中段彈道目標(biāo)微多普勒歷程修復(fù)算法

許旭光 馮存前,2 李靖卿 賀思三

(1. 空軍工程大學(xué)防空反導(dǎo)學(xué)院，陜西西安 710051；2. 信息感知技術(shù)協(xié)同創(chuàng)新中心，陜西西安 710077;3. 中國人民解放軍93786部隊(duì)，河北張家口 075000)

1 引言

作為一種可以直接打擊敵國戰(zhàn)略戰(zhàn)役重心的高技術(shù)大規(guī)模殺傷性武器，彈道目標(biāo)具有強(qiáng)大的戰(zhàn)略威懾力和戰(zhàn)役戰(zhàn)術(shù)打擊能力[1]。由于彈道導(dǎo)彈在中段飛行時(shí)間較長、彈道易預(yù)測等特點(diǎn)，國內(nèi)外普遍認(rèn)為中段是彈道導(dǎo)彈防御的重要階段[2]。微動(dòng)作為中段彈道目標(biāo)的一種典型運(yùn)動(dòng)特征，對(duì)于彈道目標(biāo)特征的提取與識(shí)別具有重要的研究意義。

在彈道目標(biāo)的觀測過程中，由于遮擋效應(yīng)導(dǎo)致回波采集中斷，使得部分時(shí)間內(nèi)微多普勒歷程出現(xiàn)缺失現(xiàn)象。文獻(xiàn)[3]和文獻(xiàn)[4]分別分析了遮擋效應(yīng)對(duì)平底錐形彈道目標(biāo)以及錐柱形彈道目標(biāo)的影響，通過仿真和實(shí)測數(shù)據(jù)驗(yàn)證由于遮擋效應(yīng)導(dǎo)致的微多普勒歷程缺失問題，文獻(xiàn)[5]研究了遮擋效應(yīng)對(duì)于有尾翼錐形彈道目標(biāo)尾翼散射中心和滑動(dòng)散射中心的影響，通過仿真驗(yàn)證遮擋效應(yīng)對(duì)各散射中心一維距離像歷程的影響。但是上述文獻(xiàn)并沒有針對(duì)這一問題提出相應(yīng)的解決辦法。如果直接使用缺失的微多普勒歷程對(duì)彈道目標(biāo)相關(guān)特性進(jìn)行分析，會(huì)增加彈道目標(biāo)微動(dòng)特征提取的難度，影響彈道目標(biāo)識(shí)別的有效性。

作為一種新型采樣理論，壓縮感知能夠打破傳統(tǒng)采樣理論的限制，以少量的觀測信號(hào)實(shí)現(xiàn)對(duì)原始信號(hào)的重構(gòu)，因而廣泛的應(yīng)用于信號(hào)處理、圖像處理、醫(yī)學(xué)成像、光學(xué)成像、電磁學(xué)等領(lǐng)域[6]。當(dāng)前，基于壓縮感知的數(shù)據(jù)修復(fù)研究已經(jīng)取得一定成果。文獻(xiàn)[8]基于壓縮感知理論實(shí)現(xiàn)對(duì)振動(dòng)數(shù)據(jù)的恢復(fù),并且通過計(jì)算機(jī)仿真和實(shí)測數(shù)據(jù)驗(yàn)證算法有效性；文獻(xiàn)[9]采用基于貝葉斯壓縮感知的圖像修復(fù)方法對(duì)受損圖像進(jìn)行修復(fù)。

本文以平底錐形彈道目標(biāo)作為研究對(duì)象，在彈道目標(biāo)滑動(dòng)散射中心進(jìn)動(dòng)模型的基礎(chǔ)上，分析不同視角下遮擋效應(yīng)對(duì)散射中心微多普勒歷程的影響；針對(duì)遮擋效應(yīng)導(dǎo)致的微多普勒歷程缺失問題，設(shè)計(jì)壓縮感知框架下的觀測矩陣，通過貪婪算法中的SP算法實(shí)現(xiàn)微多普勒歷程高精度修復(fù)；通過將本文提出算法與傅里葉插值和多項(xiàng)式擬合修復(fù)算法的比較分析，說明文中所提算法的有效性；通過分析不同數(shù)據(jù)缺失率下本文算法的重構(gòu)效果，分析該算法的使用條件；最后對(duì)全文內(nèi)容進(jìn)行總結(jié)。

