而，巖土介質(zhì)服從非線性破壞準(zhǔn)則，線性破壞準(zhǔn)則只是其中一個(gè)特例[1～4]，非線性強(qiáng)度是巖土體非常重要的材料強(qiáng)度特性，對巖土工程力學(xué)行為有重要影響，因此，在極限分析方法中引入非線性破壞準(zhǔn)則進(jìn)行加筋邊坡穩(wěn)定性研究更符合實(shí)際工程需要。

國內(nèi)外學(xué)者利用極限分析上限理論研究加筋土邊坡穩(wěn)定性已取得很多重要成果，Porbaha等[5～6]基于上限理論采用對數(shù)螺旋面破壞機(jī)構(gòu)研究了加筋土坡的臨界高度，并利用離心模型試驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證研究；Jewell等[7]利用極限分析理論給出了加筋陡坡的設(shè)計(jì)圖表；Michalowski等[8～9]、Radoslaw等[10～11]假設(shè)筋材的破壞形式為拉伸破壞，通過計(jì)算滑動(dòng)層內(nèi)筋材拉力所做的功對加筋土進(jìn)行了研究；崔新壯等[12]研究了3種不同布筋模式對土坡臨界高度及滑裂面形狀與位置的影響；吳雄志等[13]假設(shè)筋材為拔出破壞，建立了通過坡角滑動(dòng)破裂面的土工織物加筋土坡穩(wěn)定性的上限解；闕云等[14]結(jié)合豎直條分平移破壞機(jī)構(gòu)建立加筋路堤穩(wěn)定性計(jì)算公式，探討了多種因素對穩(wěn)定性的影響；鄧國瑞等[15]在非關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則下研究了加筋土邊坡的穩(wěn)定性問題；李秀娟等[16]基于廣義塑性理論的上限法研究了筋材能量耗散的計(jì)算。加筋邊坡內(nèi)土工筋材的能量耗散計(jì)算是應(yīng)用極限分析上限方法確定其臨界高度的關(guān)鍵，上述研究成果在一定程度上反映了水平分布筋材的力學(xué)變形機(jī)理，但并沒有充分考慮到極限狀態(tài)下滑動(dòng)破壞面上筋材與土體會(huì)產(chǎn)生協(xié)調(diào)變形，致使加筋邊坡相應(yīng)協(xié)調(diào)變形下的許可速度場發(fā)生改變，筋材能量耗散計(jì)算公式也產(chǎn)生相應(yīng)變化，其臨界高度確定方法必然存在較大差別。因此，針對滑動(dòng)破壞面上筋材與土體協(xié)調(diào)變形的特點(diǎn)展開深入研究，正是本文研究的核心內(nèi)容。

為此，本文將結(jié)合加筋土坡的工程性質(zhì)和力學(xué)變形機(jī)理，考慮破壞間斷面滑動(dòng)層上筋材與土體變形協(xié)調(diào)特點(diǎn)及速度變化的連續(xù)性，分開計(jì)算素土內(nèi)力功和間斷面上筋材能量耗散功率，基于非線性破壞準(zhǔn)則和外切線法，利用上限分析理論建立直線破裂面和對數(shù)螺線破裂面的加筋土坡臨界高度計(jì)算模型，以期完善加筋土坡穩(wěn)定性分析理論與方法。

1 非線性破壞準(zhǔn)則

Zhang等[17]建立了Power-law非線性破壞準(zhǔn)則來描述巖土材料的非線性強(qiáng)度關(guān)系，其表達(dá)式如下：

(1)

式中：c0，σt，m——巖土材料參數(shù)；

c0——曲線與縱軸的截距；

-σt——曲線與橫軸的截距。

曲線恒定通過(0，c0)和(-σt，0)兩點(diǎn)，m決定了曲線的彎曲程度，如圖1所示。m=1時(shí)，式(1)則轉(zhuǎn)變?yōu)榫€性破壞準(zhǔn)則。

圖1 非線性破壞準(zhǔn)則曲線及切線Fig.1 Curve of a nonlinear failure criterion and its tangential line

對式(1)求導(dǎo)可得σn-τ曲線的切線斜率，切線完全位于破壞曲線外側(cè)，切線斜率(曲線的曲率)隨著σn的增加而逐步減?。?/p>

(2)

