NOMA系統(tǒng)中利用共軛梯度法的功率分配方案

王 歌 趙知勁

(杭州電子科技大學(xué)通信工程學(xué)院，浙江杭州 310018)

1 引言

隨著移動通信的快速發(fā)展，頻譜效率和系統(tǒng)容量等方面的需求日益增長。傳統(tǒng)的多址方式已經(jīng)不能滿足發(fā)展需要，于是業(yè)內(nèi)提出了一種新的多址方式，即NOMA(non-orthogonal multiple access，非正交多址接入)。作為面向5G的關(guān)鍵技術(shù)之一，NOMA通過對同時同頻上的用戶分配不同的功率，實現(xiàn)功率域的多用戶共享，使無線接入總量提高了50%[1]?，F(xiàn)有研究表明NOMA 可以比 OMA(orthogonal multiple access，正交多址接入)獲得更高的系統(tǒng)容量和更高的頻譜效率[2]，因此NOMA系統(tǒng)中的功率分配問題近年來引起學(xué)術(shù)界的廣泛關(guān)注。

針對NOMA系統(tǒng)中的功率分配算法的研究，目標函數(shù)主要集中在總發(fā)射功率最小化[3-5]、中斷概率最小化[6-9]、和系統(tǒng)吞吐量最大化[10-13]等方面。現(xiàn)有算法主要FSPA(full search power allocation，全空間搜索算法)[14]、FPA(fixed power allocation，固定功率分配算法)[14]、 IWPA(iterative water-filling power allocation，迭代注水功率分配算法)[15]以及FTPA(fractional transmit power allocation，分數(shù)階發(fā)射功率分配算法)[16]。張德坤[14]在非正交多址系統(tǒng)功率分配及干擾消除算法研究中指出，F(xiàn)SPA通過搜索所有的用戶對功率分配組合，能夠?qū)崿F(xiàn)非正交多址系統(tǒng)的最佳性能，但FSPA存在高復(fù)雜度的問題并且系統(tǒng)開銷比較大，故實際系統(tǒng)中一般不予采用；FPA雖然復(fù)雜度較低，但是系統(tǒng)性能受功率分配因子的影響較大，且通常不能達到系統(tǒng)的最佳性能。趙蕊[15]在非正交多址系統(tǒng)的研究中指出，IWPA可以實現(xiàn)較好功率分配性能，但其存在局部最優(yōu)及高復(fù)雜度的問題。Satio Y[16]等人提出了FTPA算法，F(xiàn)TPA平衡了低信噪比用戶的公平性并且降低了接收端譯碼的復(fù)雜度，但是FTPA是局部最優(yōu)化方案，并且系統(tǒng)性能同樣受到所選功率分配因子的影響，因此FTPA方案還有待進一步完善。

由于共軛梯度法計算復(fù)雜度與最速下降法相當，但是收斂速度優(yōu)于最速下降法[17]，所以本文提出一種基于共軛梯度法的快速功率分配方案，其復(fù)雜度低于FSPA，系統(tǒng)性能優(yōu)于FPA和FTPA，實現(xiàn)了復(fù)雜度與系統(tǒng)性能折中。

2 NOMA系統(tǒng)功率分配優(yōu)化模型

2.1 NOMA系統(tǒng)性能

假設(shè)系統(tǒng)發(fā)送端采用單天線發(fā)射模式，同時同頻資源塊上，系統(tǒng)調(diào)度N個用戶，基站將發(fā)送給N個用戶的信號經(jīng)過功率分配后，在功率域進行線性疊加，則發(fā)送的等價復(fù)基帶信號可以表示為：

(1)

經(jīng)過無線信道，用戶n(1≤n≤N)的接收信號為：

yn=hnx+wn

(2)

在NOMA下行鏈路的接收端，用戶采用干擾消除接收機進行檢測。當其他用戶解碼之后，就可以對本用戶的干擾進行消除，從而實現(xiàn)正確譯碼。以兩個用戶為例，假設(shè)用戶1遠離基站端，則會對用戶1分配更大的功率，在接收端，對用戶1可以直接解碼出所需信號x1。對于用戶2，需要先解碼出用戶1的信號x1，再通過接收到的信號y2減去x1的相關(guān)成分。因此用戶2解碼信號x2時就已經(jīng)去除了x1的干擾，從而可以實現(xiàn)信號的正確解碼。

