橡膠材料超彈性本構(gòu)模型選取及參數(shù)確定概述

錢 勝，陸益民，楊咸啟，吳承偉

（1.黃山學(xué)院 機電工程學(xué)院，安徽 黃山 245041；2.合肥工業(yè)大學(xué) 機械工程學(xué)院，安徽 合肥 230009）

橡膠材料具有彈性好和阻尼高等特點，是高性能的阻尼材料，廣泛應(yīng)用于工業(yè)、建筑和國防等領(lǐng)域。

在對橡膠材料的深入研究中，一直嘗試對其力學(xué)行為進行真實描述，但是由于橡膠分子結(jié)構(gòu)和橡膠材料組成比較復(fù)雜，橡膠材料及其幾何和邊界的非線性，而且橡膠材料對于溫度、介質(zhì)、時間、載荷率和應(yīng)變等因素影響的敏感性，使得建立精確計算橡膠材料力學(xué)行為的數(shù)學(xué)模型十分困難[1]。目前橡膠材料力學(xué)行為計算采用比較復(fù)雜的數(shù)值技術(shù)，其計算精度與所使用本構(gòu)模型正相關(guān)。隨著計算力學(xué)的快速發(fā)展和橡膠材料應(yīng)用的需求增大，將研究出更為精確、實用且能與有限元分析理論融合的本構(gòu)模型[2]。

橡膠材料一般添加補強體系、防護體系和硫化體系等，硫化后形成三維交聯(lián)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。在外加載荷作用下，橡膠材料表現(xiàn)出非線性、大變形、超彈性、粘彈性、Payne效應(yīng)和 Mullins效應(yīng)等特性，其力學(xué)行為異常復(fù)雜[3]。研究橡膠材料真實力學(xué)行為對于橡膠制品的研制十分重要。如果能根據(jù)橡膠材料組分、橡膠制品工作狀態(tài)和環(huán)境，選取合適的橡膠材料超彈性本構(gòu)模型和獲取較為精確的模型參數(shù)對橡膠減振制品的減振性能、力學(xué)性能以及疲勞壽命研究意義重大。

1 橡膠材料超彈性本構(gòu)模型分析

橡膠材料具有體積近似不可壓縮性，在外界載荷作用下表現(xiàn)出彈性變形，卸載后可恢復(fù)原形，這種行為稱為超彈性。超彈性本構(gòu)模型分為兩大類：基于連續(xù)介質(zhì)唯象理論模型和基于熱力學(xué)統(tǒng)計方法模型。

1.1 基于連續(xù)介質(zhì)唯象理論模型

連續(xù)介質(zhì)力學(xué)描述所觀察到的橡膠材料性質(zhì)是采用橡膠材料內(nèi)部應(yīng)變能來描述的，而不是在聚合物分子結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上表征的，其核心是建立體系內(nèi)貯存彈性能表達式[4]。基于連續(xù)介質(zhì)唯象理論模型有兩種形式，一種是采用應(yīng)變不變量I1，I2，I3表征應(yīng)變能（E）函數(shù)形式：

這種形式超彈性本構(gòu)模型有Mooney-Rivlin模型、Neo-Hooke模型、Yeoh模型、Gent模型、高玉臣應(yīng)變能函數(shù)模型、Isihara模型、Gent-Thomas模型、Swanson模型、Arruda-Boyce模型、Yeoh-Fleming模型、Carroll模型、Hart-Smith模型、Alexander模型、van der Waals模型、Pucci-Saccomandi模型和Lopez-Pamies模型[5-8]。

另一種基于連續(xù)介質(zhì)唯象理論模型是基于伸長率的連續(xù)介質(zhì)模型，其應(yīng)變能函數(shù)可用主伸長率來表征，該形式模型有Ogden模型、Shariff模型和Attard模型[9]。

在這些超彈性本構(gòu)模型中，適用于有限元分析的模型有Mooney-Rivlin模型、Neo-Hooke模型、Yeoh模型、Arruda-Boyce模型和van der Waals模型。

