Kalman濾波下的多信號單通道盲源分離

何繼愛 宋宇霄

(蘭州理工大學(xué)計(jì)算機(jī)與通信學(xué)院，甘肅蘭州 730050)

1 引言

隨著物聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的快速發(fā)展，物聯(lián)網(wǎng)在各個(gè)行業(yè)中都發(fā)揮著及其重要的作用[1]。窄帶物聯(lián)網(wǎng)(NB-IoT)技術(shù)因功耗低，覆蓋廣等優(yōu)點(diǎn)越來越受到人們的關(guān)注。在窄帶物聯(lián)網(wǎng)通信中，由于物聯(lián)網(wǎng)環(huán)境下傳輸?shù)妮d體通常為單通道窄帶信號[2]，在傳輸信號的過程中由于多設(shè)備的原因，接收機(jī)接收到的往往是多路混合的復(fù)雜信號[3- 4]。為了從復(fù)雜信號中得到有用的信號源，需要對其進(jìn)行分離提取。Kalman濾波算法是一種對動(dòng)態(tài)系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)據(jù)狀態(tài)估計(jì)的有效辦法[5]，它具有儲(chǔ)存歷史數(shù)據(jù)量少的優(yōu)點(diǎn)，利用新的觀測值，通過對其不斷預(yù)測和修正估計(jì)出系統(tǒng)新的狀態(tài)。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的不斷提升，Kalman濾波在實(shí)時(shí)性、有效性、可靠性有著高要求的系統(tǒng)中得到了廣泛的應(yīng)用。

針對單通道盲源分離問題，許多學(xué)者進(jìn)行探索并取得了一定的成果。文獻(xiàn)[6]提出了在窄帶物聯(lián)網(wǎng)中基于雙門限接收的單通道窄帶信號盲分離算法，構(gòu)造并設(shè)計(jì)了單通道窄帶相關(guān)處理器，提高了盲源分離效率，但是對于多信號混合成的觀測信號存在著計(jì)算量大的問題。文獻(xiàn)[7]為了達(dá)到增強(qiáng)語音信號的目的，使用Kalman濾波算法對于含噪聲的混合語音信號進(jìn)行濾波，之后利用Fast-ICA算法對陣列語音信號進(jìn)行分離，但是沒有利用信號的狀態(tài)空間特征對混合信號進(jìn)行分離，運(yùn)算復(fù)雜度較高。文獻(xiàn)[8]提出了一種通過計(jì)算信號循環(huán)頻率，構(gòu)造循環(huán)譜域?yàn)V波器實(shí)現(xiàn)信號分離的方法，文獻(xiàn)[9]在此基礎(chǔ)上對循環(huán)頻率誤差進(jìn)行修改，分析了在誤差條件下濾波器的性能，但是需要根據(jù)循環(huán)譜域譜相關(guān)性得到循環(huán)頻率，以確定濾波器頻移量，計(jì)算復(fù)雜度高。

基于以上的研究，為了解決單傳感器接收混合信號分離的準(zhǔn)確性，提高運(yùn)算效率，本文提出了一種基于Kalman濾波算法對混合信號進(jìn)行狀態(tài)空間估計(jì)，并分離出源信號的算法。文章第2節(jié)主要介紹了窄帶物聯(lián)網(wǎng)SCH低階與高階調(diào)制后接收機(jī)模型，并簡單介紹了Kalman濾波算法基本模型，第3節(jié)介紹了基于Kalman濾波的多信號單通道盲源分離算法，第4節(jié)為仿真實(shí)驗(yàn)并對算法進(jìn)行驗(yàn)證，第5節(jié)對文章進(jìn)行總結(jié)。

2 信號及系統(tǒng)模型

2.1 信號模型

在窄帶物聯(lián)網(wǎng)物理層的設(shè)計(jì)中，有SCH低階調(diào)制與SCH高階調(diào)制，其中SCH低階調(diào)制為BPSK信號與QPSK信號：

(1)

其中，ai=±1,k∈{1,2,3,4},g(t)為基帶碼元波形，n(t)為加性高斯噪聲。對于SCH高階調(diào)制，存在兩個(gè)不同載波的QPSK信號共同作用，可用下式描述：

