定解問(wèn)題中無(wú)窮遠(yuǎn)邊界條件的嚴(yán)格表示

龐宇萱　史慶藩

摘要：數(shù)學(xué)物理方法教科書(shū)在表示穩(wěn)定場(chǎng)的定解問(wèn)題時(shí)，將無(wú)窮遠(yuǎn)邊界條件用了“～”符號(hào)來(lái)表示，然而在確定通解中的系數(shù)時(shí)卻用“=”帶入求解過(guò)程。本文討論了這種表示的邏輯內(nèi)涵，并給出了嚴(yán)格的無(wú)窮遠(yuǎn)邊界條件的表達(dá)形式，為這類(lèi)定解問(wèn)題的求解提供了有價(jià)值的參考。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)物理方法；無(wú)窮遠(yuǎn)邊界；特殊方程

中圖分類(lèi)號(hào)：G642.3 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2018）21-0181-02

引言

眾所周知，數(shù)理方程與特殊函數(shù)是物理及工程類(lèi)專(zhuān)業(yè)本科生的一門(mén)重要必修課。這門(mén)課程的教學(xué)對(duì)培養(yǎng)學(xué)生綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)和物理規(guī)律去分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力具有不可替代的作用。在實(shí)際的物理與工程問(wèn)題中，定解條件決定了定解問(wèn)題求解的最終結(jié)果。然而，由于特殊函數(shù)方程和定解條件所構(gòu)成的定解問(wèn)題其處理過(guò)程較為復(fù)雜，有些細(xì)節(jié)的數(shù)學(xué)與物理邏輯不易被學(xué)習(xí)者所理解。例如，處理穩(wěn)定場(chǎng)的定解問(wèn)題時(shí)，關(guān)于無(wú)窮遠(yuǎn)處的邊界條件，在大多數(shù)的數(shù)學(xué)物理方法教科書(shū)中列為：u ～Arcosθ+C，其中r是極矢，A代表著不同的強(qiáng)度量，即在溫度場(chǎng)中代表熱流，在靜電場(chǎng)中代表電場(chǎng)強(qiáng)度，在穩(wěn)態(tài)電流場(chǎng)中代表電流密度等[1]。但在利用定解條件來(lái)確定通解中的系數(shù)時(shí)卻以“=”代替了所列條件中的“～”進(jìn)行結(jié)果的計(jì)算，同時(shí)也未說(shuō)明理由，因此這樣的處理方式令人感到困惑。本文首先以靜電場(chǎng)為例給出了教科書(shū)中對(duì)于無(wú)窮遠(yuǎn)邊界條件的應(yīng)用過(guò)程，接著討論了以“=”代替“～”進(jìn)行計(jì)算的值得商榷的原因，最后給出了嚴(yán)格的無(wú)窮遠(yuǎn)邊界條件的表達(dá)形式，為這類(lèi)定解問(wèn)題的求解提供了有價(jià)值的參考。

一、問(wèn)題的引出與討論

靜電場(chǎng)定解問(wèn)題示例：在本來(lái)是勻強(qiáng)的靜電場(chǎng)中放置均勻介質(zhì)球，本來(lái)的電場(chǎng)強(qiáng)度為E ，球的半徑是r ，介電常數(shù)是ε，求解介質(zhì)球內(nèi)外的電場(chǎng)強(qiáng)度。通常，取球心為球坐標(biāo)系的極點(diǎn)，極軸沿電場(chǎng)方向?？紤]邊界條件u 有限，球內(nèi)電勢(shì)的解為

u = A lrlPl（cosθ） （1）

球外電勢(shì)的通解易知為

u = Clrl+D P （cosθ） （2）

為了確定（2）式中的系數(shù)，考慮很大的r，并利用邊界條件

u ～-E rcosθ+C （3）

易得：

ClrlPlcosθ～-E rcosθ+C

=-E rP （cosθ）+CP （cosθ） （4）

比較兩邊系數(shù)得出：C =-E ，C =0（l≠0，1）。最后再通過(guò)銜接條件得出其余的系數(shù)A 和D 。值得注意的是，在上述教科書(shū)求解過(guò)程中將邊界條件中的“～”變成“=”而進(jìn)行了定系數(shù)的運(yùn)算，為什么這樣處理卻未有交代。

事實(shí)上，從物理的角度來(lái)說(shuō)，本題的邊界條件應(yīng)當(dāng)寫(xiě)為

=-E cosθ （5）

為了得出u ～的精確結(jié)果，我們需要對(duì) 的精確表述來(lái)進(jìn)行積分。考慮到[2]

=-E cosθ+o（r） （6）

其中： o（r）=0。對(duì)（6）式積分得：

u ？搖-u ？搖= dr

= -E cosθdr+ o（r）dr

=-E rcosθ+ o（r）dr （7）

∴u =-E rcosθ+ o（r）dr+u

式中u 可以看作常數(shù)，但∫ o（r）dr則不能確定其類(lèi)型，它可能為0，例如：o（r）=0，也可能為常數(shù)，如：o（x）=e ，亦可能為無(wú)窮大，如：o（x）= 。那么，顯然教科書(shū)中（4）式表達(dá)的不是相等關(guān)系，而是：

ClrlPlcosθ～-E rP （cosθ）+CP （cosθ） （8）

即：-E rcosθ+ o（r）dr+u

～-E rP （cosθ）+CP （cosθ）

（ o（r）=0） （9）

實(shí)際上，如果 o（r）dr為零或常數(shù)，（9）式顯然成立，而若其為無(wú)窮大，由洛必達(dá)法則，注意到：

由此，我們可以用等價(jià)無(wú)窮大來(lái)理解（雖然書(shū)中尚未注明），本題的球函數(shù)解與均勻平直場(chǎng)在趨于無(wú)窮遠(yuǎn)時(shí)應(yīng)該是等價(jià)無(wú)窮大。

二、邊界條件的精確表示

由上述討論我們知，原教科書(shū)的解法需要復(fù)雜的邏輯討論過(guò)程。實(shí)際上，我們不難給出（5）式所表示的邊界條件。對(duì)（2）式求偏導(dǎo)并代入（5）式得：

實(shí)際上，因?yàn)殪o電場(chǎng)的庫(kù)倫定律，保證了在電荷有限的情形下（本題的導(dǎo)體有限大，帶的總電荷必然是有限的），電荷在無(wú)窮遠(yuǎn)的影響應(yīng)當(dāng)正比于r-2，從而積分是有限值，屬于第二種情形，所以?xún)煞N邊界條件的列法最后得出了同樣的結(jié)論。

參考文獻(xiàn)：

[1]梁昆淼.數(shù)學(xué)物理方法[M].北京：高等教育出版社，2010.

[2]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].北京：高等教育出版社，2008.