1.2 基于熱力學(xué)統(tǒng)計方法模型

分子統(tǒng)計學(xué)理論認(rèn)為橡膠材料的應(yīng)力-應(yīng)變行為主要由構(gòu)象熵決定，該理論假設(shè)橡膠大分子是隨機取向的長鏈分子，并通過分子鏈節(jié)點處的化學(xué)交聯(lián)而形成交聯(lián)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)[1-4，10]?；跓崃W(xué)統(tǒng)計方法超彈性本構(gòu)模型有高斯統(tǒng)計模型和非高斯統(tǒng)計模型。

1.3 本構(gòu)模型改進和創(chuàng)新

好的超彈性本構(gòu)模型是易于通過材料試驗數(shù)據(jù)獲得少量模型參數(shù)的本構(gòu)模型，而且能夠較準(zhǔn)確描述材料的所有力學(xué)行為[11]。但是原有的超彈性本構(gòu)模型都存在一定局限性[1-2]。為此，國內(nèi)外學(xué)者結(jié)合具體橡膠制品設(shè)計及工程應(yīng)用經(jīng)驗，對一些原有超彈性本構(gòu)模型進行改進或者提出新本構(gòu)關(guān)系。劉峰等[12]研究橡膠材料在大應(yīng)變時表現(xiàn)出應(yīng)力-應(yīng)變增強或軟化效應(yīng)，提出用一種新的應(yīng)變能函數(shù)來描述橡膠材料大變形硬化本構(gòu)關(guān)系，并確定了橡膠材料硬化時的本構(gòu)模型參數(shù)。李雪冰等[13]針對Yeoh模型擬合橡膠材料大變形條件下力學(xué)行為不理想，尤其在預(yù)測等雙軸拉伸試驗曲線時出現(xiàn)“偏軟”現(xiàn)象，提出一種改進Yeoh模型，改進本構(gòu)模型保持了Yeoh模型的特性，在反S形應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的條件下，有效克服了預(yù)測等雙軸拉伸曲線的“偏軟”問題。

文獻[14]提出在試驗的整個變形區(qū)域內(nèi)精確預(yù)測3種變形模式的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的新超彈性本構(gòu)模型：

式中，λi（i＝1，2，3）為主伸長率，C-1，C1和Cn為模型參數(shù)。

該模型參數(shù)通過橡膠材料均勻試樣的等雙軸拉伸試驗獲取，該模型適應(yīng)于有限元分析。

羅文波等[16]引入權(quán)重函數(shù)，用高斯鏈網(wǎng)絡(luò)模型描述小變形的同時，用八鏈網(wǎng)絡(luò)模型描述大變形，提出了基于高斯網(wǎng)絡(luò)模型與八鏈網(wǎng)絡(luò)模型的混合本構(gòu)模型。

2 橡膠材料超彈性本構(gòu)模型選用

超彈性本構(gòu)模型在理論、特點和適用范圍上都已有較深入的研究[1-2，17-18]。橡膠材料超彈性本構(gòu)模型選取的出發(fā)點有材料試驗、有限元分析適應(yīng)性、橡膠制品力學(xué)計算精度等。

