奇異值分解的HB加權(quán)廣義互相關(guān)時(shí)延估計(jì)

齊小剛 袁列萍 劉立芳

(1. 西安電子科技大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，陜西西安 710071；2. 西安電子科技大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院，陜西西安 710071)

1 引言

時(shí)延估計(jì)技術(shù)是近年來(lái)備受關(guān)注的研究熱點(diǎn)課題，在導(dǎo)航定位[1]、雷達(dá)探測(cè)[2]、智能機(jī)器人控制[3]、通信系統(tǒng)[4]等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用，尤其在目標(biāo)定位中，無(wú)源時(shí)差定位技術(shù)因布站靈活、設(shè)備成本低、抗干擾能力強(qiáng)等優(yōu)勢(shì)成為最常用的定位方法之一，該方法通過(guò)檢測(cè)目標(biāo)信號(hào)到達(dá)監(jiān)測(cè)站的時(shí)延建立雙曲線(xiàn)方程實(shí)現(xiàn)定位，時(shí)延估計(jì)的精確度直接影響最終的定位性能，因此研究高精度的時(shí)延估計(jì)技術(shù)至關(guān)重要。目前，經(jīng)典的時(shí)延估計(jì)方法主要有最小均方(Least mean square，LMS)自適應(yīng)法[5]、子空間類(lèi)時(shí)延估計(jì)方法[6]、廣義互相關(guān)(generalized cross correlation，GCC)法[7]等。LMS自適應(yīng)法無(wú)需信號(hào)和噪聲的統(tǒng)計(jì)先驗(yàn)知識(shí)即可實(shí)現(xiàn)信號(hào)間時(shí)延差估計(jì)，但為達(dá)到高精度的時(shí)延估計(jì)，需要較長(zhǎng)適應(yīng)時(shí)間，難以滿(mǎn)足實(shí)時(shí)性要求；子空間類(lèi)法大多需要進(jìn)行多徑數(shù)目估計(jì)、特征分解、譜峰搜索等操作，計(jì)算復(fù)雜度較高；GCC方法具有原理簡(jiǎn)單、計(jì)算量小、穩(wěn)定性好，適用性強(qiáng)等優(yōu)勢(shì)，在時(shí)延估計(jì)領(lǐng)域受到廣泛關(guān)注。

GCC時(shí)延估計(jì)方法通過(guò)信號(hào)間互相關(guān)函數(shù)的峰值檢測(cè)估計(jì)時(shí)延，該方法基于理想信號(hào)模型，即假設(shè)噪聲與信號(hào)，噪聲與噪聲兩兩正交，對(duì)平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)，在高信噪比條件下可獲得精確的時(shí)延估計(jì)值。然而，在實(shí)際中，這種假設(shè)并不成立，受各種噪聲和混響的影響，GCC函數(shù)峰值不再尖銳，甚至出現(xiàn)偽峰值，使得時(shí)延估計(jì)出現(xiàn)較大偏差。為解決該問(wèn)題，文獻(xiàn)[8-10]對(duì)其進(jìn)行了改進(jìn)。文獻(xiàn)[8]引入改進(jìn)的小波閾值函數(shù)進(jìn)行信號(hào)去噪與重構(gòu)，采用GCC方法進(jìn)行時(shí)延估計(jì)，這種方法克服了傳統(tǒng)軟硬閾值函數(shù)的缺點(diǎn)，提升了時(shí)延估計(jì)性能，然基于小波閾值的信號(hào)去噪受小波基選擇、分解尺度等因素制約。文獻(xiàn)[9]采用倒譜法分離聲門(mén)脈沖機(jī)制和聲道響應(yīng)，并結(jié)合譜減法設(shè)計(jì)了區(qū)分含噪信號(hào)有用頻段的有效方案，最后利用經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解后的本征模函數(shù)譜特性，進(jìn)行信號(hào)重構(gòu)，該方法顯著提高了時(shí)延估計(jì)算法的抗噪性能，但算法復(fù)雜，應(yīng)用場(chǎng)景單一，還需不同場(chǎng)景性能檢驗(yàn)。文獻(xiàn)[10]通過(guò)加權(quán)歐式失真檢測(cè)、話(huà)音激活檢測(cè)、最小值控制遞歸平均等信號(hào)預(yù)處理及時(shí)延后處理，極大地提高了時(shí)延估計(jì)的準(zhǔn)確性，然該時(shí)延后處理方式假設(shè)時(shí)延初值已知，但實(shí)際中這種假設(shè)并不能保證。

