均值反饋下信息與能量傳輸系統(tǒng)的預(yù)編碼設(shè)計(jì)

周 雯 吳 寅

(南京林業(yè)大學(xué)信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院，江蘇南京 210018)

1 引言

無線能量傳輸技術(shù)是近年來新興的技術(shù)，可以應(yīng)用在許多節(jié)點(diǎn)供電受限的場(chǎng)合[1]，該技術(shù)可以有效地延長無線傳感器網(wǎng)絡(luò)的生存期，在環(huán)境監(jiān)測(cè)系統(tǒng)、身體傳感器網(wǎng)絡(luò)或智能家居系統(tǒng)等，都有著很高的應(yīng)用價(jià)值。目前，由于基站、WiFi熱點(diǎn)的大量設(shè)立，無線射頻信號(hào)在環(huán)境中普遍存在，可以作為能量收集的重要來源。另一方面，射頻信號(hào)往往也是信息數(shù)據(jù)的載體，因此，信息和能量傳輸相結(jié)合產(chǎn)生了新的研究熱點(diǎn)，即無線信息與能量的聯(lián)合傳輸技術(shù)。

已經(jīng)有若干文獻(xiàn)對(duì)無線信息與能量的聯(lián)合傳輸問題從不同的角度做了研究[2-17]。根據(jù)不同的通信系統(tǒng)和應(yīng)用場(chǎng)景，相關(guān)研究經(jīng)歷了由簡單到復(fù)雜的過程，從單天線系統(tǒng)擴(kuò)展到多天線系統(tǒng)。在2008年，Lav R.Varshney[2]首次提出了同時(shí)傳輸信息和能量的概念，指出在單位時(shí)間內(nèi)接收端的能量獲取和數(shù)據(jù)傳輸是一對(duì)此消彼長的矛盾，由此建立了速率-功率域函數(shù)。該文獻(xiàn)給出了特殊離散信道下的容量-功率域數(shù)學(xué)表達(dá)式，發(fā)現(xiàn)并證明了該函數(shù)的若干性質(zhì)，如非增性、凹性等。該項(xiàng)研究奠定了無線信息和能量聯(lián)合傳輸?shù)幕A(chǔ)。P.Grover等[3]研究了一個(gè)基于磁共振電路的無線傳輸模型，將其建模為頻率選擇性確定信道。在接收機(jī)能量效率大于一定閾值并且發(fā)送功率受限的條件下，給出了發(fā)送端在傳輸頻帶上的最優(yōu)功率分配方案。與文獻(xiàn)[2]相比，該文獻(xiàn)的工作基于典型的磁共振電路和連續(xù)信道模型，較為貼近實(shí)際。文獻(xiàn)[4]研究了單天線衰落信道下的接收機(jī)設(shè)計(jì)，包括能量接收機(jī)和信息接收機(jī)。該文給出了能量與信息若干典型復(fù)用方式的電路結(jié)構(gòu)，特別提及了靜態(tài)功率拆分和“開關(guān)型”功率拆分方案的適用場(chǎng)合和優(yōu)缺點(diǎn)。另一方面，多天線通信系統(tǒng)的信息-能量聯(lián)合傳輸若干問題，如發(fā)送協(xié)方差設(shè)計(jì)、可達(dá)速率-功率域描述、結(jié)合正交時(shí)空編碼的系統(tǒng)性能等，在文獻(xiàn)[5-15]得到了研究。Zhang等證明了在發(fā)送端功率一定的條件下，發(fā)送信號(hào)協(xié)方差矩陣的設(shè)計(jì)將會(huì)對(duì)信息和能量接收機(jī)同時(shí)產(chǎn)生影響[5]。文獻(xiàn)[7]研究了多天線放大轉(zhuǎn)發(fā)通信系統(tǒng)的最優(yōu)信息-能量可達(dá)域邊界，該系統(tǒng)采用正交空時(shí)編碼發(fā)送用戶信息數(shù)據(jù)，設(shè)計(jì)聯(lián)合的信源-中繼預(yù)編碼以達(dá)到信息-能量域邊界。文獻(xiàn)[14]研究了大規(guī)模多天線通信系統(tǒng)的信息-能量傳輸機(jī)制，該系統(tǒng)的接收機(jī)需要從發(fā)射機(jī)收集能量才能支持其數(shù)據(jù)接收和解碼。在滿足一定通信質(zhì)量的條件下，該文給出了高能效的資源管理方案。還有一些研究考慮了多天線系統(tǒng)的用戶調(diào)度、波束成形、安全通信等問題[8,13,15,17]。