從材料試驗角度選取超彈性本構(gòu)模型，一般要完成橡膠材料3項基礎(chǔ)試驗（單軸拉伸試驗、等雙軸拉伸試驗和平面拉伸試驗）。K. Beomkeun等[19]采用Neo-Hookean模型、Mooney-Rivlin模型和Ogden模型反映氯丁橡膠力學(xué)行為，通過擬合3項基礎(chǔ)試驗以及4組組合試驗數(shù)據(jù)，優(yōu)選出擬合精度高的模型。H.Mokarram等[20]對當(dāng)時所有現(xiàn)象學(xué)和熱力學(xué)統(tǒng)計學(xué)超彈性本構(gòu)模型進行了分析和比較，采用一致切線化處理，得出所有超彈性本構(gòu)模型的切線算子作為有限元分析本構(gòu)模型的選擇依據(jù)。龔科家等[21]開發(fā)出一種基于圖像分析的完整橡膠材料參數(shù)試驗系統(tǒng)，并以載重輪胎的橡膠材料為對象進行3項基礎(chǔ)試驗和多種模型擬合，驗證了該系統(tǒng)的可靠性、穩(wěn)定性和計算精度都較高。胡小玲等[22-23]研究炭黑填充橡膠材料在3項基礎(chǔ)試驗齊全和不齊全條件下超彈性本構(gòu)模型選取策略和擬合精度。結(jié)果表明：在3項基礎(chǔ)試驗齊全的情況下，依次優(yōu)選Ogden模型[階數(shù)（N）＝3]、Yeoh模型和Arruda-Boyce模型；只有兩項基礎(chǔ)試驗（含等雙軸拉伸試驗）得出的Ogden模型（N＝3）擬合精度高；僅有單軸拉伸試驗時，Arruda-Boyce模型擬合精度高；等雙軸拉伸試驗和平面拉伸試驗是確定較為精確的本構(gòu)模型參數(shù)的必備試驗。上官文斌等[24]研究汽車動力總成橡膠隔振器彈性特性，建立橡膠主簧超彈性本構(gòu)關(guān)系，得出材料試驗曲線擬合基本原則：材料試驗的應(yīng)變類型和范圍應(yīng)盡可能反映橡膠制品實際使用應(yīng)變情況；盡可能選用低階的應(yīng)變能函數(shù)擬合；檢查本構(gòu)模型擬合曲線與試驗曲線的一致性。陳志勇等[25]以汽車橡膠懸置為對象，在處理材料試驗數(shù)據(jù)時采用Savitzky-Golay方法處理，有效避免了試驗條件限制和錯誤數(shù)據(jù)對擬合結(jié)果影響，得出材料的Drucker穩(wěn)定性條件。材料穩(wěn)定性是評價由試驗數(shù)據(jù)建立的橡膠材料超彈性本構(gòu)模型優(yōu)劣的重要依據(jù)，也是選擇本構(gòu)模型的基點。

以有限元分析計算精度為依據(jù)選取橡膠材料超彈性本構(gòu)模型。王文濤等[26]通過研究不同應(yīng)變下橡膠材料超彈性本構(gòu)模型擬合精度，發(fā)現(xiàn)Mooney-Rivlin模型比其他模型具有更穩(wěn)定的計算能力；通過采用超彈性本構(gòu)模型對汽車橡膠隔振器靜態(tài)特性預(yù)測發(fā)現(xiàn)，Mooney-Rivlin模型在較小應(yīng)變下具有較高的計算精度和迭代收斂性，van der Waals模型和3階Ogden模型在處理較大應(yīng)變數(shù)據(jù)時計算精度較高。文獻[27]研究在多載荷條件下橡膠隔振器的模型建立，采用Mooney-Rivlin模型、van der Waals模型和Marlow模型計算承受單載荷和多載荷下兩種橡膠隔振器的靜剛度。

為減少有限元分析中超彈性本構(gòu)模型選取的盲目性，提高橡膠制品性能預(yù)測可靠性，王國權(quán)等[28]研究橡膠工程中常用的3種超彈性本構(gòu)模型有限元分析的適應(yīng)性，即由標(biāo)準(zhǔn)試樣單軸拉伸試驗數(shù)據(jù)擬合Mooney-Rivlin模型、Ogden模型及Yeoh模型參數(shù)，得出在小應(yīng)變（≤100%）下3種超彈性本構(gòu)模型適應(yīng)性：Mooney-Rivlin模型較好，Yeoh模型次之，Ogden模型較差；在較大應(yīng)變（大于100%）下Ogden模型和Yeoh模型適應(yīng)性較好，而Mooney-Rivlin模型較差。李煉等[29]探討土木減振結(jié)構(gòu)使用的3種橡膠材料超彈性本構(gòu)模型與有限元分析的匹配度，通過橡膠圓柱試樣單軸壓縮試驗，經(jīng)模型參數(shù)的有限元計算得出：在橡膠試樣壓縮時，Neo-Hooke模型適用于0～45%的壓縮應(yīng)變，Mooney-Rivlin模型和Yeoh模型適用于不小于60%的壓縮應(yīng)變。

李凡珠等[30]分析循環(huán)加載/卸載條件下填充炭黑橡膠材料的力學(xué)行為發(fā)現(xiàn)：在加載條件下Marlow模型擬合精度高；在卸載條件下Mullins模型擬合精度高，用反推法可較好擬合卸載條件下試驗曲線，然而Mullins模型不能反映橡膠材料永久變形行為；在卸載條件下采用體現(xiàn)塑性變形的模型與Mullins模型疊加擬合的曲線與試驗曲線擬合精度較高。