基于以上分析，對基于SIC接收機的NOMA系統(tǒng)，假設(shè)有N個用戶，從用戶1到用戶N，用戶與基站的距離逐漸減小。利用香農(nóng)公式，可以分別得到每個用戶的可達容量，假設(shè)分配給用戶n的功率分配因子為βn，則用戶n的可達容量為：

(3)

為保證用戶調(diào)度的公平性，采用加權(quán)和速率Rsum最大化為用戶功率分配的準則[18]：

(4)

以上問題可以總結(jié)為如下優(yōu)化函數(shù)：

(5)

s.t. 0≤βN≤βN-1≤…≤β1≤1

對上式求極值即可得到最優(yōu)功率分配因子。為了解決此有約束優(yōu)化問題，本文先采用內(nèi)點懲罰函數(shù)法[19]將其轉(zhuǎn)化為無約束最優(yōu)化問題，后采用共軛梯度下降法求最優(yōu)解。令β=[β1β2…βN]T。

2.2 無約束最優(yōu)化的目標函數(shù)

懲罰函數(shù)法中的內(nèi)點罰函數(shù)法是將新目標函數(shù)定義于可行域內(nèi)，這樣它的初始點以及后面產(chǎn)生的迭代點序列也必定在可行域內(nèi)，對可能脫離可行域的點給予懲罰，相當于在可行域的邊界上設(shè)置一道障礙，阻止迭代點穿越到可行域之外，因此內(nèi)點罰函數(shù)法也稱為障礙函數(shù)法。將式(5)中改寫為如下形式：

(6)

s.t.βn-1≤0,n=1,…,N

βn+1-βn≤0,n=1,…,N-1

-βn≤0,n=1,…,N

則可以構(gòu)造如下目標函數(shù)：

(7)

其中，um是懲罰因子，是遞減的正數(shù)序列，即：

(8)

通常取um=1.0，0.1，0.01…。內(nèi)點懲罰函數(shù)法收斂的終止準則如下：

(9)

(10)

3 共軛梯度下降法

共軛梯度法是求解優(yōu)化問題的一類有效算法，它的迭代公式可以寫為：

βk+1=βk+αkdk

(11)

其中，αk由某種線性搜索決定，已有的搜索算法包括精確線性搜索[20]和近似線性搜索方法如：Wolfe線性搜索[20]、Armijo線性搜索[20]和Goldstein線性搜索[20]等。L Grippo等人[21]證明了采用Armijo線性搜索時共軛梯度法中的PRP算法[22]的全局收斂性。故本文采用Armijo線性搜索算法，求最小的非負整數(shù)h，使得步長因子αk=ρh滿足下列條件：

(12)

其中ρ∈(0,1)，δ>0。dk為第k次的搜索方向，由以下計算公式得出：

(13)

其中g(shù)k=f(βk)是函數(shù)f在點βk處的梯度。參數(shù)γk的選取滿足共軛性，現(xiàn)有的共軛梯度法包括：FR算法[22]、PRP算法、HS算法[22]、CD算法[22]和DY算法[22]。本文中選取PRP算法計算γk值，γk的定義如下：

(14)

綜上所述，基于共軛梯度法的無約束功率分配方案的步驟如下：

(1)給定可行域內(nèi)初始點β0，ε>0；計算g0=f(β0)，令k=0。

(3)按照精確線性搜索求步長因子αk；

更新βk+1=βk+αkdk，k=k+1。

(4)計算gk=f(βk)，若停止迭代；否則轉(zhuǎn)步驟(5)。

(5)利用式(9)計算γk，dk=-gk+γkdk-1。

增加約束條件后，基于共軛梯度法的有約束功率分配方案的步驟如下：

(1)給定可行域內(nèi)初始點β0，以及u0、c、計算精度ε1、ε2，令m=0。

4 算法仿真與性能分析

假設(shè)信道服從瑞利衰落，仿真兩用戶模型的系統(tǒng)性能。當用戶1的發(fā)射功率SNR1=10 dB，用戶1和用戶2的信噪比差SNR2-SNR1分別為10 dB、20 dB、30 dB和40 dB時，本文算法的加權(quán)和速率Rsum隨功率分配因子的變化情況如圖1所示。由圖可見，(1)功率分配因子的選取直接影響加權(quán)和速率的大??；(2)在用戶1的信噪比固定時，隨著兩用戶信噪比差值的增大，最佳功率分配因子逐漸減小，這也表明遠端用戶會被分配更多的功率，這是因為本文采用的準則是用戶調(diào)度公平性原則；(3)用戶間信噪比的差值越大，系統(tǒng)的加權(quán)和速率越大。