在上述研究中，信道狀態(tài)信息對(duì)于發(fā)送端的傳輸策略設(shè)計(jì)、閉環(huán)功控等是不可缺少的?，F(xiàn)有文獻(xiàn)大多假設(shè)信道狀態(tài)信息(channel state information, CSI)對(duì)發(fā)送端是已知的，即系統(tǒng)可以獲取完備的即時(shí)信道信息。例如，文獻(xiàn)[5]以此為前提研究最優(yōu)發(fā)送策略及不同復(fù)用方法的可達(dá)域等問題。然而，也有一些文獻(xiàn)考慮到，由于實(shí)際通信系統(tǒng)中噪聲、移動(dòng)用戶的運(yùn)動(dòng)等因素的影響，接收機(jī)難以獲得理想的CSI，導(dǎo)致發(fā)送端得到的CSI存在誤差。例如，Xiang等針對(duì)多發(fā)單收系統(tǒng)，給出了在信道信息有誤下系統(tǒng)達(dá)到Pareto邊界點(diǎn)時(shí)，發(fā)送端預(yù)編碼向量應(yīng)該滿足的條件[6]。多發(fā)單收的系統(tǒng)假設(shè)使得優(yōu)化和分析得以大大簡化，同樣針對(duì)該系統(tǒng)模型，文獻(xiàn)[11]研究了基于有限反饋的信息和能量聯(lián)合傳輸方案設(shè)計(jì)。

現(xiàn)有研究大多利用發(fā)送端獲取的即時(shí)信道信息來設(shè)計(jì)傳輸方案，提高系統(tǒng)通信性能，包括理想和非理想信道信息兩種情況。這種機(jī)制對(duì)于慢變信道是可行的，但是對(duì)于快速變化的信道，頻繁的信道信息反饋將給系統(tǒng)帶來較大負(fù)擔(dān)，此時(shí)反饋即時(shí)信道信息不再合適?；谏鲜隹紤]，本文研究了基于統(tǒng)計(jì)信息反饋的傳輸機(jī)制，此時(shí)發(fā)送端僅能獲取信道統(tǒng)計(jì)信息，即信道均值矩陣，系統(tǒng)設(shè)計(jì)不再針對(duì)即時(shí)信息傳輸速率，而是信息傳輸速率的期望值。發(fā)射端傳輸方案的目標(biāo)是設(shè)計(jì)一種預(yù)編碼使得系統(tǒng)通信速率期望最大，同時(shí)滿足能量接收機(jī)的最低能量需求。

本文的組織結(jié)構(gòu)如下：第2節(jié)介紹了系統(tǒng)模型；第3節(jié)提出了基于均值反饋的預(yù)編碼算法；第4節(jié)是實(shí)驗(yàn)仿真，驗(yàn)證提出算法的性能；最后，第5節(jié)總結(jié)全文。

2 系統(tǒng)模型

yD=HDPx+nD

(1)

yE=HEPx+nE

(2)

圖1 三節(jié)點(diǎn)的MIMO信息-能量傳輸系統(tǒng)Fig.1 A three-node MIMO information and energy transfer system

信道矩陣HD和HE可以進(jìn)一步建模為

(3)

(4)

其中，Hμ,D和Hμ,E分別是信息信道和能量信道的均值信息，K1和K2分別是各自的萊斯因子。Hω,D和Hω,E是隨機(jī)矩陣，矩陣的每個(gè)元素是零均值、單位方差的，并且元素之間是獨(dú)立不相關(guān)的。

接收機(jī)經(jīng)過一段時(shí)間的測(cè)量之后，通過反饋，發(fā)送端獲得了信道統(tǒng)計(jì)信息，即均值信息Hμ,D和Hμ,E。發(fā)送端使用這些信息設(shè)計(jì)預(yù)編碼矩陣，使得系統(tǒng)信息通信速率最大并且同時(shí)滿足能量接收的最低能量需求。很明顯，相比即時(shí)信道信息反饋策略，這種基于統(tǒng)計(jì)信息的反饋策略將減小系統(tǒng)開銷，但是也會(huì)導(dǎo)致信息速率的損失。

最后，定義系統(tǒng)的信噪比?？紤]到用戶發(fā)送數(shù)據(jù)x的自相關(guān)矩陣是單位陣，發(fā)送功率可表示為：

(5)

其中PT是最大發(fā)送功率。很明顯，PPH是預(yù)編碼之后的發(fā)送信號(hào)協(xié)方差矩陣。因此，系統(tǒng)信噪比定義為：

(6)

3 基于均值反饋的預(yù)編碼算法

本節(jié)首先將預(yù)編碼求解歸納為一個(gè)半正定規(guī)劃，然后引入輔助變量和對(duì)偶函數(shù)將之轉(zhuǎn)換成對(duì)偶問題。基于此，進(jìn)一步提出了預(yù)編碼算法求解對(duì)偶問題。

3.1 問題描述

首先，根據(jù)公式 (1)，系統(tǒng)信息傳輸速率可以表示為：

(7)

