考慮徑向熱力耦合的主軸-軸承系統(tǒng)熱網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)分析

王東峰，劉譯勵(lì)，解添鑫，張進(jìn)華，楊浩亮

(1.洛陽(yáng)軸承研究所有限公司，河南 洛陽(yáng) 471039；2.河南省高性能軸承技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河南 洛陽(yáng) 471039；3.滾動(dòng)軸承產(chǎn)業(yè)技術(shù)創(chuàng)新戰(zhàn)略聯(lián)盟，河南 洛陽(yáng) 471039;4.西安交通大學(xué) 機(jī)械制造系統(tǒng)工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710054;5.北京控制工程研究所，北京 100190)

符號(hào)說(shuō)明

d—軸承內(nèi)徑，mm

d0—等效圓筒內(nèi)徑，mm

de— 對(duì)流換熱特征長(zhǎng)度，mm

dm—軸承平均直徑，mm

D—軸承外徑，mm

D0—等效圓筒外徑，mm

E—材料彈性模量，Pa

f0—與軸承類型和潤(rùn)滑條件有關(guān)的系數(shù)

f1—與軸承結(jié)構(gòu)和載荷相關(guān)的系數(shù)

Fβ—與作用力大小和方向有關(guān)的摩擦力矩計(jì)算載荷，N

g—重力加速度，mm/s2

Gr—Grashof數(shù)

h—對(duì)流換熱系數(shù)，W/(m2·K)

L—等效圓筒長(zhǎng)度，mm

M—軸承總摩擦力矩，N·m

M0—與潤(rùn)滑劑有關(guān)的摩擦力矩，N·m

M1—與載荷有關(guān)的摩擦力矩，N·m

n—主軸轉(zhuǎn)速，r/min

Nu—Nusselt特征數(shù)

Pr—Prandtl數(shù)

P1—軸承內(nèi)圈與軸配合處徑向應(yīng)力，MPa

Q—軸承發(fā)熱功率，W

Qf—節(jié)點(diǎn)O處的生熱率，W

r—微分半徑

r1—軸承內(nèi)圈內(nèi)半徑，mm

r2—軸承內(nèi)圈外半徑，mm

R—定義熱阻，K/W

Re—Reynolds數(shù)

Ra—圓筒軸向?qū)釤嶙?，K/W

Rr—圓筒徑向?qū)釤嶙?，K/W

Rha—圓筒軸向?qū)α鳠嶙瑁琄/W

Rhr—圓筒徑向?qū)α鳠嶙?，K/W

RO-1,RO-2,RO-3,RO-4—節(jié)點(diǎn)O與相鄰節(jié)點(diǎn)間的熱阻， K/W

T1,T2,T3,T4—相鄰節(jié)點(diǎn)溫度，℃

TO—節(jié)點(diǎn)O溫度，℃

Ta—與固體表面接觸的空氣溫度，℃

Tz—靜止固體表面溫度，℃

u—對(duì)流換熱特征速度，mm/s

β—熱膨脹系數(shù)，K-1

λ—導(dǎo)熱系數(shù)，W/(m·K)

ΔT—節(jié)點(diǎn)間溫差，℃

εr—徑向應(yīng)變

εθ—切向應(yīng)變

μ—變形量，mm

ν—工作溫度下潤(rùn)滑劑的運(yùn)動(dòng)黏度，mm2/s

νa—工作溫度下空氣的運(yùn)動(dòng)黏度，mm2/s

σr—徑向應(yīng)力，MPa

σθ—切向應(yīng)力，MPa

ω—主軸轉(zhuǎn)動(dòng)角速度，rad/s

機(jī)床在加工工件過(guò)程中，驅(qū)動(dòng)電動(dòng)機(jī)、軸承、切削刀頭等部位會(huì)產(chǎn)生大量熱量，導(dǎo)致主軸熱變形，破壞冷態(tài)時(shí)各部分準(zhǔn)確的相對(duì)位置關(guān)系，影響加工精度，同時(shí)會(huì)進(jìn)一步加劇軸承等零部件發(fā)熱，甚至造成熱失穩(wěn)，因此，對(duì)主軸系統(tǒng)溫度的預(yù)測(cè)尤為重要。