2 彈道目標(biāo)滑動(dòng)散射中心進(jìn)動(dòng)模型

文獻(xiàn)[10]結(jié)合仿真數(shù)據(jù)和暗室測量數(shù)據(jù)證明：滑動(dòng)散射中心模型比理想散射中心模型更符合彈道目標(biāo)實(shí)際運(yùn)動(dòng)情況?；诖耍椀滥繕?biāo)滑動(dòng)散射中心進(jìn)動(dòng)模型如圖1。

圖1 滑動(dòng)散射中心進(jìn)動(dòng)模型Fig.1 The model of procession target of sliding scatter

雷達(dá)視線的單位方向向量：

η=[cosαcosβ,sinαcosβ,sinβ]T

(1)

e=[sinξ,0,cosξ]T

(2)

t時(shí)刻彈體對(duì)稱軸的單位方向向量表示為：

ed=[sinξcos(ωct),sinξsin(ωct),cosξ]T

(3)

聯(lián)立式(2)和式(3)，則有雷達(dá)視線與對(duì)稱軸夾角的余弦值cos(ψ)為

cos(ψ)=sinξcosβsin(ωct+α)+cosξsinβ

(4)

根據(jù)散射中心在彈頭中的幾何分布，可以得出各散射中心的微距離表達(dá)式為：

(5)

式中：R0為雷達(dá)到參考坐標(biāo)系原點(diǎn)o′的距離。

微距離R和微多普勒fd之間的關(guān)系為：

(6)

式中：λ為雷達(dá)發(fā)射電磁波波長。根據(jù)式(6)可得各散射中心的微多普勒表達(dá)為：

(7)

由式(7)中知：錐頂A的微多普勒歷程呈標(biāo)準(zhǔn)的正弦函數(shù)，B和C兩個(gè)滑動(dòng)散射中心微多普勒歷程受到觀測視角、彈體物理結(jié)構(gòu)特征、錐旋角頻率等參數(shù)調(diào)制，表現(xiàn)為非標(biāo)準(zhǔn)的正弦形式。

3 彈道目標(biāo)遮擋效應(yīng)分析

為分析遮擋效應(yīng)對(duì)彈頭各散射中心的影響，建立圓錐彈頭等效散射中心模型如圖2所示。

圖2 等效散射中心示意圖Fig.2 The sketch map of equivalent scatter

通過幾何分析可以得出，當(dāng)雷達(dá)視線LOS與彈體對(duì)稱軸夾角ψ和彈道目標(biāo)半錐角γ滿足某些數(shù)學(xué)關(guān)系時(shí)，彈道目標(biāo)等效散射中心處于被遮擋的狀態(tài)。具體分析如表1所示。

表1 散射中心可見性與雷達(dá)視角關(guān)系

表1中，“Y”表示散射中心未被遮擋，能夠有效散射回波；“N”表示散射中心被遮擋，無法有效散射回波。

綜上，當(dāng)考慮遮擋效應(yīng)對(duì)彈道目標(biāo)微多普勒歷程的影響時(shí)，微多普勒歷程可以修正為：

fd=fd×u(t)

(8)

式中：

(9)

考慮到彈道目標(biāo)在空間微動(dòng)狀態(tài)具有周期性，u(t)應(yīng)當(dāng)為一個(gè)周期函數(shù)，其具體表達(dá)形式由觀測視角和半錐角的數(shù)學(xué)關(guān)系決定。

4 微多普勒歷程修復(fù)原理

根據(jù)壓縮感知原理，若信號(hào)xN×1本身或在某個(gè)變換域是稀疏的，即稀疏系數(shù)中只有少量非0元素，則對(duì)信號(hào)進(jìn)行隨機(jī)壓縮采樣得到y(tǒng)M×1(M

