IMO癱船穩(wěn)性傾覆概率分段線性化和敏感性分析

馬騁遠(yuǎn)，馬 寧，王廷昊，顧解忡

(1. 上海交通大學(xué) 船舶海洋與建筑工程學(xué)院，上海 200240；2. 上海交通大學(xué) 海洋工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200240；3. 高新船舶與深海開(kāi)發(fā)裝備協(xié)同創(chuàng)新中心，上海 200240)

0 引 言

IMO正在制定包括參數(shù)橫搖、純穩(wěn)性喪失、騎浪/橫甩、癱船穩(wěn)性和過(guò)度加速度這5種穩(wěn)性失效模式的第2代完整穩(wěn)性規(guī)則[1]。具有傳統(tǒng)意義的癱船穩(wěn)性是指船舶處于失去動(dòng)力無(wú)法推進(jìn)或操舵狀態(tài)下，當(dāng)船自由漂移時(shí)在風(fēng)浪聯(lián)合作用下發(fā)生共振橫搖甚至傾覆[2]。IMO目前正在制定的癱船穩(wěn)性薄弱性衡準(zhǔn)草案主要以意大利和日本的提案為基礎(chǔ)，分為第1層衡準(zhǔn)和第2層衡準(zhǔn)[3–4]。針對(duì)第1層衡準(zhǔn)方法基本已達(dá)成一致，對(duì)于第2層衡準(zhǔn)方法的確定預(yù)計(jì)2018年左右才能完成[5]。

癱船穩(wěn)性失效中基于危險(xiǎn)性評(píng)估的傾覆概率方法成為近年來(lái)研究的熱點(diǎn)，針對(duì)隨機(jī)激勵(lì)下復(fù)原力矩的非線性一直是處理該問(wèn)題的主要難點(diǎn)[6]。國(guó)內(nèi)外學(xué)者針對(duì)橫浪狀態(tài)下的船舶大幅橫搖運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)性進(jìn)行過(guò)許多研究，包括線性化理論和線性化處理方法、非線性動(dòng)力學(xué)的應(yīng)用以及直接數(shù)值模擬方法[7]。自從1953年Denis和Pierson首次將隨機(jī)過(guò)程理論引入到線性耐波性領(lǐng)域的研究中，船舶在隨機(jī)風(fēng)浪中的傾覆概率研究也引起了各國(guó)學(xué)者的重視。

IMO草案中日本和意大利分別基于分段線性和局部線性方法，各自提出較為完善的概率計(jì)算方法。52屆SLF會(huì)議上，意大利代表建議將2008 IS Code中氣候衡準(zhǔn)作為癱船穩(wěn)性的第1層衡準(zhǔn)[8]，并提出了基于局部線性化方法的橫搖傾覆概率模型作為癱船穩(wěn)性的第2層薄弱性衡準(zhǔn)或直接評(píng)估方法[3]；日本代表提議利用基于Froude-Krylov假設(shè)的簡(jiǎn)化公式求解有效波傾系數(shù)[9]，利用簡(jiǎn)化的Ikeda方法求解橫搖阻尼系數(shù)[10]，同時(shí)將基于GZ曲線分段線性化處理的橫搖傾覆概率模型作為癱船穩(wěn)性的第2層衡準(zhǔn)方法[4]。Belenky[11]在1993年提出了船舶橫搖運(yùn)動(dòng)的分段線性化理論，通過(guò)對(duì)回復(fù)力矩的分段線性處理，求解得到單自由度橫搖運(yùn)動(dòng)方程的解析解，并以此評(píng)估傾覆概率。之后基于該方法，Iskandar[12]，Umeda[13]，Paroka[14–15]等日本學(xué)者進(jìn)行了大量實(shí)船評(píng)估計(jì)算和方法上的改進(jìn)。

本文基于癱船穩(wěn)性第2層衡準(zhǔn)，針對(duì)C11和CEHIPAR 2792兩艘集裝箱船，利用分段線性化方法得到橫搖運(yùn)動(dòng)方程的解析解，并據(jù)此計(jì)算傾覆概率。在樣船計(jì)算的基礎(chǔ)上同局部線性化結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，并重點(diǎn)探討暴露時(shí)間、波浪譜以及分段分界點(diǎn)的選取等敏感性因素對(duì)傾覆概率的影響。