基于上述分析可知，接收信號(hào)中往往含有各種干擾噪聲，使得時(shí)延估計(jì)精度下降，因此提高時(shí)延估計(jì)精度需解決的關(guān)鍵問(wèn)題是如何降低噪聲的影響。奇異值分解(Singular Value Decomposition, SVD)[11]方法具有去噪效果顯著，穩(wěn)定性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，利用該方法進(jìn)行信號(hào)預(yù)處理既可保留信號(hào)形變信息 又可較好的過(guò)濾掉噪聲污染。鑒于此，本文提出了一種新的時(shí)延估計(jì)方法，即SVDHB-GCC (generalized cross correlation method with Hassab-Boucher based on singular value decomposition)時(shí)延估計(jì)法。該方法首先利用SVD進(jìn)行信號(hào)預(yù)處理，提高信號(hào)的信噪比；其次，利用HB加權(quán)函數(shù)進(jìn)行頻域互功率譜處理，銳化GCC函數(shù)峰值；最后，在時(shí)延初值未知的情況下，提出了一種基于中位數(shù)和平均數(shù)相結(jié)合的時(shí)延后處理方法，修正了時(shí)延估計(jì)中因噪聲等影響造成的異常波動(dòng)，提高了時(shí)延估計(jì)的精確性。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示，本文所提SVDHB-GCC方法與參考GCC和SVD-GCC(generalized cross correlation method based on singular value decomposition)方法相比，抗噪性更強(qiáng)，準(zhǔn)確度更高。

2 SVD去噪機(jī)理

對(duì)任意一個(gè)矩陣P(P∈Rm×n)，且m≥n，rank(P)=r≤n，則它的奇異值分解為：

(1)

剔除矩陣P中的零奇異值，得到P簡(jiǎn)化奇異值分解式為：

(2)

式(2)中，uk和vk分別表示正交矩陣U和V的第k列向量。

對(duì)于聲傳感器節(jié)點(diǎn)接收到的聲源信號(hào)s(i)，(i=1,2,...,N)，構(gòu)造Hankel矩陣Q：

(3)

式中，1

3 SVDHB-GCC時(shí)延估計(jì)

3.1 信號(hào)模型

假設(shè)兩個(gè)傳聲器Sen1和Sen2接收的信號(hào)模型[13]為：

s1(t)=α1s(t-τ1)+n1(t)

(4)

s2(t)=α2s(t-τ2)+n2(t)

(5)

其中，s(t)為聲源信號(hào)，n1(t)和n2(t)表示各種環(huán)境噪聲，αi是聲信號(hào)衰減因子，即由多路徑反射噪聲引起的聲波在傳播過(guò)程中的信號(hào)損失[14]，它的范圍為0～1，τ12=τ1-τ2表示Sen2相對(duì)于Sen1接收信號(hào)的時(shí)間延遲。

3.2 GCC時(shí)延估計(jì)

信號(hào)s1和s2的互相關(guān)函數(shù)可表示為：

Rs1s2(τ)=E(s1(t)s2(t-τ))=

α1α2E(s(t-τ1)s(t-τ2-τ))+

α1E(s(t-τ1)n2(t-τ))+

α2E(s(t-τ2-τ)n1(t))+

E(n1(t)n2(t-τ))

(6)

式(6)中，E(·)表示數(shù)學(xué)期望。

因聲源信號(hào)與噪聲信號(hào)及噪聲信號(hào)之間完全正交，則

α1E(s(t-τ1)n2(t-τ))=0

(7)

α2E(s(t-τ2-τ)n1(t))=0

(8)

E(n1(t)n2(t-τ))=0

(9)

從而可將式(6)簡(jiǎn)化為

Rs1s2(τ)=α1α2E(s(t-τ1)s(t-τ2-τ))

(10)

根據(jù)相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)且僅當(dāng)τ=τ12時(shí)，Rs1s2取得最大值，即最大相關(guān)系數(shù)，τ12為接收兩路信號(hào)的時(shí)延。

維納辛欽定理指出，互相關(guān)函數(shù)與其互功率譜互為傅里葉變換[14]，因此互相關(guān)函數(shù)的計(jì)算公式可轉(zhuǎn)化為：

(11)

式(11)中,Gs1s2(ω)為互功率譜密度函數(shù)，計(jì)算公式如式(12)所示。

(12)

