基于高斯導(dǎo)函數(shù)的超寬帶脈沖設(shè)計(jì)*

李佩琳,周青松,張劍云

（國(guó)防科技大學(xué) 電子對(duì)抗學(xué)院，安徽 合肥 230037）

0 引 言

美國(guó)聯(lián)邦通信委員會(huì)（FCC）對(duì)超寬帶通信所占用的帶寬提出了一個(gè)限定標(biāo)準(zhǔn)，從而可以確保超寬帶設(shè)備能夠與其他通信設(shè)備共存且不會(huì)相互干擾[1]。超寬帶通信在信息傳輸過程中采用超寬頻帶的窄脈沖，因此采用何種脈沖波形會(huì)影響超寬帶通信的特性。

脈沖波形的設(shè)計(jì)要求傳輸功率在低于FCC限定的條件下取得最大值，同時(shí)生成的波形要逼近FCC所制定的輻射掩蔽。文獻(xiàn)[2]中對(duì)hermitian多項(xiàng)式函數(shù)進(jìn)行了一定改進(jìn)，得到了一種改進(jìn)的hermitian脈沖；文獻(xiàn)[3]通過對(duì)扁長(zhǎng)球體波函數(shù)的介紹，提出了一種正交的脈沖波形。高斯單周期脈沖是常用的超寬帶脈沖波形，文獻(xiàn)[4]提出了一種算法能夠選擇最佳的脈沖形成因子和最佳的脈沖微分階數(shù)，并使之能逼近3.1～10.6 GHz的輻射掩蔽。上面提到的脈沖都可以作為超寬帶通信的脈沖。為了獲得可以在全頻段（包括0～0.96 GHz）中逼近輻射掩蔽標(biāo)準(zhǔn)的波形，本文通過對(duì)高斯脈沖的不同導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行線性組合來尋找符合輻射掩蔽標(biāo)準(zhǔn)的最優(yōu)波形。

1 超寬帶原理

1.1 超寬帶的概念

現(xiàn)在對(duì)超寬帶信號(hào)的定義有兩種方式，一種是根據(jù)絕對(duì)帶寬來確定，一種是根據(jù)相對(duì)帶寬來確定。美國(guó)聯(lián)邦通信委員會(huì)（FCC）對(duì)超寬帶信號(hào)有如下規(guī)定：在3.1～10.6 GHz頻段中占用500 MHz以上的帶寬信號(hào)稱為超寬帶信號(hào)，即：

根據(jù)相對(duì)帶寬來確定超寬帶信號(hào)，美國(guó)國(guó)防高級(jí)計(jì)劃局對(duì)超寬帶信號(hào)有如下定義：將帶寬與中心頻率之比超過20%的信號(hào)稱為UWB信號(hào)[5]，即：

其中，信號(hào)功率譜密度在-10 dB處測(cè)量的值被記為式（1）和式（2）中的fH和fL。因此，超寬帶無線通信系統(tǒng)要求系統(tǒng)的絕對(duì)帶寬不低于500 MHz或者相對(duì)帶寬不低于20%。

1.2 超寬帶信號(hào)的輻射掩蔽

一般情況下，超寬帶無線通信系統(tǒng)對(duì)其他通信系統(tǒng)的干擾必須要限定在一定范圍內(nèi)，因?yàn)楦黝悷o線電信號(hào)與超寬帶無線電信號(hào)是同時(shí)存在的。因此，需要根據(jù)輻射掩蔽來確定在任意給定頻率情況下的最大允許功率[6]。

某一頻率范圍內(nèi)的等效各項(xiàng)同性輻射功率（Equivalent Isotropic Radiated Power，EIRP）是由輻射掩蔽設(shè)定的功率極限值，等于發(fā)射天線增益GAT與發(fā)射機(jī)能夠提供給天線的最大功率PTX的乘積：

美國(guó)聯(lián)邦通信委員會(huì)（FCC）對(duì)于超寬帶系統(tǒng)的等效各項(xiàng)同性輻射功率做出的限制如圖1所示。

圖1 FCC制定的超寬帶系統(tǒng)等效各項(xiàng)同性輻射功率限制

2 超寬帶系統(tǒng)的脈沖

2.1 高斯脈沖及其導(dǎo)數(shù)

在脈沖形成器中選擇不同的濾波器單位沖激響應(yīng)對(duì)超寬帶通信系統(tǒng)有著很大影響，因?yàn)闉V波器單位沖激響應(yīng)與傳輸信號(hào)的功率譜密度密切相關(guān)。一個(gè)類似于高斯函數(shù)波形的鐘形是脈沖產(chǎn)生器最易產(chǎn)生的脈沖波形。高斯脈沖函數(shù)容易實(shí)現(xiàn)，同時(shí)高斯脈沖函數(shù)的頻譜形狀和時(shí)域波形都是鐘形，可以滿足超寬帶脈沖的頻限與時(shí)限要求?？梢杂孟铝斜磉_(dá)式描述一個(gè)高斯脈沖p(t)：