(2)

2.2 Kalman濾波算法

Kalman濾波器是基于狀態(tài)空間模型的最優(yōu)濾波器，在離散時(shí)間動(dòng)態(tài)系統(tǒng)模型下，Kalman濾波由過程方程和觀測方程描述，過程方程為：

a(k+1)=F(k+1,k)a(k)+v1(k)

(3)

其中，a(k)是M×1維表示系統(tǒng)在離散時(shí)間n的狀態(tài)向量；F(k+1,k)為系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣；v1(k)是M×1維的過程噪聲向量。系統(tǒng)的觀測方程：

y(k)=C(k)a(k)+v2(k)

(4)

其中，y(k)為N×1維，表示動(dòng)態(tài)系統(tǒng)在時(shí)間k的觀測向量；C(k)為N×M維觀測矩陣；v2(k)是M×1維的觀測噪聲向量。Kailath提出N×1維新息過程，定義為：

(5)

對于新息過程，定義狀態(tài)向量的一步預(yù)測誤差為：

(6)

R(k)=E{α(k)αH(k)}

(7)

增益矩陣在Kalman濾波中起到了至關(guān)重要的作用，在狀態(tài)向量的每一次迭代更新中，都會(huì)得到增益矩陣，由增益矩陣得到當(dāng)前狀態(tài)的優(yōu)化結(jié)果，定義增益矩陣為G(k)，則有：

G(k)=E{a(k+1)αH(k)}R-1(k)

(8)

聯(lián)立式(7)與式(8)，可以得到狀態(tài)向量一步預(yù)測更新公式：

(9)

由式(9)知，在k+1時(shí)刻的狀態(tài)向量是由第k時(shí)刻狀態(tài)向量的估計(jì)得到。在一個(gè)濾波周期內(nèi)，從Kalman濾波使用的系統(tǒng)信息和觀測信息的過程來看，Kalman濾波可以分為時(shí)間更新和狀態(tài)更新兩個(gè)過程，具體過程如圖1所示。

圖1 Kalman算法原理Fig.1 Kalman algorithm principle

3 基于Kalman濾波的多信號單通道盲源分離算法

假設(shè)單通道混合信號C(k)是由源信號r(k)瞬時(shí)線性混合而來，為：C(k)=r1(k)+r2(k)+…+rn(k)，且信號滿足以下假設(shè)條件：

(1)源信號為空間上相互獨(dú)立，且各源信號具有不同的時(shí)間結(jié)構(gòu)，也就是說源信號之間統(tǒng)計(jì)獨(dú)立；

(2)觀測噪聲與過程噪聲均為加性高斯白噪聲。

為了將源信號從混合信號中分離，利用Kalman濾波算法，設(shè)其過程方程為：

a(k+1)=F(k+1,k)a(k)+v1(k)

(10)

其中，a(k)為已知源信號序列中的第一個(gè)值，a(k+1)是對信號下個(gè)狀態(tài)的估計(jì)，由于在盲分離中，信號幅度具有不確定性，可將幅度對系統(tǒng)的影響弱化，所以F(k+1,k)為M×M的單位矩陣[11]，v1(k)為過程高斯白噪聲向量。對于其觀測方程為：

y(k)=C(k)a(k)+v2(k)

(11)

其中，C(k)為瞬時(shí)線性混合信號，v2(k)為觀測高斯白噪聲向量。由于各個(gè)源信號與噪聲之間統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，可排除噪聲對系統(tǒng)的影響，所以，式(10)過程方程、(11)觀測方程可變換為：

a(k+1)=F(k+1,k)a(k)

y(k)=C(k)a(k)

(12)

對于式(12)觀測方程中的觀測矩陣C(k)，對其求協(xié)方差，得到：

(13)

在q中，用觀測矩陣中的每一個(gè)值與觀測平均值相減可得到觀測矩陣的協(xié)方差。定義初始迭代值為δ，δ為初始值接近于零，并在零值處擾動(dòng)，即Sν=δ，將Sν看作最優(yōu)化的方差值，即為原始最優(yōu)化的結(jié)果，在濾波過程中每次都會(huì)對此值進(jìn)行更新。