式(12)中，(·)*為復(fù)數(shù)共軛操作，S1，S2分別為接收信號(hào)s1和s2的傅里葉變換。

在信號(hào)噪聲先驗(yàn)知識(shí)未知的前提下，HB加權(quán)的GCC時(shí)延估計(jì)方法對(duì)提高時(shí)延估計(jì)精確度、動(dòng)態(tài)跟蹤時(shí)延變化等具有較好的性能[15]，同時(shí)采用HB加權(quán)函數(shù)進(jìn)行互功率譜處理有兩個(gè)重要優(yōu)勢(shì)[15-16]：1)乘以一個(gè)聲源信號(hào)的功率譜密度函數(shù)，加重了信號(hào)功率譜密度中聲源信號(hào)的成分；2)對(duì)互功率譜除以?xún)蓚€(gè)接收信號(hào)的自功率譜，本質(zhì)是對(duì)Roth(roth filter)處理器僅對(duì)一個(gè)輸入信號(hào)歸一化處理的改進(jìn)，與Roth加權(quán)類(lèi)似，起到對(duì)輸入聲源信號(hào)白化的作用。HB加權(quán)函數(shù)的表達(dá)式：

(13)

則互相關(guān)函數(shù)的計(jì)算公式為：

(14)

從而時(shí)延的估計(jì)值為：

(15)

3.3 時(shí)延后處理

因噪聲、混響等因素干擾，時(shí)延估計(jì)值中有少量異常值波動(dòng)，為去除該異常點(diǎn)，提高時(shí)延估計(jì)精度，提出一種基于中位數(shù)和平均數(shù)相結(jié)合的時(shí)延后處理方法：

(16)

3.4 SVDHB-GCC時(shí)延估計(jì)

在GCC時(shí)延估計(jì)算法研究的基礎(chǔ)上，針對(duì)環(huán)境噪聲及異常值波動(dòng)導(dǎo)致時(shí)延估計(jì)出現(xiàn)較大偏差的問(wèn)題，本文提出了一種奇異值分解的HB加權(quán)廣義互相關(guān)算法，圖1給出了該算法的原理流程圖。

圖1 本文算法流程圖Fig.1 Procedure of the proposed algorithm

SVDHB-GCC算法的實(shí)現(xiàn)步驟如下：

4 仿真實(shí)驗(yàn)與性能分析

為了驗(yàn)證提出算法的時(shí)延估計(jì)性能，本文進(jìn)行了兩組實(shí)驗(yàn)，第一組采用模擬信號(hào)驗(yàn)證算法的高效性和抗噪性，第二組采用傳聲器進(jìn)行實(shí)際真實(shí)聲源信號(hào)采集，在滿(mǎn)足第一組實(shí)驗(yàn)性能的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步驗(yàn)證算法的實(shí)用價(jià)值。其中，將GCC方法和SVD-GCC方法作為參考算法，比較分析了本文算法的優(yōu)越性，傳統(tǒng)GCC的加權(quán)函數(shù)為Hs1s2(ω)=1。

4.1 性能評(píng)價(jià)指標(biāo)

本文中采用均方根誤差(Root mean square error，RMSE)、異常點(diǎn)百分比(Percentage of abnormal point，PAP)和正確率(Accurate rate，AR)衡量提出算法與參考算法的時(shí)延估計(jì)性能。評(píng)價(jià)指標(biāo)的表達(dá)式定義為：

(1)均方根誤差

(17)

(2)異常點(diǎn)百分比

(18)

(19)

(3)正確率

AR=Ncorrect/Ntotal

(20)

其中，τi表示第i次實(shí)驗(yàn)的時(shí)延估計(jì)值，τ為時(shí)延真實(shí)值，x是時(shí)延估計(jì)值與真實(shí)值之間的偏差，本文規(guī)定時(shí)延估計(jì)結(jié)果與真實(shí)時(shí)延結(jié)果相差超過(guò)2個(gè)采樣點(diǎn)時(shí)即視為異常點(diǎn)，Ncorrect表示時(shí)延估計(jì)完全正確的實(shí)驗(yàn)次數(shù)，Ntotal表示時(shí)延估計(jì)的總實(shí)驗(yàn)次數(shù)。

4.2 模擬信號(hào)實(shí)例實(shí)驗(yàn)

模擬信號(hào)采用余弦信號(hào)s1及其延遲信號(hào)s2，假設(shè)延遲時(shí)間t=40Ts，其中，Ts=1/fs，采樣頻率fs=500 Hz，采樣點(diǎn)數(shù)N=1000，L=N/2，兩個(gè)信號(hào)表示為：

s1(n)=Acos(Bπ·n/fs)

s2(n)=Acos(Bπ·(n+d)/fs)

