數(shù)列與不等式的交匯應用

韓文美

數(shù)列與不等式的交匯問題，既有函數(shù)的思想方法，也有數(shù)列特定的思想方法，更有不等式求解、證明的方法和技巧，由于知識覆蓋面廣、綜合性強而成為高考命題的熱點之一，解答起來有一定的難度，

一、函數(shù)性質(zhì)

例1 設等差數(shù)列{an}的公差為d，若數(shù)列{ea1an}（e為自然對數(shù)的底數(shù)）為遞增數(shù)列，則

A.d<0

B.d>0

C.a1d<0

D.a1d>0

分析 結(jié)合遞增數(shù)列的性質(zhì)建立不等式，通過求解指數(shù)不等式，結(jié)合等差數(shù)列的通項加以轉(zhuǎn)化，即可判斷相應的不等關(guān)系式.

解 由數(shù)列{ea1an}是遞增數(shù)列，可得ea1an0.選D.

小結(jié) 涉及數(shù)列的基本性質(zhì)（包括單調(diào)性、周期性等）問題，特別是數(shù)列的單調(diào)性問題，往往離不開利用不等式的綜合與應用進行求解，

二、項數(shù)問題

例2 若數(shù)列{an}滿足：a1=2 018，an+1=an-3（n∈N*），則數(shù)列{an}的前n項和取得最大值時，n的值為

A.672

B.673

C.674

D.675

分析 根據(jù)題目條件，結(jié)合等差數(shù)列的定義求其通項公式，由數(shù)列{an}的前n項和取得最大值，得到對應的不等式組，通過不等式組的求解，并結(jié)合項數(shù)的取值限制加以確定.

解 由a1=2018，an+1-an=-3，可知數(shù)列{an}是以2018為首項、-3為公差的等差數(shù)列，所以an=2018+（-3） （n-1）=2021-3n.設數(shù)列{an}的前k（k∈N*）項和取得最大值，則

即

，所以2018/3≤K≤2021/3.由于K∈N*，所以K=673，則滿足條件的n的值為673.選B.

小結(jié) 數(shù)列與不等式交匯中的項數(shù)問題，往往通過數(shù)列的定義、通項公式、相應性質(zhì)以及數(shù)列求和的應用，結(jié)合不等式（組）的分析與求解來解決，注意不等式（組）的求解結(jié)果與數(shù)列對參數(shù)的限制條件之間的關(guān)系與應用.

三、創(chuàng)新問題

例3 若數(shù)列{an}滿足：1/an+1-1/an=d（n∈N*，d為常數(shù)），則稱數(shù)列{an}為調(diào)和數(shù)列.已知正項數(shù)列{1/bn}為調(diào)和數(shù)列，且bl+b2+…+b2017=20170，則b1.b2017的最大值是

A.100

B.90

C200

D.400

分析 根據(jù)創(chuàng)新定義的轉(zhuǎn)化得到{bn}為等差數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)以及基本不等式來解決相應的最值問題.

解 由調(diào)和數(shù)列的定義可知bn+1-bn=d，所以{bn}為等差數(shù)列，由于b1+b2+…+b2017=2017bl009=20170，所以b1009=10，b1+b2017=2b1009=20，則b1·b2017≤（b1+b2017/2）2=100，當且僅當bl=b2017時取等號.選A.

小結(jié) 涉及最值等相關(guān)知識的數(shù)列創(chuàng)新問題，經(jīng)常結(jié)合新定義，將新定義的數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列，利用特殊數(shù)列的概念、公式、性質(zhì)等，并結(jié)合不等式的相關(guān)知識進行解答.

四、參數(shù)問題

例4 已知等比數(shù)列{an}滿足an+1+an=3·2n-l，n∈N*.

（I）求數(shù)列{an}的通項公式.

（Ⅱ）設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若不等式Sn>kan+1對一切n∈N*恒成立，求實數(shù)k的取值范圍.

分析 （I）利用等比數(shù)列所滿足的關(guān)系式，通過特殊值法確定相關(guān)的關(guān)系式，結(jié)合整體思維求得公比，進而得到首項和對應的通項公式.（Ⅱ）結(jié)合（I）中的結(jié)論求前n項和，利用不等式Sn>kan+1分離參數(shù)，設出對應的函數(shù)并求得最值，進而求得參數(shù)的取值范圍，

解 （I）設等比數(shù)列{an}的公比為q.由于an+1+an=3·2n-1，n∈N*，所以a2+a1=3，a3+a2=6，則q=a3+a2/a2+a1=6/3=2.于是可得2a1+a1=3，則a1=l，所以an=2n-l，n∈N*.