目前，國(guó)內(nèi)外對(duì)軸系進(jìn)行熱分析的主要方法有邊界元法、有限差分法、有限元法以及熱網(wǎng)絡(luò)法等。但邊界元法和有限差分法精度不足，有限元法網(wǎng)格劃分復(fù)雜、接觸對(duì)等設(shè)置繁瑣，導(dǎo)致熱分析過(guò)程繁瑣且計(jì)算時(shí)間較長(zhǎng)，不利于工程應(yīng)用。熱網(wǎng)絡(luò)法是一種熱電比擬的數(shù)值計(jì)算方法，其借用電學(xué)中的基爾霍夫定律得出復(fù)雜傳熱系統(tǒng)的熱平衡關(guān)系，再通過(guò)編程求解各節(jié)點(diǎn)溫度，其操作簡(jiǎn)單、計(jì)算效率高，是求解軸系穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)的一種有效手段[1-4]。現(xiàn)針對(duì)新開(kāi)發(fā)的試驗(yàn)臺(tái)用機(jī)械主軸進(jìn)行徑向熱力耦合分析，以預(yù)測(cè)穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)。

1 建立熱網(wǎng)絡(luò)模型

1.1 主軸-軸承系統(tǒng)簡(jiǎn)化模型

超高速試驗(yàn)主軸結(jié)構(gòu)如圖1所示，采用單套角接觸球軸承，輕預(yù)緊力。在進(jìn)行模型求解時(shí)不考慮接觸熱阻的影響，故可對(duì)原試驗(yàn)主軸結(jié)構(gòu)進(jìn)行結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化，忽略對(duì)主軸-軸承系統(tǒng)熱傳遞影響甚微的彈簧、螺母等次要結(jié)構(gòu)，以簡(jiǎn)化節(jié)點(diǎn)布置，提高求解效率。簡(jiǎn)化后的主軸-軸承系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及節(jié)點(diǎn)布置如圖2所示。由于主軸-軸承系統(tǒng)為旋轉(zhuǎn)體結(jié)構(gòu)，故將三維熱傳遞問(wèn)題簡(jiǎn)化為圖2中34個(gè)節(jié)點(diǎn)的二維熱傳遞問(wèn)題，其中每套軸承視為具有3個(gè)熱節(jié)點(diǎn)的簡(jiǎn)化模型。主軸軸承預(yù)緊方式為定壓預(yù)緊，故在使用熱網(wǎng)絡(luò)法求解過(guò)程中預(yù)載荷視為定值，這也是未考慮軸向熱力耦合的原因。

圖1 試驗(yàn)主軸結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Structure diagram of test spindle

圖2 主軸節(jié)點(diǎn)布置Fig.2 Node layout of spindle

1.2 穩(wěn)態(tài)熱平衡方程組的建立

使用熱網(wǎng)絡(luò)法建立穩(wěn)態(tài)熱平衡方程組之前需要解決3個(gè)問(wèn)題：熱源、熱阻的計(jì)算以及熱邊界條件的確定。

1.2.1 熱源的計(jì)算

建立的機(jī)械主軸系統(tǒng)只考慮軸承處發(fā)熱。在大量試驗(yàn)基礎(chǔ)上得出的計(jì)算滾動(dòng)軸承摩擦力矩的Palmgren經(jīng)驗(yàn)公式[5]被廣泛采用，該公式在主軸中低速運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)可達(dá)到較高的計(jì)算精度，高速運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)還需考慮滾動(dòng)體自旋生熱、潤(rùn)滑劑攪動(dòng)生熱等影響，考慮以上因素會(huì)增加問(wèn)題的復(fù)雜性，降低求解效率，為兼顧求解精度與求解效率，便于工程應(yīng)用，文中采用Palmgren經(jīng)驗(yàn)公式求解熱源。

軸承發(fā)熱量為

Q=Mω。

(1)

摩擦力矩M為

M=M1+M0,

(2)

M1=f1Fβdm,

M1與轉(zhuǎn)速無(wú)關(guān)，隨載荷及預(yù)緊力的增大而增大；M0與潤(rùn)滑劑運(yùn)動(dòng)黏度和轉(zhuǎn)速有關(guān)，反映潤(rùn)滑劑的攪拌阻力。

1.2.2 熱阻的計(jì)算

類比于歐姆定律中電流與電勢(shì)差之間的關(guān)系，熱流與溫差之間的關(guān)系為

(3)

將主軸系統(tǒng)中的空心軸、軸承套圈、套筒等零部件均簡(jiǎn)化為空心圓筒，將傳熱學(xué)理論應(yīng)用于空心圓筒，考慮傳導(dǎo)與對(duì)流2種傳熱方式，可得圓筒的軸向和徑向?qū)釤嶙璺謩e為

(4)

(5)

圓筒的軸向和徑向?qū)α鳠嶙璺謩e為

(6)

(7)