實(shí)驗(yàn)中，設(shè)置系數(shù)A=20，B=20，并對(duì)s1加入信噪比SNR=-20 dB的噪聲，從而原始信號(hào)、加噪信號(hào)及奇異值分解后的降噪信號(hào)比對(duì)結(jié)果見(jiàn)圖2。從圖2可以看出，基于奇異值分解的信號(hào)去噪方法有效的濾掉了噪聲污染，同時(shí)保留了信號(hào)的形變信息，使降噪后的信號(hào)與原始信號(hào)更加接近，因此采用SVD方法去噪穩(wěn)定可靠。

圖2 原信號(hào)、加噪信號(hào)和降噪信號(hào)Fig.2 Primary signal, noisy signal and noise reduction signal

為驗(yàn)證提出算法的抗噪性，對(duì)兩個(gè)信號(hào)s1和s2同時(shí)加入噪聲，設(shè)定信噪比變化范圍為-20 dB～10 dB，GCC、SVD-GCC及SVDHB-GCC方法的時(shí)延估計(jì)結(jié)果如圖3～圖6所示，橫坐標(biāo)表示時(shí)延點(diǎn)數(shù)，縱坐標(biāo)表示相關(guān)程度。由圖3～圖6可知，在高信噪比條件下，GCC、SVD-GCC及SVDHB-GCC均可準(zhǔn)確的估計(jì)出時(shí)延，但隨著信噪比的降低，GCC峰值周?chē)饾u出現(xiàn)干擾，甚至出現(xiàn)偽峰值，造成較大時(shí)延估計(jì)誤差；SVD-GCC估計(jì)精度也逐漸出現(xiàn)偏差，但相比GCC方法，該方法中采用了奇異值分解方法對(duì)接收信號(hào)進(jìn)行了噪聲抑制，時(shí)延估計(jì)誤差低于GCC方法。本文提出的SVDHB-GCC方法在既采用了SVD對(duì)接收信號(hào)進(jìn)行初始降噪，又在GCC時(shí)延估計(jì)中引入HB加權(quán)處理，加強(qiáng)信號(hào)中的有用成分，銳化GCC函數(shù)峰值，在低信噪比條件下能夠較好的估計(jì)出時(shí)延點(diǎn)數(shù)，展現(xiàn)出顯著的時(shí)延估計(jì)優(yōu)勢(shì)。與此同時(shí)，對(duì)信噪比范圍-20 dB～10 dB的含噪信號(hào)，分別采用GCC、SVD-GCC及SVDHB-GCC方法進(jìn)行50次隨機(jī)實(shí)驗(yàn)，得到不同噪聲條件下評(píng)價(jià)時(shí)延估計(jì)性能的異常點(diǎn)百分比、準(zhǔn)確率及均方根誤差變化曲線(xiàn)，如圖7所示。圖7(a)與圖7(b)反映了不同信噪比條件下，三種算法時(shí)延估計(jì)的均方根誤差與異常點(diǎn)百分比，高信噪比情況下，三種算法的RMSE與PAP較小，波動(dòng)較低，但隨著信噪比的降低，尤其當(dāng)信噪比低于-5 dB,本文所提SVDHB-GCC算法的RMSE與PAP明顯低于傳統(tǒng)GCC方法和SVD-GCC方法；從圖7(c)可以看出，當(dāng)信噪比低于0 dB時(shí)，傳統(tǒng)GCC方法的正確率驟降，而SVD-GCC與SVDHB-GCC算法的正確率下降趨勢(shì)相對(duì)平緩，且SVDHB-GCC的正確率高于SVD-GCC方法。綜合圖7的指標(biāo)結(jié)果，本文所提算法時(shí)延估計(jì)性能更優(yōu)。

圖3 信噪比SNR=-20 dB的三種算法時(shí)延估計(jì)峰值對(duì)比圖Fig.3 Comparisons of peak values of three methods in -20 dB SNR

圖4 信噪比SNR=-10 dB的三種算法時(shí)延估計(jì)峰值對(duì)比圖Fig.4 Comparisons of peak values of three methods in -10 dB SNR

圖5 信噪比SNR=0 dB的三種算法時(shí)延估計(jì)峰值對(duì)比圖Fig.5 Comparisons of peak values of three methods in 0 dB SNR

圖6 信噪比SNR=10 dB的三種算法時(shí)延估計(jì)峰值對(duì)比圖Fig.6 Comparisons of peak values of three methods in 10 dB SNR

圖7 三種算法時(shí)延估計(jì)性能比較Fig.7 Performance analysis and comparison of three algorithms