在Kalman濾波算法中，我們需要對觀測值中的每一個(gè)元素進(jìn)行迭代并更新，得到最優(yōu)估計(jì)值，即為對信源信號的最優(yōu)估計(jì)：

a(k)=F×a(k-1)+q(k-1)

(14)

其中，a(k)為上一狀態(tài)a(k-1)對當(dāng)前結(jié)果預(yù)測的狀態(tài)值，利用狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣和上一個(gè)狀態(tài)乘積加上一個(gè)狀態(tài)的觀測協(xié)方差，可以得到當(dāng)前狀態(tài)的估計(jì)值。對于Kalman濾波而言，增益矩陣G(k)有著相當(dāng)重要的地位，其對每次觀測值的更新都起到了承接的作用，要得到系統(tǒng)增益，首先需要對當(dāng)前狀態(tài)的估計(jì)值進(jìn)行求方差處理：

p(k)=Sv(k)+q(k)

(15)

由上式可得增益的表達(dá)式為：

(16)

由式(15)和式(16)可得最佳的優(yōu)化結(jié)果為：

y(k)=a(k)+G(k)×(Me(k)-a(k))

(17)

其中Me(k)為初始測量值，y(k)為當(dāng)前時(shí)刻信號通過Kalman濾波器得到最佳估計(jì)結(jié)果，最后需要對方差進(jìn)行更新：

p(k)=(1-G(k))×p(k-1)

(18)

在下一時(shí)刻系統(tǒng)迭代過程中，將得到的最佳優(yōu)化方差視為方差的初值繼續(xù)進(jìn)行系統(tǒng)迭代，直到完成對源信號的估計(jì)。由此得到基于Kalman濾波的多信號單通道盲源分離算法如下：

(1)求觀測矩陣的協(xié)方差矩陣；

(2)對觀測值中的每一個(gè)元素進(jìn)行迭代并更新，得到最優(yōu)估計(jì)值；

(3)對當(dāng)前狀態(tài)的估計(jì)值求其方差；

(4)得到增益矩陣；

(5)得到當(dāng)前時(shí)刻最佳優(yōu)化結(jié)果；更新方差，返回(1)。

4 仿真實(shí)驗(yàn)

4.1 盲源分離評價(jià)指標(biāo)

為了將分離效果以定量的形式描述，盲源分離通常是在假定源信號與混合系統(tǒng)的條件下，利用相關(guān)系數(shù)、信噪比、平均意見得分等作為評價(jià)指標(biāo)。本文使用相關(guān)系數(shù)來表示混合信號分離后的評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。試驗(yàn)中算法處理的數(shù)據(jù)長度是有限的，信號源r(k)和盲分離信號C(k)的相關(guān)系數(shù)用樣本相關(guān)系數(shù)來估計(jì)。即：

(19)

相關(guān)系數(shù)可以消除單通道盲源分離中恢復(fù)信號和源信號的幅度差異，減小了由于幅度的差異對系統(tǒng)造成的影響。由式(19)可知，若恢復(fù)信號與源信號相關(guān)性高，則ρij接近于1，若相關(guān)性差，則ρij接近于0。

4.2 仿真實(shí)例

為了驗(yàn)證本文算法的有效性，利用MATLAB 2014a語言在Windows10，主頻為2.60 GHz的計(jì)算機(jī)上進(jìn)行仿真驗(yàn)證。

實(shí)驗(yàn)1 假設(shè)在窄帶物聯(lián)網(wǎng)系統(tǒng)中，SCH低階調(diào)制上下行信號分別為BPSK與QPSK信號，研究以三路采樣點(diǎn)為1600，載波頻率為200 Hz，幅度為1的BPSK、4FSK、QPSK信號相混合作為混合信號，如式(20)所示。源信號為BPSK、4FSK、QPSK信號，觀測信號為三路信號的線性混合，如圖2、圖3所示，圖4為分離信號。

(20)

圖2 實(shí)驗(yàn)源信號圖Fig.2 Experimental source signal diagram

圖3 實(shí)驗(yàn)混合信號圖Fig.3 Experimental mixed signal diagram

從分離信號和源信號的圖2與圖4和相關(guān)系數(shù)表1可以得到，分離前后信號之間具有較高的相似程度。同樣地，利用本文算法與虛擬通道法分離后的相關(guān)系數(shù)進(jìn)行了對比，證明了Kalman濾波算法可以有效的將信號從混合信號中估計(jì)并有效分離。