然后，給出能量接收機(jī)單位時(shí)間收集的能量表達(dá)式。最近，文獻(xiàn)[18-19]提出了能量收集的非線性模型，指出，相比傳統(tǒng)的線性模型，非線性模型更加接近實(shí)際測(cè)量結(jié)果。因此本文采用該文獻(xiàn)提出的非線性模型。接收機(jī)單位時(shí)間內(nèi)收集的能量可表示為

(8)

其中，M、a和b是模型中的常數(shù)。PER是到達(dá)接收機(jī)的信號(hào)能量，根據(jù)公式(2)可以寫成

(9)

根據(jù)公式(4)，公式(9)可以進(jìn)一步表示為

(10)

最后，預(yù)編碼設(shè)計(jì)準(zhǔn)則為系統(tǒng)信息平均傳輸速率最大化，同時(shí)滿足最低能量要求Eth?？梢詫栴}歸結(jié)為(P1):

s.t.Q0

Tr(Q)≤PT

Erec≥Eth

(11)

注：經(jīng)過簡單推導(dǎo)，問題P1的能量約束可以寫成另一種等價(jià)形式，即Tr(QB)≥b-ln(M/Eth-1)/a。

關(guān)于能量要求Eth，有如下引理(證明見附錄A)。

s.t.Q0;Tr(Q)≤PT

另外，與文獻(xiàn)[5]類似，本文使用信息-能量域描述所有的可達(dá)信息速率和能量的數(shù)值組合, 定義如下：

(12)

很明顯，能量需求給定時(shí)，問題P1的速率解是信息-能量域邊界點(diǎn)的縱坐標(biāo)。

3.2 提出的預(yù)編碼算法

本節(jié)提出一種基于梯度下降的數(shù)值算法求解問題P1。首先，引入問題 P1的拉格朗日函數(shù)：

[Tr(QB)-b+ln(M/Eth-1)/a]-u[Tr(Q)-PT]

(13)

其中λ≥0，u≥0，它們是引入的兩個(gè)輔助變量?？梢姡窭嗜蘸瘮?shù)整合了問題的目標(biāo)函數(shù)和約束條件，引入該函數(shù)的目的是為了將原問題轉(zhuǎn)換成一個(gè)較容易求解的問題。進(jìn)一步定義對(duì)偶函數(shù)為：

(14)

則問題 P1 的對(duì)偶問題可以表示為(P2)：

(15)

可見，問題P2只包括兩個(gè)變量λ和u，形式比原問題P1簡單許多。容易驗(yàn)證Slater條件成立(見附錄B)，因此P1和P2是等價(jià)的。

接下來，考慮求解問題P2。分成兩步：第一，給定(λ,u), 求出最優(yōu)的Q和g(λ,u)；第二，找到g(λ,u)的最小值。函數(shù)g(λ,u)可以整理成如下形式，

Tr{CQ}+Tconst

(16)

其中，C=uINT-λB，Tconst=uPT-λ[b-ln(M/Eth-1)/a]。注意，矩陣C必須是半正定的，否則g(λ,u)會(huì)趨于無窮大。這意味著u>λλmax(B)，其中λmax(B)是矩陣B的最大特征值。

考慮到Q是半正定的，可以寫成Q=PPH, 代入公式(16)得到：

(17)

對(duì)L(P,λ,u)求關(guān)于P*的偏導(dǎo)數(shù)，可得

(18)

給定(λ,u)，上述算法將求出最優(yōu)P和g(λ,u)?；谒惴?，我們提出算法2求解問題P2，步驟歸納如下。

不難得出，算法2提及的偏導(dǎo)數(shù)可表示為：

gλ(λ(i),u(i))=Tr(P(i)(P(i))HB)-

[b-ln(M/Eth-1)/a]

(20a)

gu(λ(i),u(i))=-Tr(P(i)(P(i))H)+PT

(20b)

根據(jù)算法2可以得到最優(yōu)P(記為POPT)，也可以得到g(λ,u)的最小值。根據(jù)對(duì)偶性原理，原問題P1最優(yōu)的預(yù)編碼即為問題P2求出的POPT，原問題P1的最大傳輸速率即為g(λ,u)的最小值。

3.3 復(fù)雜度分析

可見，在上述三種發(fā)送方案中，提出算法復(fù)雜度是最高的，時(shí)分復(fù)用方法其次，各向同性發(fā)送方案最低。

4 仿真結(jié)果

本節(jié)采用計(jì)算機(jī)仿真考察提出預(yù)編碼方法的性能，并與若干經(jīng)典方法進(jìn)行了對(duì)比。我們采用第2節(jié)所述三節(jié)點(diǎn)MIMO廣播系統(tǒng)模型，且假定節(jié)點(diǎn)配備的天線數(shù)目均相同；對(duì)于能量和信息信道，萊斯因子均設(shè)為1；對(duì)于非線性能量收集模型，設(shè)置參數(shù)a=0.45，b=15，最大可收集功率M=50 mW。