1 癱船穩(wěn)性分段線性化數(shù)值計(jì)算模型

1.1 單自由度橫搖運(yùn)動(dòng)方程

船舶在橫浪下運(yùn)動(dòng)，一般采用橫搖和橫蕩耦合的運(yùn)動(dòng)模型，并且考慮波浪輻射力和繞射力的影響。田才福造等[16]已經(jīng)證明單自由度橫搖方程也可以近似表達(dá)橫搖運(yùn)動(dòng)。因此，日本方法采用1-DOF非耦合運(yùn)動(dòng)方程，波浪激勵(lì)力只考慮Froude-Krylov力，方程無(wú)因次化后表示如下：

式中：ω0為橫搖固有頻率；G M為初穩(wěn)性高；為風(fēng)作用的無(wú)因次瞬時(shí)力矩；為波浪作用的無(wú)因次瞬時(shí)力矩。

無(wú)因次的Froude-Krylov波浪激勵(lì)力矩可由有效波傾系數(shù)計(jì)算得到。在線性假設(shè)下，將不同振幅和相位的規(guī)則波進(jìn)行疊加，研究船舶在不規(guī)則波中的搖蕩運(yùn)動(dòng)特性。波浪譜采用第15屆ITTC會(huì)議推薦的雙參數(shù)譜：

式中：

其中：H1/3為有義波高，m；Tm為不規(guī)則波的平均周期，s。

其中：

陣風(fēng)譜函數(shù)采用Davenport譜，表示如下：

非線性阻尼一般用隨機(jī)等效線性方法近似，橫搖阻尼系數(shù)α的取值按下式進(jìn)行：

圖1 風(fēng)速 m/s時(shí)波浪譜與陣風(fēng)譜密度函數(shù)Fig.1 Functions of wave and wind spectral density in wind speed m/s

1.2 復(fù)原力矩項(xiàng)分段線性處理

分段線性化方法最早由Belenky[11]在1993年提出，使得船舶在波浪中的傾覆概率可以通過(guò)解析解進(jìn)行研究。

GZ曲線的分段線性按照如下原則[6]進(jìn)行計(jì)算：分段線性三角形的高與原始GZ曲線的最大復(fù)原力臂保持一致，三角形的底邊長(zhǎng)等于靜穩(wěn)性曲線的穩(wěn)距，三角形與坐標(biāo)軸所圍成的面積與靜穩(wěn)性曲線下的面積（傾斜后船舶具有的位能）近似相等，如圖2所示。

等效的穩(wěn)性高計(jì)算式如下：

圖2 分段線性化方法示意圖[6]Fig.2 Diagram of piecewise linearization method [6]

圖3 無(wú)因次化GZ曲線分段線性化示意圖Fig.3 Diagram of piecewise linearization method for dimensionless GZ curve

1.3 橫搖運(yùn)動(dòng)方程解析解

將1-DOF無(wú)因次化的橫搖運(yùn)動(dòng)方程（1）的各非線性系數(shù)線性近似后，將簡(jiǎn)化為關(guān)于橫搖角的2階常系數(shù)線性非齊次微分方程。經(jīng)過(guò)計(jì)算，得到方程（1）在每個(gè)階段的解析解如下（式中各參數(shù)表達(dá)式詳見(jiàn)文獻(xiàn)[17]）：

1）Range 0階段

2）Range 1階段

2 傾覆概率計(jì)算模型

2.1 傾覆條件

分段線性化方法將船舶的橫搖運(yùn)動(dòng)分為2個(gè)區(qū)間進(jìn)行考慮：

對(duì)于Range 0階段的解析式（12），可以看出自由橫搖運(yùn)動(dòng)幅時(shí)間推移逐漸收斂，C船橫搖11角時(shí)歷如圖4所示，即認(rèn)為這種情況不屬于引起船舶傾覆的危險(xiǎn)事件。

圖4 風(fēng)速 m/s下C11船設(shè)計(jì)吃水時(shí)橫搖角時(shí)歷變化（解析式（12）的圖像）Fig.4 Results of rolling angle’s variation in time-domain of C11 ship in wind speed m/s(graph of formula (12))