(10)

Step 1 取單位矩陣IN×N；

若x在稀疏基矩陣Φ下可以表示為

x=Φθ

(11)

式中：θ為稀疏系數(shù)。

則上述重構(gòu)問題可以表示為

(12)

CS理論發(fā)展至今已經(jīng)產(chǎn)生多種重構(gòu)算法，主要由包括凸松弛算法、貪婪算法、迭代閾值算法等[13]。貪婪算法由于運(yùn)轉(zhuǎn)速率低、重構(gòu)精度高而得到廣泛應(yīng)用[14]。常見的貪婪算法包括匹配追蹤(MP)、正交匹配追蹤(OMP)、壓縮采樣匹配追蹤(CoSaMP)等。本文采用SP(Subspace Pursuits)對(duì)缺失的微多普勒歷程進(jìn)行重構(gòu)。

算法流程如下：

Input：壓縮感知矩陣T，觀測數(shù)據(jù)y，稀疏度K。

Step 1 令初始?xì)埐顁0=y，迭代次數(shù)t=1，索引集合Λt=?，At由Λt對(duì)應(yīng)壓縮感知矩陣T中的列向量組成，設(shè)At=?。

Step 2 計(jì)算u=||，選擇u中K個(gè)最大值，其索引號(hào)構(gòu)成集合J0,對(duì)應(yīng)列向量構(gòu)成矩陣a,更新索引集合Λt=Λt-1∪J0，At=At-1∪a。

與OMP、MP等重構(gòu)算法相比，SP每次在感知矩陣中選取多個(gè)原子，可以有效減少迭代次數(shù)，提高運(yùn)算效率。

5 仿真分析

假設(shè)雷達(dá)發(fā)射單載脈沖信號(hào)，載頻為f0=10 GHz，脈沖重復(fù)頻率為fr=1024 Hz，積累時(shí)間為T=1 s目標(biāo)為圓錐彈頭，h1=1 m，h2=0.6 m，底面半徑r=0.8 m,半錐角γ=26.6°，雷達(dá)視線的方位角和高低角(α,β)=(20°,70°)；彈頭錐旋角ξ=8°，頻率ωc=8π rad/s。不同散射中心的散射系數(shù)不同，本題假設(shè)A、B、C散射中心散射系數(shù)之比為1.5∶1∶1。

圖3(a)為不考慮遮擋條件下三個(gè)散射中心的微多普勒歷程。通過圖3(a)分析得到：A點(diǎn)的微多普勒歷程為標(biāo)準(zhǔn)的正弦形式，而B點(diǎn)和C點(diǎn)的微多普勒歷程呈現(xiàn)出非標(biāo)準(zhǔn)的正弦形式，這與第2節(jié)中分析是一致的。當(dāng)考慮遮擋效應(yīng)對(duì)回波的影響時(shí)，可以看出圖3(b)中散射中心B的微多普勒歷程在部分時(shí)間內(nèi)間斷，在仿真圖中表現(xiàn)為某些時(shí)間范圍內(nèi)微多普勒頻率為0，從而驗(yàn)證了遮擋效應(yīng)對(duì)微多普勒歷程的影響。

圖3 各散射中心微多普勒歷程 Fig.3 Each scatter’s micro-Doppler histiory

為了對(duì)B散射中心缺失的微多普勒歷程進(jìn)行重構(gòu)，首先對(duì)理想條件下微多普勒歷程在離散余弦基下進(jìn)行展開，得到其稀疏系數(shù)序列如圖4。圖4中可以看出，只有少部分稀疏系數(shù)時(shí)非0的，絕大部分稀疏系數(shù)均為0，這說明微多普勒歷程在離散余弦基下是稀疏的，為后續(xù)實(shí)現(xiàn)基于SP算法條件下的微多普勒歷程實(shí)現(xiàn)有效恢復(fù)提供先決條件。