圖2 提出預(yù)編碼算法的收斂性Fig.2 The convergence of the proposed precoding algorithm

圖3展示了不同能量需求下的信息速率隨信噪比的變化趨勢(shì)。系統(tǒng)的天線配置、信道均值矩陣與圖2相同?？紤]了三種情況：能量需求Eth=6，Eth=10和無能量約束的情形。可見，系統(tǒng)信息速率均隨著信噪比的增加而增加。無能量約束曲線是有能量約束曲線(另外兩種情況)的上界。當(dāng)SNR小于某數(shù)值，問題P1無解，因?yàn)樽畲罂墒占芰渴芟抻诎l(fā)送功率，導(dǎo)致能量需求無法滿足。對(duì)于Eth=6和Eth=10，所需最低信噪比分別為5.60和6.13分貝，實(shí)際上，該數(shù)值可以從引理1計(jì)算得到。另外，隨著信噪比的升高，有能量約束曲線與無能量約束曲線的信息速率差距逐漸減小，直到差距為零、曲線重合。這是因?yàn)?，隨著信噪比的增加能量約束條件逐漸失效了。

圖3 不同能量需求下的信息速率隨信噪比的變化趨勢(shì)Fig.3 The information rate versus SNR, with different energy requirements

圖4給出了不同信噪比下的信息-能量可達(dá)域。系統(tǒng)的天線配置、信道均值矩陣與圖2相同。考慮了三種情況：SNR=5 dB，6 dB和8 dB?？梢?，隨著信噪比的增加，信息-能量可達(dá)域變得更加寬闊。對(duì)這三種情況，當(dāng)Eth較小時(shí)，信息-能量域邊界曲線是水平的，在某個(gè)拐點(diǎn)(如A1、A2)，Eth增加會(huì)導(dǎo)致信息速率下降，這是因?yàn)镋th較小時(shí)，能量約束不起作用，但是Eth增加導(dǎo)致能量約束逐漸起作用，從而降低了信息傳輸速率。同樣發(fā)現(xiàn)， 信息-能量域邊界存在某截止點(diǎn)(如B1、B2)，對(duì)應(yīng)著最大可收集功率，超過該截止點(diǎn)，問題P1無解。實(shí)際上，拐點(diǎn)和截止點(diǎn)均可以從引理1計(jì)算得出，與數(shù)值仿真得出的結(jié)果是一致的。

圖4 不同信噪比下的信息-能量可達(dá)域Fig.4 The achievable R-E region with different SNRs

圖5 不同傳輸方案的信息-能量可達(dá)域Fig.5 The achievable R-E region with different transmission schemes

5 結(jié)論

本文研究了MIMO信息-能量廣播通信系統(tǒng)的預(yù)編碼設(shè)計(jì)問題，系統(tǒng)包括一個(gè)發(fā)送端，一個(gè)信息接收端和一個(gè)能量接收端共三個(gè)節(jié)點(diǎn)。信道建模為具備視距路徑的萊斯衰落信道，發(fā)送端僅具備信道均值反饋信息，由此設(shè)計(jì)最優(yōu)預(yù)編碼。利用凸優(yōu)化理論將原預(yù)編碼設(shè)計(jì)問題轉(zhuǎn)換成為一個(gè)對(duì)偶問題，Slater條件的成立表明了兩個(gè)問題是等價(jià)的?；诎胝ň仃嚪纸饧夹g(shù)，提出了梯度下降搜索算法進(jìn)行求解，并且分析了算法的計(jì)算復(fù)雜度。另一方面，信息-能量可達(dá)域通常作為衡量系統(tǒng)性能的指標(biāo)，該文提出的引理1則刻畫了可達(dá)域的邊界曲線特征。實(shí)際上，引理1給出的拐點(diǎn)和截止點(diǎn)有助于快速繪制邊界曲線的大致輪廓。最后，研究了若干典型發(fā)送傳輸方案的系統(tǒng)性能，仿真結(jié)果表明，提出的預(yù)編碼方案優(yōu)于各向同性和時(shí)分復(fù)用方案。該文提出的預(yù)編碼算法和相應(yīng)研究結(jié)果可為今后系統(tǒng)的實(shí)踐應(yīng)用提供參考。

表1 不同系統(tǒng)配置下的最優(yōu)協(xié)方差和預(yù)編碼矩陣

附錄A: 引理1的證明

綜上所述，引理1成立。

附錄B：Slater條件成立的證明

其中UB由矩陣B的特征向量組成。不失一般性，假設(shè)矩陣B的特征值按照降序排列，所以功率PT全部分配到了第一個(gè)特征值。此時(shí)，無必要將P1轉(zhuǎn)換成對(duì)偶問題。