順風(fēng)條件下，A＞0為當(dāng)橫搖角從Range 0增大進(jìn)入Range 1后，橫搖運(yùn)動(dòng)幅值會(huì)隨著時(shí)間推移繼續(xù)增大，直至船舶傾覆。A＜0和A=0為當(dāng)橫搖角從Range 0增大進(jìn)入Range 1后，橫搖運(yùn)動(dòng)幅值會(huì)逐漸減小直至返回Range 0，這種情況安全。

逆風(fēng)條件下，A＞0和A=0趨于安全，A＜0代表船舶發(fā)生傾覆。

這樣船舶傾覆概率問(wèn)題就轉(zhuǎn)換為求解橫搖運(yùn)動(dòng)解析解中的參數(shù)A的取值范圍。如果定義單位時(shí)間內(nèi)船舶傾覆為事件F，船舶橫搖進(jìn)入順風(fēng)Range 1階段為事件L，船舶橫搖進(jìn)入逆風(fēng)Range 1階段為事件W，A＞0為事件A+，A＜0為事件A-，則事件F發(fā)生概率可以寫(xiě)成：

定義順風(fēng)和逆風(fēng)狀態(tài)下單位時(shí)間內(nèi)橫搖角從Range 0增大到Range 1的概率分別為和，由于在Range 1階段的橫搖運(yùn)動(dòng)符合高斯過(guò)程(Gaussian Process)，所以與分別由以下2個(gè)公式確定(Price & Bishop, 1974)[18]：

對(duì)于參數(shù)A取值范圍的概率問(wèn)題，本文采用IMO推薦的簡(jiǎn)化計(jì)算方法[17]，認(rèn)為橫搖運(yùn)動(dòng)進(jìn)入Range 1時(shí)的初始橫搖運(yùn)動(dòng)是一個(gè)小量，即等于0。此時(shí)參數(shù)A的概率密度函數(shù)可表達(dá)為：

最終通過(guò)計(jì)算：

即可得到參數(shù)A取值范圍的概率。由以上各式即可求解單位時(shí)間內(nèi)船舶的傾覆概率：

2.2 傾覆概率計(jì)算

經(jīng)過(guò)2.1節(jié)的公式推導(dǎo)，得到了單位時(shí)間傾覆概率計(jì)算表達(dá)式，假設(shè)船舶的傾覆事件符合泊松分布，可得到給定暴露時(shí)間T內(nèi)的傾覆概率：

3 樣船計(jì)算與敏感性因素分析

3.1 樣船模型

以C11集裝箱船（APL China號(hào)）和IMO穩(wěn)性工作組提供的研究船型CEHIPAR 2792集裝箱船為例，進(jìn)行分析與計(jì)算。2艘樣船的基本參數(shù)見(jiàn)表1與表2。取空氣阻尼系數(shù)Cm=1.0，線性阻尼系數(shù)為0.003 81 v/s–1。

3.2 GZ曲線分段線性化結(jié)果

分別對(duì)C11船與CEHIPAR 2792船在各自設(shè)計(jì)吃水下的GZ曲線進(jìn)行分段線性近似，如圖5所示。

3.3 傾覆概率敏感性因素分析

3.3.1 暴露時(shí)間

本節(jié)基于分段線性化方法，利用Matlab編制了相應(yīng)的計(jì)算程序，計(jì)算了CEHIPAR 2792船在設(shè)計(jì)吃水載況下，暴露時(shí)間h和年，定常風(fēng)速取范圍內(nèi)的傾覆概率。同時(shí)，將暴露時(shí)間為1 h的計(jì)算結(jié)果同局部線性化（具體計(jì)算過(guò)程見(jiàn)文獻(xiàn)[3]）結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，如圖6所示。

表1 C11船基本參數(shù)Tab.1 Principle dimensions of C11 ship

表2 CEHIPAR 2792船基本參數(shù)Tab.2 Principle dimensions of CEHIPAR 2792 ship

圖5 兩艘樣船在各自設(shè)計(jì)吃水狀態(tài)下GZ曲線分段線性化結(jié)果Fig.5 Piecewise linearization method of two ships' GZ curve

通過(guò)分段線性化和局部線性化方法計(jì)算CEHIPAR 2792船的傾覆概率，都能夠得到一條具有當(dāng)定常風(fēng)速超過(guò)一定閾值后，船舶傾覆概率出現(xiàn)急劇上升特征的曲線。h的傾覆概率大幅增長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的風(fēng)速區(qū)間要大于年，局部線性化方法計(jì)算所得的傾覆概率突增對(duì)應(yīng)的風(fēng)速區(qū)間要遠(yuǎn)大于分段線性化結(jié)果，這可能與分段線性化處理后船舶傾斜位能（GZ曲線下的面積）的減小有關(guān)。