表1 分離信號與源信號相關(guān)系數(shù)

實(shí)驗(yàn)2 實(shí)驗(yàn)1表明了算法可以有效的將SCH低階調(diào)制信號分離，提高調(diào)制效率。假設(shè)對于SCH高階調(diào)制，分別使用載波為200 Hz與300 Hz的QPSK信號，并夾雜隨機(jī)噪聲序列，如式(21)所示，其中f1=200 Hz、f2=300 Hz，idin(t)為高斯隨機(jī)噪聲序列。圖5和圖6分別為源信號和混合信號，圖7為分離后的信號。

(21)

圖4 實(shí)驗(yàn)分離信號圖Fig.4 Experimental separation of signal

圖5 實(shí)驗(yàn)源信號圖Fig.5 Experimental source signal diagram

圖6 實(shí)驗(yàn)混合信號圖Fig.6 Experimental mixed signal diagram

盲源分離信號與源信號相關(guān)系數(shù)分離前相關(guān)系數(shù)虛擬通道法分離后相關(guān)系數(shù)[8]200 Hz QPSK信號0.98340.59940.9332300 Hz QPSK信號0.97660.58520.9248隨機(jī)噪聲信號0.98550.41870.9354

從實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，分離信號與源信號相關(guān)系數(shù)近似為1，基于Kalman濾波算法下的單通道盲源分離算法不僅對窄帶物聯(lián)網(wǎng)物理層SCH低階不同信號之間調(diào)制有效，而且對SCH高階相同信號之間調(diào)制分離效果明顯。

為了對比利用Kalman濾波狀態(tài)估計(jì)盲源分算法得到的分離信號與Kalman算法濾除隨機(jī)噪聲信號后通過Fast-ICA算法得到分離信號的相關(guān)系數(shù)進(jìn)行比較，結(jié)果如表3所示，通過表3可知，本文算法較文獻(xiàn)[7]算法分離后信號具有較高的相關(guān)程度。

表3 Kalman濾波算法與Fast-ICA算法分離后相關(guān)系數(shù)比較

實(shí)驗(yàn)3 為了更好的證明Kalman濾波算法在單通道盲源分離中的有效性，假設(shè)使用了長度為1600的正弦波序列、三角波序列和隨機(jī)數(shù)序列，如式(22)所示，其中sin(ft)為正弦波序列、tri(t)為三角波序列，idin(t)為高斯隨機(jī)噪聲信號。圖8和圖9分別為源信號和混合信號，圖10為分離后的信號。

y(t)=sin(ft)+tri(t)+idin(t)

(22)

圖7 實(shí)驗(yàn)分離信號圖Fig.7 Experimental separation of signal

圖8 實(shí)驗(yàn)源信號圖Fig.8 Experimental source signal diagram

通過表4可知，本文使用的算法可以有效的將源信號從混合信號中分離，分離后的信號與源信號具有較高的相似度，證明了單通道盲源分離后的信號可以作為源信號的有效估計(jì)信號。

圖9 實(shí)驗(yàn)混合信號圖Fig.9 Experimental mixed signal diagram

表4 分離信號與源信號相關(guān)系數(shù)

圖10 實(shí)驗(yàn)分離信號圖Fig.10 Experimental separation of signal

5 結(jié)論

本文在Kalman濾波算法的基礎(chǔ)上，提出了基于Kalman濾波的多信號單通道盲源分離算法。該方法利用信號的時(shí)序特征與Kalman濾波算法狀態(tài)空間的關(guān)系，對混合信號中的源信號進(jìn)行估計(jì)，得到當(dāng)前時(shí)刻最優(yōu)估計(jì)狀態(tài)，通過不斷的時(shí)間更新和狀態(tài)更新，最終得到分離信號，實(shí)現(xiàn)了多信號單通道盲源分離。通過仿真實(shí)驗(yàn)表明，本文使用的算法可以有效的從瞬時(shí)線性混合系統(tǒng)中恢復(fù)出源信號，具有良好的分離性能。