1.2.3 熱邊界條件的確定

簡(jiǎn)化后的主軸-軸承系統(tǒng)將螺旋冷卻管道外的結(jié)構(gòu)忽略，為了降低求解難度，計(jì)算時(shí)將螺旋冷卻管道處壁面視為恒溫(25 ℃)，不對(duì)冷卻管道內(nèi)復(fù)雜流動(dòng)形態(tài)進(jìn)行研究。另外，原試驗(yàn)臺(tái)采用油氣潤(rùn)滑，為簡(jiǎn)化計(jì)算，未考慮油氣對(duì)流及熱交換的影響。

軸系附近空氣溫度恒定為27 ℃，對(duì)流換熱系數(shù)為

(8)

Nusselt特征數(shù)Nu根據(jù)對(duì)流換熱方式不同由不同的經(jīng)驗(yàn)公式得到。

對(duì)于靜止表面，自然對(duì)流換熱的Nusselt特征數(shù)計(jì)算公式為

Nu=0.53(GrPr)0.25，

(9)

旋轉(zhuǎn)表面強(qiáng)迫對(duì)流換熱的Nusselt特征數(shù)為

Nu=0.133(Re)2/3(Pr)1/3，

(10)

1.2.4 穩(wěn)態(tài)熱平衡方程組的建立

建立熱平衡方程組時(shí)，將每個(gè)熱節(jié)點(diǎn)的熱平衡方程進(jìn)行聯(lián)立，單個(gè)節(jié)點(diǎn)熱傳遞系統(tǒng)如圖3所示。

圖3 二維溫度節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)Fig.3 Two-dimensional temperature node system

建立該節(jié)點(diǎn)熱平衡方程為

(11)

為得到熱平衡方程的矩陣形式以便于用MATLAB編程求解，將(11)式整理可得

(12)

對(duì)于每個(gè)節(jié)點(diǎn)上式均成立，建立所有節(jié)點(diǎn)的熱平衡方程即可得熱平衡方程組的矩陣形式為

GT=Q。

(13)

1.3 徑向熱力耦合分析

僅對(duì)主軸-軸承系統(tǒng)徑向熱力耦合進(jìn)行分析，暫不考慮軸向熱力耦合的影響。主軸-軸承系統(tǒng)在運(yùn)轉(zhuǎn)的過(guò)程中受到熱應(yīng)力、離心應(yīng)力和裝配應(yīng)力的交互影響，根據(jù)各部件間相對(duì)幾何關(guān)系，在進(jìn)行徑向變形分析時(shí)可將主軸軸徑視為等截面梁，軸承內(nèi)圈、外圈和軸承座可視為空心圓盤(pán)。對(duì)于內(nèi)圈，根據(jù)彈性力學(xué)理論，柱坐標(biāo)系下的力平衡方程、幾何方程以及應(yīng)力-應(yīng)變方程分別為

(14)

(15)

(16)

整理(14)～(16)式可得

(17)

根據(jù)以下軸承內(nèi)圈受力邊界條件即可求得徑向變形與徑向應(yīng)力的表達(dá)式

(18)

2 熱網(wǎng)絡(luò)模型求解

2.1 計(jì)算流程

試驗(yàn)臺(tái)主軸用角接觸球軸承套圈和球材料采用符合GB/T 18254—2002《高碳鉻軸承鋼》規(guī)定的高碳鉻軸承鋼，其他參數(shù)見(jiàn)表1，相關(guān)工況及技術(shù)參數(shù)見(jiàn)表2,潤(rùn)滑方式為油氣潤(rùn)滑。

表1 軸承主要參數(shù)Tab.1 Main parameters of bearing

表2 工況及技術(shù)參數(shù)Tab.2 Operating conditions and technical parameters

采用MATLAB軟件對(duì)該系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)進(jìn)行求解，流程圖如圖4所示。

圖4 穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)求解流程圖Fig.4 Flow chart for solve steady temperature field

根據(jù)徑向熱變形反復(fù)修正穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)，直到穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)基本不變時(shí)認(rèn)為計(jì)算結(jié)果收斂。若達(dá)到設(shè)定的迭代次數(shù)仍未收斂，查看輸出結(jié)果是否不合理。運(yùn)行結(jié)果表明，對(duì)于主軸轉(zhuǎn)速小于20 000 r/min的情況，迭代次數(shù)設(shè)置為1 000次，計(jì)算結(jié)果均可較快達(dá)到收斂。

2.2 穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)求解結(jié)果

程序運(yùn)行結(jié)果顯示，軸承處溫度最高，提取軸承套圈以及球溫度進(jìn)行分析。根據(jù)程序運(yùn)行結(jié)果，2套軸承內(nèi)圈內(nèi)表面和外圈外表面溫度隨轉(zhuǎn)速的變化如圖5所示。由圖可知，隨轉(zhuǎn)速的提高，軸承溫度也不斷升高，由于該模型基本成左右對(duì)稱分布，故2套軸承溫度變化曲線基本重合。另外，由于螺旋冷卻管道的作用以及沒(méi)有考慮接觸熱阻的影響，使得內(nèi)圈內(nèi)表面溫度高于外圈外表面溫度，且轉(zhuǎn)速越大該差距越明顯，說(shuō)明冷卻水套在高轉(zhuǎn)速時(shí)降低軸系溫度的作用更加明顯。