圖6 CEHIPAR 2792船傾覆概率曲線Fig.6 Capsizing probability’s curve of CEHIPAR 2792 ship

3.3.2 波浪譜

圖7（a）～圖7（d）所示為在定常風(fēng)速均為Um=25 m/s時(shí)4種常用的波浪譜函數(shù)圖像。

圖8所示為分別采用這4種波浪譜計(jì)算C11船在正常吃水下的傾覆概率。我國(guó)沿海波能譜的計(jì)算結(jié)果和其他3種譜的差別比較大，而且最為危險(xiǎn)。應(yīng)用JONSWAP譜的計(jì)算結(jié)果對(duì)船舶抵抗傾覆能力的評(píng)估最為樂(lè)觀，ITTC雙參數(shù)譜和PM譜則介于中間。對(duì)于我國(guó)沿海波能譜、PM譜、ITTC雙參數(shù)譜，從三者波浪譜函數(shù)圖像來(lái)看，其形態(tài)相近，我國(guó)沿海波能譜波峰幅值最大，因此波浪激勵(lì)力矩也較大，相同定常風(fēng)速下傾覆概率計(jì)算結(jié)果最大；JONSWAP譜雖然波能譜峰值很高，但波浪頻率跨度很窄，波能很低，相同定常風(fēng)速下傾覆概率計(jì)算結(jié)果最小。

3.3.3 GZ曲線分段點(diǎn)位置

在1.2節(jié)中已經(jīng)簡(jiǎn)要介紹了GZ曲線分段線性擬合的方式，但是對(duì)于分段三角形中回復(fù)力臂最大處橫傾角（即Range 0和Range 1的分界點(diǎn)）取法并沒(méi)有做出規(guī)定。計(jì)算表明，取值不同會(huì)影響傾覆概率的數(shù)值。圖9（a）和圖9（b）所示，分別為C11船和CEHIPAR 2792船在正常吃水下通過(guò)適當(dāng)平移分界點(diǎn)橫坐標(biāo)位置后得到的若干條傾覆概率曲線。

4 結(jié) 語(yǔ)

本文針對(duì)船舶在橫風(fēng)橫浪中癱船狀態(tài)的大幅橫搖運(yùn)動(dòng)，主要是基于IMO最新制定的癱船穩(wěn)性第2層衡準(zhǔn)開(kāi)展分析，利用分段線性化方法得到橫搖運(yùn)動(dòng)方程的解析解，并據(jù)此進(jìn)行傾覆概率的計(jì)算?？梢缘玫揭韵陆Y(jié)論：

圖7 風(fēng)速為Um=25 m/s時(shí)各波浪譜函數(shù)的圖像Fig.7 Graphs of wave spectrums in wind speed Um=25 m/s

圖9 GZ曲線分段點(diǎn)位置對(duì)傾覆概率的影響Fig.9 Capsizing probability influenced by the position of GZ curve’s demarcation

1）GZ曲線分段線性近似法簡(jiǎn)化了橫搖運(yùn)動(dòng)方程的非線性系數(shù)項(xiàng)，使得微分方程解析解的求解成為可能，且可以有效地計(jì)算船舶在橫風(fēng)橫浪下的傾覆概率，計(jì)算結(jié)果相比局部線性化方法偏于危險(xiǎn)。

2）對(duì)于分段線性化的計(jì)算，暴露時(shí)間越長(zhǎng)，傾覆概率的計(jì)算結(jié)果越危險(xiǎn)。

3）不同的波浪譜對(duì)傾覆概率的計(jì)算影響是存在的，應(yīng)當(dāng)根據(jù)海區(qū)特征選取適當(dāng)?shù)牟ɡ俗V。

4）對(duì)某些具有凹凸變化的GZ曲線的船型（如CEHIPAR 2792船），分段線性化分界點(diǎn)的取法對(duì)其傾覆概率的評(píng)估影響較大，從提高穩(wěn)性衡準(zhǔn)安全裕度的角度，建議將其取在GZ曲線頂點(diǎn)位置處。