3 橡膠材料超彈性本構(gòu)模型參數(shù)的確定

橡膠材料超彈性本構(gòu)模型參數(shù)確定方法主要有：①基于簡單材料試驗的本構(gòu)理論計算法；②基于完整材料試驗的數(shù)值擬合法；③根據(jù)已有橡膠材料特性的識別法，如反推法；④先進材料參數(shù)試驗法。

國內(nèi)早期沒有完善材料試驗設(shè)備，確定超彈性本構(gòu)模型參數(shù)主要是通過簡單材料試驗和本構(gòu)理論計算法獲取。何春明等[31]對坦克負(fù)重橡膠材料進行有限元分析，提出一種測定橡膠材料Mooney-Rivlin模型參數(shù)的方法。

鄭明軍等[32]探討橡膠材料硬度與力學(xué)常數(shù)的關(guān)系，得出Mooney-Rivlin模型參數(shù)計算方法。左亮等[33]依據(jù)橡膠材料的硬度與力學(xué)參數(shù)經(jīng)驗公式，通過材料理論確定Mooney-Rivlin模型參數(shù)。黃建龍等[34]選取兩參數(shù)Mooney-Rivlin模型和Yeoh模型，利用線性回歸擬合單軸拉伸試驗曲線，確定橡膠材料應(yīng)力-應(yīng)變參數(shù)，并通過有限元分析驗證。王利榮等[35]進行橡膠隔振器靜態(tài)特性及有限元建模研究，建立橡膠材料的Mooney-Rivlin模型，即依據(jù)橡膠材料試驗國家標(biāo)準(zhǔn)，在通用材料試驗機上進行橡膠材料的單軸拉伸試驗和壓縮試驗，確定模型參數(shù)。

隨科學(xué)技術(shù)水平提高，國內(nèi)可以完成一定的材料基本試驗，并制定了系統(tǒng)的橡膠材料試驗國家標(biāo)準(zhǔn)。橡膠材料本構(gòu)模型參數(shù)可以利用數(shù)值分析技術(shù)中最小二乘法擬合已有橡膠材料試驗數(shù)據(jù)來確定。伍開松等[36]研究丁腈橡膠膠筒在大變形下的力學(xué)性能，通過選擇本構(gòu)模型，利用最小二乘法擬合模型參數(shù)，得出評價本構(gòu)模型優(yōu)劣公式。張平等[37]測試不同受力狀態(tài)下橡膠材力學(xué)性能，獲得橡膠材料在不同受力狀態(tài)下的應(yīng)力-應(yīng)變曲線，采用最小二乘法擬合不同本構(gòu)模型參數(shù)。上官文斌等[38]計算橡膠扭轉(zhuǎn)減振器的滑移轉(zhuǎn)矩，根據(jù)扭轉(zhuǎn)減振器在實際工況下承受的壓縮和剪切變形，選擇單軸拉試驗和平面拉伸試驗，用最小二乘法擬合本構(gòu)模型參數(shù)。徐中明等[39]采用超靜定方程方法確定橡膠材料超彈性本構(gòu)模型參數(shù)，該方法擬合精度比最小二乘法高。

從國外引進的隔振器無法通過國內(nèi)傳統(tǒng)方法制備標(biāo)準(zhǔn)橡膠試樣以獲取橡膠材料模型參數(shù)，因此國內(nèi)研究人員利用反推法確定橡膠材料超彈性本構(gòu)模型參數(shù)。樓京俊等[40]研究進口橡膠隔振器時，采用反推法確定橡膠材料參數(shù)，選擇兩參數(shù)Mooney-Rivlin模型，基于Matlab和ANSYS軟件聯(lián)合仿真技術(shù)，根據(jù)硬度與力學(xué)參數(shù)的經(jīng)驗關(guān)系式確定本構(gòu)模型參數(shù)。劉文武等[41]在無法獲取標(biāo)準(zhǔn)橡膠材料試樣條件下研究橡膠隔振器有限元計算，提出一種根據(jù)橡膠隔振器總成試驗數(shù)據(jù)，利用多目標(biāo)優(yōu)化軟件iSIGHT確定橡膠材料應(yīng)變能密度函數(shù)的方法。