采集聲音信號(hào)時(shí)，因意外聲源闖入等外界因素導(dǎo)致噪聲干擾突然增強(qiáng)，使得接收數(shù)據(jù)在某一瞬間污染嚴(yán)重，進(jìn)而導(dǎo)致最終時(shí)延估計(jì)結(jié)果出現(xiàn)較大偏差。針對(duì)這種情況，采用分幀處理是一種有效的信號(hào)處理方法，通過(guò)分幀的方式，可獲得短時(shí)平穩(wěn)信號(hào)并進(jìn)行時(shí)延估計(jì)，將這種意外干擾控制在某一幀或某幾幀信號(hào)中，然后利用后處理技術(shù)，可較好的處理瞬間時(shí)延估計(jì)偏差較大的問(wèn)題。本文提出了一種基于中位數(shù)和平均值相結(jié)合的時(shí)延后處理方法，設(shè)置分幀大小為1024，對(duì)同一信號(hào)源的30幀信號(hào)采用SVDHB-GCC算法進(jìn)行時(shí)延估計(jì)，后處理前后的時(shí)延估計(jì)結(jié)果見(jiàn)圖8。

圖8 時(shí)延后處理前后結(jié)果比較Fig.8 Comparison of time delay between the proposed algorithm and the proposed algorithm without post processing

由圖8的實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知，在后處理前，計(jì)算得到的各幀時(shí)延中存在少量異常值波動(dòng)，這些異常波動(dòng)顯著的降低了時(shí)延估計(jì)的精度，而采用本文所提基于中位數(shù)與平均值相結(jié)合的時(shí)延后處理技術(shù)能夠有效的改善少量幀信號(hào)因噪聲突然增強(qiáng)干擾造成時(shí)延估計(jì)誤差較大的問(wèn)題，使得時(shí)延估計(jì)值更接近真實(shí)值，提高時(shí)延估計(jì)精度。

4.3 實(shí)測(cè)信號(hào)實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證提出時(shí)延估計(jì)算法的實(shí)用性，進(jìn)行了實(shí)際場(chǎng)景真實(shí)聲源信號(hào)拾取，實(shí)驗(yàn)中，采用全指向性間距為25 cm的線(xiàn)性傳聲器陣列進(jìn)行聲源信號(hào)拾取，各個(gè)節(jié)點(diǎn)頻響范圍為20 Hz～20 kHz，靈敏度為-28 dB。圖9給出了實(shí)測(cè)信號(hào)拾取場(chǎng)景及傳聲器節(jié)點(diǎn)的線(xiàn)性布設(shè)結(jié)構(gòu)。

圖10 兩路接收信號(hào)時(shí)域波形圖Fig.10 The oscillogram of time domain signals

圖11 三種算法時(shí)延峰值估計(jì)結(jié)果對(duì)比圖Fig.11 Comparisons of peak values of three methods

圖12 時(shí)延后處理前后結(jié)果比較Fig.12 Comparison of time delay between the proposed algorithm and the proposed algorithm without post processing

5 結(jié)論

低信噪比條件下，傳統(tǒng)GCC方法進(jìn)行時(shí)延估計(jì)會(huì)出現(xiàn)較大偏差，針對(duì)此問(wèn)題，提出了一種新的時(shí)延估計(jì)方法，即奇異值分解的HB加權(quán)廣義相關(guān)。首先，對(duì)傳感器陣列接收到的聲源信號(hào)作奇異值分解處理，降低環(huán)境中各種噪聲的影響，提高信號(hào)信噪比；其次，采用GCC方法進(jìn)行時(shí)延估計(jì)時(shí)，引入HB加權(quán)函數(shù)，通過(guò)頻域互功率譜處理，達(dá)到銳化峰值的作用；最后，提出一種基于中位數(shù)和平均數(shù)的時(shí)延后處理方法，消除少量幀信號(hào)時(shí)延估計(jì)的異常波動(dòng)，提高時(shí)延估計(jì)精度。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示，本文所提新的時(shí)延估計(jì)算法性能明顯優(yōu)于傳統(tǒng)GCC和SVD-GCC參考算法。

在實(shí)際場(chǎng)景中，針對(duì)固定聲源目標(biāo)，本文所提時(shí)延估計(jì)算法具有更高的精度和抗噪性能，這對(duì)基于時(shí)延估計(jì)的目標(biāo)探測(cè)、定位、追蹤等應(yīng)用意義重大；下一步將本文算法應(yīng)用移動(dòng)聲源目標(biāo)，并進(jìn)行優(yōu)化和完善，提高算法的普適性。