在上限分析中，經(jīng)常有學(xué)者采用“在結(jié)構(gòu)的任何部分提高材料的屈服極限，不會(huì)降低結(jié)構(gòu)的極限荷載”這一思想，由真實(shí)屈服面的外接屈服面計(jì)算得到的極限荷載，也將是真實(shí)極限荷載的上限解[18～19]。因此，在按實(shí)際屈服條件求解問題有困難的情況下，基于非線性破壞準(zhǔn)則的上限分析可采用外切直線法，相應(yīng)提高巖土材料的屈服強(qiáng)度來獲得上限解，這種外切直線破壞準(zhǔn)則下的上限解一定為真實(shí)的非線性破壞準(zhǔn)則極限荷載的上限。

外切直線L的方程式為：

τ=ct+tanφtσn

(3)

式中：ct，tanφt——切線的截距和斜率。

如圖1所示，ct，tanφt的表達(dá)式為：

(4)

(5)

2 筋材的能量耗散分析方法

加筋土坡內(nèi)筋材的能量耗散分析方法是應(yīng)用極限上限分析理論確定其臨界高度的關(guān)鍵，為了建立合理的筋材能量耗散分析方法，首先作如下基本假定：

(1)n層筋材均勻水平布置在土坡內(nèi)，土體內(nèi)摩擦角為φ，基于小變形條件下，加筋土坡問題可視為平面問題；

(2)假定破壞間斷面上筋材與土體變形協(xié)調(diào)，邊坡土體達(dá)到極限狀態(tài)破壞時(shí)，筋材產(chǎn)生拉伸斷裂破壞，且筋材有足夠的錨固長度而不被拔出；

(3)土體服從相關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則，且本文的水平加筋材料為土工格柵、土工織物等柔性筋材，即不考慮其抗彎剛度的影響。

基于以上假定對筋材的能量耗散進(jìn)行分析，取破壞間斷面上的Δl微段作為研究對象，由于不考慮筋材的抗彎剛度,筋材只能承擔(dān)拉力，隨著荷載的增加,滑動(dòng)層內(nèi)的筋材會(huì)隨土體的滑動(dòng)變形而逐漸改變其受拉方向。加筋土體達(dá)到極限狀態(tài)時(shí)沿著某一速度間斷面破壞，筋材與土體在間斷面薄滑動(dòng)層上將會(huì)產(chǎn)生協(xié)調(diào)變形，為了最大程度地阻止土體發(fā)生滑動(dòng)，變位后薄滑動(dòng)層內(nèi)筋材的方向應(yīng)被動(dòng)調(diào)整為與滑塊間斷速度[V]相反的方向[20～21]，如圖2所示。設(shè)薄滑動(dòng)層厚度為t，破壞間斷面與水平方向的夾角為ξ，本文假定土體服從相關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則，則間斷速度[V]與間斷面成φ夾角。同理，當(dāng)破壞間斷面為對數(shù)螺線面時(shí),滑動(dòng)層內(nèi)變位后的筋材方向與該處的曲率半徑相垂直。

圖2 微段Δl內(nèi)筋材的能量耗散Fig.2 Energy dissipation of reinforcement in segment Δl

設(shè)筋材變位前采用均勻布筋模式，豎向等距離布置水平筋材，如圖3所示，加筋層單位寬度極限抗拉強(qiáng)度為Tt，則加筋土坡內(nèi)筋材的平均抗拉強(qiáng)度kt可以表示為：

圖3 布筋模式Fig.3 Reinforcement distribution modes

(6)

(7)

式中：d——筋材豎向間距；

H——加筋土坡高度。

筋材與土體產(chǎn)生協(xié)調(diào)變形后，滑動(dòng)破壞層內(nèi)筋材的間距d′可由圖2中的幾何關(guān)系求得，即：

(8)

(9)

當(dāng)運(yùn)動(dòng)滑塊相對于靜止滑塊運(yùn)動(dòng)時(shí)，在速度間斷面這一薄滑動(dòng)層內(nèi)，從相對靜止部分過渡到相對運(yùn)動(dòng)部分，筋材上任意連續(xù)點(diǎn)的速度方向與間斷面成φ角，其大小滿足變化的連續(xù)性，這里假設(shè)其為簡單的線性變化，表達(dá)式為：

(10)

式中：s——筋材上任意點(diǎn)變位后在滑動(dòng)層內(nèi)的長度；

V——滑動(dòng)層內(nèi)筋材任意點(diǎn)的速度矢量；

[V]——間斷速度矢量。

(11)

于是，可求得土坡內(nèi)單層筋材每單位寬度的能量耗散率為：

(12)

綜合上述，聯(lián)立式(9)與(12)則可求出間斷面上單位面積的筋材能量耗散率dr′：

(13)