頻譜形成可以通過改變脈沖波形來獲得。改變脈沖波形主要有以下三種不同的方法：改變脈沖寬度、脈沖微分和基函數(shù)線性組合。

2.2 改變脈沖寬度和脈沖微分

（1）脈沖形成因子α的改變會(huì)改變脈沖寬度。α值的減小會(huì)壓縮脈沖寬度，從而使傳輸信號(hào)的帶寬擴(kuò)展。因此，改變脈沖形成因子的值可以令同一波形得到不同的帶寬。

（2）高斯脈沖的能量譜密度也受高斯脈沖微分的影響。增加微分階數(shù)，脈沖寬度和峰值頻率都會(huì)隨之改變。高斯脈沖k階導(dǎo)數(shù)的傅里葉變化性質(zhì)如下：

關(guān)于微分階數(shù)k、脈沖形成因子α以及峰值頻率fpeak三者之間的一般關(guān)系式如下：

表明峰值頻率隨著高斯導(dǎo)函數(shù)階數(shù)的提高也相應(yīng)提升。因此，微分可以將能量搬移至更高頻段。

2.3 基函數(shù)線性組合

高斯脈沖的能量譜密度受脈沖寬度和脈沖微分的影響。脈沖寬度的改變和脈沖微分都可以用來形成發(fā)射波形。但是，很多情況下，3.1～10.6 GHz范圍外的輻射掩蔽要求僅僅使用單個(gè)脈沖很難滿足，即FCC制定的輻射掩蔽使用單個(gè)脈沖波形并不能嚴(yán)格逼近。

因此，為了獲得可以在全頻段（包括0～0.96 GHz）中逼近輻射掩蔽標(biāo)準(zhǔn)的波形，考慮通過高斯脈沖不同導(dǎo)函數(shù)的線性組合來尋找最優(yōu)波形。為了得到N個(gè)高斯導(dǎo)函數(shù)的線性組合，首先由給定的脈沖形成因子α值來表征每個(gè)導(dǎo)函數(shù)，每個(gè)導(dǎo)函數(shù)可以被認(rèn)為是N維空間中獨(dú)立的基函數(shù)。另外，給定的設(shè)計(jì)要求決定線性組合的權(quán)重系數(shù)，如線性組合的權(quán)重系數(shù)要滿足給定的功率譜密度。

選擇線性組合的權(quán)重系數(shù)有以下幾個(gè)步驟：

（1）選擇一組基函數(shù)。

（2）隨機(jī)產(chǎn)生一組權(quán)重系數(shù)，記為W。

（3）檢驗(yàn)由權(quán)重系數(shù)W線性組合得到的功率譜密度是否滿足FCC所制定的輻射掩蔽標(biāo)準(zhǔn)。

（4）如果是第一組滿足條件的系數(shù)，并且W也滿足輻射掩蔽的要求，則進(jìn)行初始化，令WB=W。如果過程已經(jīng)初始化，且W滿足輻射掩蔽的要求，則令W與WB進(jìn)行比較。以預(yù)先設(shè)定的距離度量為標(biāo)準(zhǔn)，如果W生成的波形優(yōu)于WB生成的波形，則令WB=W。

（5）重復(fù)（1）～（3），直到輻射掩蔽與生成波形的功率譜密度之間的距離固定在一個(gè)門限值之下。

可以看到，脈沖形成因子α值的W不同以及N個(gè)高斯導(dǎo)函數(shù)的線性組合，可以靈活產(chǎn)生不同的脈沖波形。但是，上述算法需要進(jìn)行多次迭代，才能保證合成函數(shù)與目標(biāo)函數(shù)的差異在要求的范圍之內(nèi)。

N個(gè)高斯導(dǎo)函數(shù)的線性組合可以通過以下兩種方法來近似達(dá)到輻射掩蔽：一種是所有高斯導(dǎo)函數(shù)的脈沖形成因子α都相同，另一種是每個(gè)高斯導(dǎo)函數(shù)具有不同的α值。下面將N個(gè)導(dǎo)函數(shù)的脈沖形成因子α定義為一個(gè)“α矢量”，記作alphavector。