圖4 散射中心B理想微多普勒歷程在離散余弦基矩陣下稀疏系數(shù)Fig.4 Sparse coefficient of ideal micro-Doppler history of scatter “B”in DCT matrix

采用SP算法對(duì)缺失的微多普勒歷程進(jìn)行重構(gòu)，效果如圖5中綠色曲線所示。分析可以發(fā)現(xiàn)，重構(gòu)后的微多普勒歷程與理想微多普勒歷程基本重合，即本文算法實(shí)現(xiàn)了微多普勒歷程的高精度重構(gòu)。

圖5 基于SP算法的微多普勒歷程修復(fù)結(jié)果Fig.5 Performance of SP algorithm to recover the micro-Doppler history

常見的缺失信號(hào)修復(fù)算法包括插值法、曲線擬合法、譜估計(jì)法以及時(shí)變自回歸算法等[15]。分別采用快速傅里葉插值法和多項(xiàng)式擬合法對(duì)微多普勒歷程進(jìn)行修復(fù)，效果如圖6所示。

圖6 不同方法修復(fù)微多普勒歷程Fig.6 Different ways to recover the micro-Doppler history

從圖6中可以看出，基于傅里葉插值和基于多項(xiàng)式擬合的微多普勒歷程修復(fù)方法對(duì)于微多普勒歷程修復(fù)效果相對(duì)較差，與理想微多普勒歷程的差異性比較明顯，與本文算法的重構(gòu)精度相比還存在較大差距。

文獻(xiàn)[16]中指出：基于壓縮感知的數(shù)據(jù)重構(gòu)算法的重構(gòu)效果與觀測數(shù)據(jù)的數(shù)量有較大關(guān)系。因此，本文擬分析在不同數(shù)據(jù)缺失率下的數(shù)據(jù)文中所提算法的修復(fù)效果。引入重構(gòu)信噪比(PSNR)來分析該算法的重構(gòu)效果：

(13)

式中，x為原始信號(hào)，x″為重構(gòu)后的信號(hào)。

由圖7可以看出，隨著數(shù)據(jù)缺失率的增高，文中所提的方法的重構(gòu)效果越來越差。在仿真實(shí)驗(yàn)中可以看出，當(dāng)數(shù)據(jù)缺失率達(dá)到50%以上時(shí)，重構(gòu)信噪比在8 dB左右，仿真發(fā)現(xiàn)此時(shí)已無法有效修復(fù)出完整的微多普勒歷程。因此，本文提出的算法是有適用條件的，當(dāng)數(shù)據(jù)缺失低于50%時(shí)，本文提出的算法可以得到較好的重構(gòu)效果；當(dāng)缺失率較大時(shí)，數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)被嚴(yán)重破壞，此時(shí)則無法實(shí)現(xiàn)微多普勒歷程的有效修復(fù)。

圖7 數(shù)據(jù)缺失率對(duì)重構(gòu)效果的影響Fig.7 The effects on reconstruction performance of the data missing rate

6 結(jié)論

本文通過對(duì)錐形彈頭滑動(dòng)散射中心建模，驗(yàn)證滑動(dòng)散射中心與理想散射中心微多普勒歷程之間的差異。對(duì)由于遮擋效應(yīng)導(dǎo)致的散射中心微多普勒歷程缺失的問題，提出一種基于CS理論的缺失數(shù)據(jù)補(bǔ)償方法，通過與基于傅里葉插值和多項(xiàng)式擬合的數(shù)據(jù)修復(fù)算法的修復(fù)結(jié)果相比較，驗(yàn)證本文算法的有效性，同時(shí)進(jìn)一步分析數(shù)據(jù)缺失率與算法重構(gòu)效果之間的關(guān)系，指出本文算法的使用條件。通過本文提出算法，可以實(shí)現(xiàn)微多普勒歷程的重構(gòu)，為不完全觀測條件下的微多普勒歷程修復(fù)提供參考方法，為后續(xù)基于完整微多普勒歷程的彈道目標(biāo)特征提取和參數(shù)估計(jì)打下良好的基礎(chǔ)。