3 直線破裂面加筋土坡

對于加筋土坡，假定土坡的破裂面為直線破裂面，如圖4所示的屈服機(jī)構(gòu)，剛性滑塊ABC沿AB面下滑，間斷速度為[V]，其方向與破裂面成φ角。ABC剛性滑塊在自重作用下的外力功率為：

圖4 直線破裂面屈服機(jī)構(gòu)-速度場Fig.4 Failure mechanism for a linear crack surface

(14)

式中：β——邊坡坡角；

γ——土體重度；

θ——直線滑裂面與水平面的夾角。

加筋土坡內(nèi)能耗散率包括兩部分，一部分為AB速度間斷面上能量耗散率，其表達(dá)式為：

(15)

式中：c——巖土體黏聚力。

另外一部分為筋材的能量耗散，因直線破裂面機(jī)構(gòu)中ξ夾角與θ夾角相等，于是可得筋材的能量耗散率為：

(16)

(17)

(18)

(19)

基于非線性破壞準(zhǔn)則，采用其破壞曲線的強(qiáng)度參數(shù)ct和φt，代入式(19)則可得非線性破壞準(zhǔn)則下加筋土坡臨界高度表達(dá)式為：

(20)

非線性破壞強(qiáng)度準(zhǔn)則中，ct和φt參數(shù)隨應(yīng)力狀態(tài)σn大小而變化，將式(4)和式(5)代入式(20)，臨界高度H可表示為以θ及φt為變量的函數(shù)式，即：

H=H(θ，φt)

(21)

(22)

將求解獲得的θ及φt代入式(21)，即得土坡臨界高度上限解：

Hc=H(θ，φt)min

(23)

4 對數(shù)螺線破裂面加筋土坡

加筋土坡穩(wěn)定性分析經(jīng)常按對數(shù)螺線曲面或圓弧滑動(dòng)面進(jìn)行研究。這里假定滑動(dòng)破裂面為通過坡腳A的對數(shù)螺線面AB，如圖5所示的屈服破壞機(jī)構(gòu)，破裂面的曲線方程可表示為式(24)，機(jī)動(dòng)許可速度場為剛性滑塊ABC繞極點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)模式，速度間斷面上任意點(diǎn)的間斷速度由式(25)表示。

圖5 對數(shù)螺線破裂面屈服機(jī)構(gòu)Fig.5 Failure mechanism for the logarithmic spiral crack surface

由對數(shù)螺線方程式：

R=R0e(θ-θ0)tanφt

(24)

V=V0e(θ-θ0)tanφt

(25)

V0=ωR0

(26)

式中：R0——極徑OB的長度；

θ0——極徑OB與水平面夾角；

V0——B點(diǎn)間斷速度;

ω——?jiǎng)傂曰瑝K的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度。

由幾何關(guān)系可得：

(27)

(28)

式中：Ls——BC之間的距離；

θh——極徑OA與水平面夾角。其他符號(hào)見圖5所示，圖中3個(gè)參數(shù)θ0，θh及H即可完全確定土坡滑動(dòng)面所在位置。

土體重力在ABC區(qū)域做功功率可以先分別求出OAB區(qū)域、OCB區(qū)域及OCA區(qū)域土重所做功率，然后再求三者代數(shù)和即可得到[22]，其表達(dá)式為：

(29)

(30)

(31)

(32)

速度間斷面上素土的內(nèi)能耗散率為：

(33)

(34)

f4=[e2(θh-θ0)tanφt-1]

(35)

由前面式(13)給出的速度間斷面單位面積上筋材能量耗散率可以計(jì)算出整個(gè)對數(shù)螺線速度間斷面上筋材的能量耗散率為：

(36)

(37)

(38)

將式(24)、(25)、(27)及(28)代入式(36)可得：

(39)

求解可得:

(40)

f5=e2(θh-θ0)tanφtsin(θh-φt)-sin(θ0-φt)

(41)

f6=2tanφt[e2(θh-θ0)tanφtcos(θh-φt)-cos(θ0-φt)]

(42)

在極限狀態(tài)下任何機(jī)動(dòng)容許的速度場，加筋土體重力所做功率等于速度間斷面上素土內(nèi)能耗散功率和筋材能量耗散功率之和，加筋土坡對應(yīng)高度為臨界高度。

(43)

于是，可得到：

(44)

非線性破壞準(zhǔn)則下，θ0參數(shù)與應(yīng)力狀態(tài)σn緊密相關(guān)，將式(4)和式(5)代入式(44)，H函數(shù)式則為θ0，θh及φt為變量的函數(shù)，即：

H=H(θh，θ0，φt)

(45)

(46)