朱艷峰等[42]利用粒子群優(yōu)化算法確定橡膠材料大應(yīng)變時硬化現(xiàn)象的本構(gòu)模型參數(shù)，用改進型粒子群算法擬合單軸拉伸試驗數(shù)據(jù)，與傳統(tǒng)最小二乘法擬合相比，改進型粒子群算法擬合速度快，精度高，能夠解決試驗數(shù)據(jù)曲線不光滑或有拐點而導(dǎo)致不收斂的問題。張軍等[43]研究汽車減震系統(tǒng)中緩沖橡膠塊的剛度、強度和疲勞特性，由于很難通過橡膠材料試驗準(zhǔn)確獲取材料參數(shù)，提出了基于最小二乘法響應(yīng)面法，結(jié)合有限元仿真技術(shù)，反求出Mooney-Rivlin模型參數(shù)。陳寶等[44]研究轎車橡膠襯套力學(xué)行為，由于缺少基礎(chǔ)試驗數(shù)據(jù)，無法建立本構(gòu)模型，因此根據(jù)結(jié)構(gòu)試驗獲取橡膠襯套3個方向位移-力曲線的非完全試驗信息，利用HyperStudy和Abaqus軟件技術(shù)分析試驗與仿真曲線的一致性；選擇Yeoh 多項式模型，采用自適應(yīng)響應(yīng)面法，經(jīng)過多次迭代識別出一組能較準(zhǔn)確模擬橡膠襯套力學(xué)行為的材料參數(shù)。

國外學(xué)者對橡膠材料超彈性本構(gòu)模型參數(shù)確定進行了深入研究。S.Hartmann等[45]研究一種獲取橡膠材料超彈性本構(gòu)模型參數(shù)的光學(xué)測量法，并驗證光學(xué)測量法獲取的參數(shù)準(zhǔn)確性。M. Rachik等[46]為了克服橡膠材料與橡膠制品具有相同邊界條件以及橡膠材料均勻變形的缺點，采用反推法確定橡膠材料參數(shù)。E. H. Twizell等[47-48]發(fā)現(xiàn)對六參數(shù)或八參數(shù)Odgen模型采用非線性最小二乘優(yōu)化法很難實現(xiàn)收斂，主要是很難確定優(yōu)化初始值。Y.Kamel等[15]提出一種四參數(shù)超彈性本構(gòu)模型，該模型參數(shù)的確定可以轉(zhuǎn)化為線性優(yōu)化問題，初始值設(shè)定任意正值，使得優(yōu)化結(jié)果收斂。B.Tibi[49]提出采用分階段模型與最小二乘法聯(lián)合方法擬合橡膠材料超彈性本構(gòu)模型，該方法可以應(yīng)用于有約束條件的求解過程，同時將非線性問題轉(zhuǎn)化為線性問題求解。

隨著科技進步，橡膠材料超彈性本構(gòu)模參數(shù)確定方法不斷更新，從早期基于簡單材料試驗的理論計算法，發(fā)展到基于完整材料試驗的數(shù)值擬合法和先進材料參數(shù)試驗法，模型參數(shù)精度有較大提高，必將促進減振橡膠制品的設(shè)計與力學(xué)性能計算精度有較大提升。

4 結(jié)語

本文以橡膠材料超彈性本構(gòu)模型為對象，從本構(gòu)模型選用和本構(gòu)模型參數(shù)確定方法兩個方面分析和總結(jié)國內(nèi)外學(xué)者研究成果。橡膠材料超彈性本構(gòu)模型發(fā)展目前主要存在以下問題：①本構(gòu)模型類型較多，沒有較為統(tǒng)一的形式，且各本構(gòu)模型有一定使用條件，模型選取需要進行繁瑣材料試驗，工作量大；②本構(gòu)模型建立較多涉及材料變形、硬化、粘彈性和試驗數(shù)據(jù)擬合精度等，而很少涉及Payne效應(yīng)、Mullins效應(yīng)以及裂紋擴展和斷裂、磨耗、老化等因素；③基于橡膠材料試驗所建立的本構(gòu)模型計算結(jié)果與橡膠件總成試驗結(jié)果有一定偏差。解決這些問題對橡膠制品設(shè)計及力學(xué)性能計算具有非常重要意義。