（Ⅱ）由（I），可知Sn=a1（1-qn）/1-q=1-2n/1-2=2n-1.由題設有2n-1>k·2n-1+l，即k<2-1/2n-2對一切n∈N*恒成立，令f（n）=2-1/2n-2，由f（n）隨n的增大而增大，可知fmin（n）=f（1）=2-2=0，則k<0，所以實數(shù)k的取值范圍是（-∞，0）.

小結(jié) 數(shù)列與不等式交匯中的參數(shù)問題，常將相應的不等式與數(shù)列中的相關(guān)公式加以綜合，進行參數(shù)分離，利用相關(guān)函數(shù)的最值的求解，進行等價轉(zhuǎn)化，達到解決問題的目的，

五、應用問題

例5 為了加強環(huán)保建設，提高社會效益和經(jīng)濟效益，長沙市計劃用若干時間更換一萬輛燃油型公交車，每更換一輛新車，則淘汰一輛舊車，新車為電力型和？昆合動力型車，今年年初投入了電力型公交車128輛，混合動力型公交車400輛：計劃以后電力型公交車每年的投入量比上一年增加50%，混合動力型公交車每年比上一年多投入a輛.

（I）求經(jīng)過n年，該市被更換的公交車總數(shù)S（n）.

（Ⅱ）若該市計劃5年內(nèi)完成全部更換，求a的最小值，

分析 （I）設an，bn。分別為第n年投入的電力型公交車，混合動力型公交車的數(shù)量，分別確定數(shù)列的類型，根據(jù)數(shù)列的前n項和公式求解即可.（Ⅱ）根據(jù)題目條件轉(zhuǎn)化為不等式關(guān)系S（5）≥10000，利用不等式的求解來確定參數(shù)a的最小值.

解 （I）設an，bn分別為第n年投入的電力型公交車，混合動力型公交車的數(shù)量.依題意得{an}是以128為首項、3/2為公比的等比數(shù)列，{bn}是以400為首項、a為公差的等差數(shù)列，所以數(shù)列{an}的前n項和Sn=128[1-（3/2）n]/1-3/2=256[（3/2）n-1]，數(shù)列{bn}的前n項和Tn=400n+n（n-1）/2 a，則經(jīng)過n年，該市被更換的公交車總數(shù)S（n）=Sn+Tn=256[（3/2）n-1]+400n+n（n-1）/2 a.

（Ⅱ）若計劃5年內(nèi)完成全部更換，則S（5）≥10000，所以256[（3/2）5-1]+400x5+5x4/2 a≥10000，即100≥6312，解得a≥631.2.又a∈N*，所以a的最小值為632.

小結(jié) 數(shù)列與不等式交匯中的實際應用問題，往往通過相應數(shù)列的通項、求和公式確定相應的關(guān)系式，利用實際問題建立對應的不等關(guān)系進行求解.對求參數(shù)問題，一定要結(jié)合實際應用問題，確保參數(shù)在實際中有意義，

六、證明問題

例6 已知數(shù)列{an}是公差不為零的等差數(shù)列，a5=5，且a3，a4，a7成等比數(shù)列.

（I）求數(shù)列{an}的通項公式.

（Ⅱ）設bn=an/2n，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，求證：-7/4≤Tn<-1（n∈N*）.

分析 （I）通過待定系數(shù)法，根據(jù)題目條件建立方程組，求得首項與公差，從而可得數(shù)列{an}的通項公式.（Ⅱ）先利用錯位相減法求出數(shù)列{bn}的前n項和Tn，再確定其單調(diào)性，即可證明對應的數(shù)列不等式成立.

（I）解：an=2n-5（n∈N*）.（解答過程省略）

（Ⅱ）（證明過程省略）

小結(jié) 數(shù)列與不等式交匯的綜合問題，若是證明題，要靈活選擇不等式的證明方法，如比較法、綜合法、分析法、放縮法等：若是解不等式題，要選擇不等式的不同解法，如列表法、因式分解法、穿根法等.