將求解獲得的θh、θ0及φt代入式(45)，即得土坡臨界高度上限解：

Hc=H(θh，θ0，φt)min

(47)

5 算例分析

5.1 分析模型與優(yōu)化算法的驗(yàn)證

為了驗(yàn)證本文加筋土坡臨界高度分析模型和優(yōu)化算法的正確性，本文采用對數(shù)螺線滑裂面破壞機(jī)構(gòu)計(jì)算結(jié)果與采用加筋土離心模型試驗(yàn)的文獻(xiàn)[6]、[23]和[24]結(jié)果，及同樣引入上限極限理論計(jì)算加筋土坡臨界高度的文獻(xiàn)[25]計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對比分析與討論，如表1所示。為了更好地進(jìn)行對比分析，取m=1，將問題簡化為線性破壞準(zhǔn)則下的臨界高度上限求解。

表1 離心模型試驗(yàn)及理論分析的臨界高度Table 1 The critical height of centrifugal model test and theoretical analysis

注：試驗(yàn)數(shù)據(jù)為文獻(xiàn)[6]、[23]和[24]的模型離心試驗(yàn)結(jié)果；地基土重度γ=17.8 kN/m3，其他參數(shù)見表1；H*、Hcr和H分別為模型離心試驗(yàn)、文獻(xiàn)[25]理論計(jì)算及本文理論計(jì)算的臨界高度值。

通過對比計(jì)算結(jié)果可以看出，本文方法計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[25]計(jì)算結(jié)果較接近，且本文計(jì)算臨界高度值略小，是較優(yōu)的上限解，主要是考慮了間斷面薄滑動(dòng)層上變形的協(xié)調(diào)性及速度變化的連續(xù)性，這在一定程度上說明了本文分析模型和優(yōu)化算法的正確性和合理性；本文及文獻(xiàn)[25]計(jì)算得到的臨界高度值均比試驗(yàn)實(shí)測值小，在10%～20%之間，主要是理論計(jì)算方法考慮的是破壞面上筋材能量耗散，而忽略了內(nèi)部土層筋材與土的摩擦能耗，另外，離心模型試驗(yàn)箱壁與模型間的摩擦力也會(huì)產(chǎn)生一定誤差。

將本文方法計(jì)算結(jié)果與A.Porbaha加筋土離心試驗(yàn)結(jié)果、文獻(xiàn)[26]和[27]的理論計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對比分析，如表2所示。表中Hc為加筋土坡裂縫開始出現(xiàn)時(shí)的高度，Hf為加筋土坡倒塌破壞時(shí)的高度。通過比較可以看出，本文與文獻(xiàn)[26]和[27]同樣都是采用上限極限分析方法進(jìn)行研究，三種理論方法計(jì)算結(jié)果非常接近，且本文所得上限解更優(yōu)。

表2 臨界高度理論計(jì)算結(jié)果對比Table 2 Comparison of critical height

5.2 非線性破壞準(zhǔn)則對臨界高度的影響

為了研究非線性破壞準(zhǔn)則對加筋土坡臨界高度的影響，結(jié)合以上表1中M-48工程算例，m=1時(shí)土重度γ=17.8 kN/m3，c=18.6 kPa，φ=20.1°，即可得到相應(yīng)非線性強(qiáng)度參數(shù)下的破壞公式τ=18.6(1+σn/50.8)1/m，然后分別計(jì)算m=1.2～3.0，加筋土坡臨界高度值，計(jì)算結(jié)果如表3所示。

表3 計(jì)算結(jié)果比較Table 3 Comparison of computation results

從表3中可以看出，建立考慮變形協(xié)調(diào)條件下加筋土坡臨界高度分析模型，采用非線性破壞準(zhǔn)則求解，隨著m的增大，臨界高度值逐步減小。

6 結(jié)論

(1)本文從加筋土坡的工程特性和變形機(jī)理出發(fā)，考慮破壞間斷面滑動(dòng)層上筋材與土體的變形協(xié)調(diào)特點(diǎn)及速度變化的連續(xù)性，研究得到破壞間斷面上筋材能量耗散功率計(jì)算公式。

(2)引入上限分析方法，建立直線破裂面和對數(shù)螺線破裂面機(jī)構(gòu)的加筋土坡臨界高度確定方法，并利用序列二次規(guī)劃優(yōu)化算法得到上限解。

(3)對于巖土材料，非線性破壞準(zhǔn)則更符合工程實(shí)際情況，引入非線性強(qiáng)度假設(shè)很有必要。非線性參數(shù)m對加筋土坡臨界高度有著重要影響，隨著m的增大臨界高度值減小。