圖5 軸承溫度隨轉(zhuǎn)速變化的規(guī)律Fig.5 Variation rule of bearing temperature with rotational speed

單獨(dú)提取1#軸承穩(wěn)態(tài)時(shí)溫度隨轉(zhuǎn)速的變化規(guī)律，如圖6所示。由圖可知，球的溫度與內(nèi)圈內(nèi)表面溫度變化曲線基本重合，這是因?yàn)橐环矫鏇](méi)有考慮接觸熱阻的影響；另一方面內(nèi)圈較薄且散熱情況較外圈差，而球只設(shè)定了一個(gè)熱節(jié)點(diǎn)，達(dá)到熱平衡時(shí)內(nèi)圈內(nèi)表面節(jié)點(diǎn)與球節(jié)點(diǎn)(圖2中9#和10#節(jié)點(diǎn))距離很近，故溫度基本相同。

圖6 1#軸承溫度隨轉(zhuǎn)速變化的規(guī)律Fig.6 Variation rule of 1# bearing temperature with rotational speed

冷卻水套對(duì)1#軸承溫度的影響如圖7所示。由圖可知，加上冷卻水套后，不同轉(zhuǎn)速下1#軸承內(nèi)圈內(nèi)表面與外圈外表面的溫度均降低約2 ℃，說(shuō)明冷卻水套的降溫效果明顯。試驗(yàn)過(guò)程中若能保證冷卻水的良好循環(huán)，使其內(nèi)壁溫度近似恒定在25 ℃，即可有效降低軸系內(nèi)軸承溫度，由于2套軸承是機(jī)械主軸系統(tǒng)內(nèi)唯一熱源，故可以降低整個(gè)軸系的整體溫度。

圖7 冷卻水套對(duì)1#軸承溫度的影響Fig.7 Influence of cooling water jacket on 1# bearing temperature

2.3 求解結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比分析

在相同工況下對(duì)相同型號(hào)的2套軸承進(jìn)行溫度試驗(yàn)，由于測(cè)量條件限制，只對(duì)外圈外表面進(jìn)行記錄。試驗(yàn)采用某公司生產(chǎn)的高速電主軸軸承試驗(yàn)機(jī)(圖1)。軸向載荷通過(guò)液壓閥進(jìn)行加載。試驗(yàn)軸承采用循環(huán)冷卻水，保持外圈溫度穩(wěn)定。溫度傳感器測(cè)頭通過(guò)試驗(yàn)軸座上的小孔直接接觸外圈。試驗(yàn)結(jié)果與計(jì)算結(jié)果對(duì)比如圖8所示。

圖8 軸承外圈外表面溫度對(duì)比Fig.8 Comparison of outer surface temperature of bearing outer ring

由圖8可知，試驗(yàn)過(guò)程中2套軸承外圈表面溫度明顯低于計(jì)算值，存在偏差；同時(shí)，計(jì)算結(jié)果中2套軸承的溫度曲線是相同的，但試驗(yàn)過(guò)程中2套軸承存在明顯溫度差。這是由于1#軸承端循環(huán)管道較密集，且冷卻循環(huán)水是由此端進(jìn)入，經(jīng)過(guò)循環(huán)后從2#軸承端排出，此時(shí)溫度已經(jīng)升高，因此，1#軸承冷卻較為充分，試驗(yàn)結(jié)果也佐證了計(jì)算分析中循環(huán)管道對(duì)軸承溫升的冷卻作用。

3 結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)考慮徑向熱力耦合的熱網(wǎng)絡(luò)法對(duì)主軸-軸承系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)分布進(jìn)行了求解，結(jié)果表明：當(dāng)把軸承發(fā)熱作為唯一熱源時(shí)，軸承溫升明顯，螺旋管道冷卻對(duì)降低外圈溫升起了很大作用，隨著軸承轉(zhuǎn)速的升高軸承溫升增加，冷卻管道的作用也更為突出。但利用熱網(wǎng)絡(luò)法求解過(guò)程中忽略了軸向力作用，使得計(jì)算結(jié)果有較大誤差，且由于Palmgren經(jīng)驗(yàn)公式在主軸轉(zhuǎn)速較高時(shí)誤差較大，因此，此方法還不適合用于超高速軸承溫度場(chǎng)的分析。