3 仿真結(jié)果與分析

首先在MATLAB中生成一個(gè)GUI界面，如圖2所示。

圖2 超寬帶脈沖設(shè)計(jì)GUI界面

設(shè)置階數(shù)g=10，脈沖形成因子α=0.714e-9，即alphavector=[0.714e-9 0.714e-9 0.714e-9 0.714e-9 0.714e-9 0.714e-9 0.714e-9 0.714e-9 0.714e-9 0.714e-9]。點(diǎn)擊button 1，可以得到高斯脈沖及其前10階導(dǎo)函數(shù)波形如圖3所示。

圖3 高斯脈沖及其前10階導(dǎo)函數(shù)波形

設(shè)置階數(shù)g=10，脈沖形成因子α=0.714e-9，點(diǎn)擊button 2，可以得到前10階高斯導(dǎo)函數(shù)脈沖的ESD，如圖4所示。

圖4 前10階高斯導(dǎo)函數(shù)脈沖的ESD

設(shè)置階數(shù)g=10，生成模式i=1，脈沖重復(fù)周期Ts=1e-7，允許的最大迭代次數(shù)attempts=100，點(diǎn)擊button 3，生成前10階高斯導(dǎo)函數(shù)脈沖的PSD，如圖5所示。

圖5 生成模式1

如圖5所示，高斯函數(shù)的前10階歸一化導(dǎo)函數(shù)滿足FCC所規(guī)定的室內(nèi)輻射掩蔽標(biāo)準(zhǔn)，同時(shí)由前10階高斯導(dǎo)函數(shù)脈沖的線性組合生成的擬合函數(shù)也滿足FCC所規(guī)定的室內(nèi)輻射掩蔽標(biāo)準(zhǔn)。但是，選擇模式1所生成的各個(gè)頻帶的利用率不高。因此，將生成模式換成2，即令alphavector=[1.5e-9 0.314e-9 0.314e-9 0.314e-9 0.314e-9 0.314e-9 0.314e-9 0.314e-9 0.314e-9 0.314e-9]，再次實(shí)驗(yàn)，觀察高斯函數(shù)的前10階歸一化導(dǎo)函數(shù)及其擬合函數(shù)的性能優(yōu)劣，如圖6所示。

圖6 生成模式2

圖6 中，采用生成模式2得到的高斯函數(shù)的前10階歸一化導(dǎo)函數(shù)及其擬合函數(shù)的性能明顯優(yōu)于生成模式1。因?yàn)樯赡Ｊ?中的一階脈沖形成因子為1.5e-9，比生成模式1中的一階脈沖形成因子要高，可以提高擬合脈沖函數(shù)在低頻部分的頻帶利用率；生成模式2中其他各階脈沖形成因子為0.314e-9，比生成模式1中的其他各階脈沖形成因子要低，可以提高擬合脈沖函數(shù)在高頻部分的頻帶利用率。為了進(jìn)一步驗(yàn)證一階脈沖形成因子的對(duì)擬合脈沖函數(shù)的影響，將一階脈沖形成因子改為3.0e-9再次實(shí)驗(yàn)，得到如圖7所示的新的擬合脈沖函數(shù)的波形?？梢姡碌臄M合脈沖函數(shù)波形在低頻階段更加符合FCC制定的輻射掩蔽標(biāo)準(zhǔn)。

為了考察不同階數(shù)對(duì)最終形成的擬合脈沖函數(shù)的影響，在GUI中點(diǎn)擊button 4，生成結(jié)果如圖8所示。

通過分析圖8可以得到，前10階和前12階高斯擬合脈沖函數(shù)在低頻部分表現(xiàn)最好；前10階和前13階高斯擬合脈沖函數(shù)在中頻部分性能最好；前14階和前15階高斯擬合脈沖函數(shù)在高頻部分性能最好。可見，在低頻部分，階數(shù)高的高斯擬合脈沖函數(shù)不一定性能最好。

圖7 提高一階脈沖形成因子

圖8 前10階到前15階高斯擬合脈沖函數(shù)對(duì)比結(jié)果

4 結(jié) 語

本文通過對(duì)高斯脈沖的不同導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行線性組合來尋找符合輻射掩蔽標(biāo)準(zhǔn)的最優(yōu)波形。經(jīng)過對(duì)仿真結(jié)果進(jìn)行分析可以得到：高斯函數(shù)的一階脈沖形成因子α的數(shù)值大小與高斯函數(shù)的各階歸一化導(dǎo)函數(shù)及其擬合函數(shù)在低頻部分的功率成正比；而高斯函數(shù)的其他各階脈沖形成因子的數(shù)值大小與高斯函數(shù)的各階歸一化導(dǎo)函數(shù)及其擬合函數(shù)在高頻部分的功率成反比。同時(shí)，由于增加擬合階數(shù)會(huì)拉低低頻部分的擬合功率，因此擬合階數(shù)并非越高越好。