圖1 加權(quán)和速率與功率分配因子β及用戶信噪比的關(guān)系(SNR1=10 dB)Fig.1 The relationship between weighted sum rate and power allocation factor β and user signal-to-noise ratio (SNR1=10 dB)

當用戶間信噪比差值固定(SNR2-SNR1=20 dB)，改變用戶1信噪比，SNR1分別為2 dB、4 dB、6 dB、8 dB和10 dB時，本文算法的加權(quán)和速率隨功率分配因子的變化曲線如圖2所示。由圖可以看出，當用戶間信噪比差值固定時，加權(quán)和速率隨用戶1信噪比的增大而增大。這是因為用戶間信噪比差值固定、用戶1信噪比的增大時，對應(yīng)的用戶2信噪比也增大，因此二個用戶的等效信道條件都變好，因此加權(quán)和速率就增大。

圖2 加權(quán)和速率與功率分配因子β及用戶信噪比的關(guān)系(SNR2-SNR1=20 dB)Fig. 2 The relationship between weighted sum rate and power allocation factor β and user signal-to-noise ratio (SNR2-SNR1=20 dB)

當用戶數(shù)為2并且SNR1=5 dB，應(yīng)用本文算法、FPA算法[11]以及FTPA算法[13]的NOMA系統(tǒng)的加權(quán)和速率隨SNR2的變化曲線如圖3所示。當用戶數(shù)為3、4、5、6、7時，應(yīng)用本文算法、FPA算法以及FTPA算法的NOMA系統(tǒng)的加權(quán)和速率隨用戶數(shù)的變化曲線如圖4所示。由圖3、圖4可得，隨著用戶2信噪比的增加，等效信道條件變好，三種算法的系統(tǒng)加權(quán)和速率都會增加。由于本文算法尋優(yōu)能力更強，所以本文算法性能明顯優(yōu)于FPA算法和FTPA算法，并且隨著用戶數(shù)的增多，本文算法性能略有提高，而FPA和FTPA算法由于沒有充分考慮邊緣用戶的影響，其系統(tǒng)加權(quán)和速率會逐漸下降，所以本文算法的優(yōu)勢會更加明顯。

圖3 SNR1=5 dB時三種算法的加權(quán)和速率隨SNR2的變化情況Fig.3 The weighted sum rate of the three algorithms varies with SNR2 when SNR1=5 dB

圖4 三種算法的加權(quán)和速率隨用戶數(shù)的變化情況Fig.4 The weighted sum rate of the three algorithms varies with the number of users

當用戶數(shù)為2并且SNR1=5 dB，應(yīng)用本文算法的NOMA系統(tǒng)及OMA系統(tǒng)的和速率隨SNR2的變化曲線如圖5所示。當用戶數(shù)為3、4、5、6、7時，應(yīng)用本文算法的NOMA系統(tǒng)及OMA系統(tǒng)的和速率隨用戶數(shù)的變化曲線如圖6所示。由圖5、圖6可得，相比于正交多址系統(tǒng)，非正交多址系統(tǒng)性能得到了明顯提升。

圖5 SNR1=5 dB時NOMA系統(tǒng)及OMA系統(tǒng)的和速率隨SNR2的變化情況Fig.5 The change of the sum rate of NOMA system and OMA system with SNR2 when SNR1=5 dB

圖6 NOMA系統(tǒng)及OMA系統(tǒng)的和速率隨用戶數(shù)的變化情況Fig.6 The change of the sum rate of NOMA system and OMA system with the number of users

5 結(jié)論

針對5G的NOMA系統(tǒng)中的功率分配問題，本文提出了一種基于共軛梯度法的功率分配方案，在保證收斂速度的同時，可以使加權(quán)和速率達到最大化。仿真結(jié)果證明了本方法性能的優(yōu)越性。