數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在數(shù)列中的滲透

王中華

教育部《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》修訂組組長王尚志教授提出，中國學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中應(yīng)培養(yǎng)好數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析六大核心素養(yǎng).數(shù)列在現(xiàn)實(shí)生活中有著廣泛的應(yīng)用，是培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的重要題材.

一、數(shù)學(xué)抽象

數(shù)學(xué)抽象是指舍去事物的一切物理屬性，得到數(shù)學(xué)研究對象的思維過程，主要包括：從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系，從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，并且用數(shù)學(xué)符號或者數(shù)學(xué)術(shù)語予以表征.

例1 （2017年高考全國卷一理科卷第12題）幾位大學(xué)生響應(yīng)國家的創(chuàng)業(yè)號召，開發(fā)了一款應(yīng)用軟件.為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動.這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問題的答案：已知數(shù)列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一項(xiàng)是20，接下來的兩項(xiàng)是20，21，再接下來的三項(xiàng)是20，21，22，依此類推.求滿足如下條件的最小整數(shù)Ⅳ：N>100且該數(shù)列的前N項(xiàng)和為2的整數(shù)冪.那么該款軟件的激活碼是

A.440 B.330 C.220 D.110

參考答案 A

名師點(diǎn)睛 本題巧妙地將實(shí)際問題和數(shù)列融合在一起.考生首先需要讀懂題目所表達(dá)的意思，以及觀察所給數(shù)列的特征，進(jìn)而判斷該數(shù)列的通項(xiàng)與求和.本題的難點(diǎn)在于數(shù)列里面套數(shù)列，第一個數(shù)列的和又作為下一個數(shù)列的通項(xiàng)，而且最后幾項(xiàng)并不能放在一個數(shù)列中，需要進(jìn)行判斷.本題的解題關(guān)鍵是對新的數(shù)學(xué)情景的理解或?qū)π赂拍畹奶釤捝A.

二、邏輯推理

邏輯推理是指從一些事實(shí)和命題出發(fā)，依據(jù)邏輯規(guī)則推出一個命題的思維過程.主要包括兩類：一類是從小范圍內(nèi)成立的命題推斷更大范圍內(nèi)成立的命題的推理，推理形式主要有歸納、類比；一類是從大范圍內(nèi)成立的命題推斷小范圍內(nèi)成立的命題的推理，推理形式主要有演繹推理.

例2 （Ⅰ）圖1是網(wǎng)絡(luò)工作者經(jīng)常用來解釋網(wǎng)絡(luò)運(yùn)作的蛇形模型：數(shù)字1出現(xiàn)在第1行；數(shù)字2，3出現(xiàn)在第2行；數(shù)字6，5，4（從左至右）出現(xiàn)在第3行；數(shù)字7，8，9，10出現(xiàn)在第4行，依此類推，則第20行從左至右的第4個數(shù)字應(yīng)是____.

（Ⅱ）四面體數(shù)為：1，4，10，20，35，56，84，120，….它們是恰能壘成正四面體堆垛的大小相同的小球的個數(shù)，猜想其通項(xiàng)公式為____.參考答案（Ⅰ）194（Ⅱ）1/6n（n+1）（n+2）

名師點(diǎn)睛 第（Ⅰ）題考查歸納推理以及等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，屬于中檔題，解題的關(guān)鍵在于從有限的特殊事例中尋找其中的規(guī)律，要注意從運(yùn)算的過程中去尋找.第（Ⅱ）題可利用分解或組合的方法，將看似無規(guī)律、無目標(biāo)的問題變得有規(guī)律可循.

三、數(shù)學(xué)建模

數(shù)學(xué)建模是對現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)和解決問題的過程.具體表現(xiàn)為：在實(shí)際情境中，從數(shù)學(xué)的視角提出問題、分析問題、表達(dá)問題、構(gòu)建模型、求解結(jié)論、驗(yàn)證結(jié)果、改進(jìn)模型，最終得到符合實(shí)際的結(jié)果.

例3 英國著名物理學(xué)家牛頓在數(shù)學(xué)上也有許多杰出貢獻(xiàn).牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)f（x）的零點(diǎn)時給出一個數(shù)列{xn}：滿足xn+1=xn-f（xn）/f'（xn），我們將該數(shù)列稱為牛頓數(shù)列.若函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a>0）有兩個零點(diǎn)1，2，數(shù)列{xn}為牛頓數(shù)列，設(shè)an=Inxn-2/xn-1，已知a1=2，xn>2，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=_____.

參考答案2''

名師點(diǎn)睛 利用數(shù)學(xué)建模解決實(shí)際應(yīng)用問題，先要正確理解題意，分析條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，選擇恰當(dāng)模型：再建立模型，即將文字語言、圖形（或數(shù)表）等轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，利用數(shù)學(xué)知識建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，將實(shí)際問題化為數(shù)學(xué)問題：然后選擇合適的數(shù)學(xué)方法求解（尤其要注意使用導(dǎo)數(shù)解決最優(yōu)化的問題）：最后將利用數(shù)學(xué)知識和方法得出的結(jié)論還原為實(shí)際問題的答案.在求解過程中，考生要注意實(shí)際問題對變量參數(shù)的限制條件.

四、數(shù)學(xué)運(yùn)算

數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問題.主要包括：理解運(yùn)算對象，掌握運(yùn)算法則，探究運(yùn)算方向，選擇運(yùn)算方法，設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，求得運(yùn)算結(jié)果.

例4已知n∈N*，數(shù)列{dn}滿足dn=3+（-1）n/2，數(shù)列{an}滿足an=d1+d2+d3+…+d2，數(shù)列{bn}為公比大于1的等比數(shù)列，且b2，b4為方程x2-20x+64=0的兩個不相等的實(shí)根.

（Ⅰ）求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式.

（Ⅱ）將數(shù)列{bn}中的第a1項(xiàng)，第a2項(xiàng)，第a3項(xiàng)，…，第an項(xiàng)，…刪去后，剩余的項(xiàng)按從小到大的順序排成新數(shù)列{Cn}，求數(shù)列{cn）的前2013項(xiàng)和.

參考答案（Ⅰ）an=3n，bn=2n.（Ⅱ）20×81006-6/7.

名師點(diǎn)睛 本例在求解與等比數(shù)列有關(guān)的問題時，除了要靈活地運(yùn)用定義和公式外，還要注意挖掘隱含條件，利用性質(zhì)以減少運(yùn)算量，提高解題速度.方程觀點(diǎn)以及基本量思想是求解等比數(shù)列問題的基本方法：在a1，q，n，an，Sn五個量中，知三求二.在運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時，必須對q=1與q≠1進(jìn)行分類討論，防止因忽略q=1這一特殊情形而導(dǎo)致解題失誤.

五、直觀想象

直觀想象是指借助空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用幾何圖形理解和解決數(shù)學(xué)問題.主要包括：利用圖形描述數(shù)學(xué)問題，建立形與數(shù)的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型，探索解決問題的思路.

例5已知數(shù)列{an}，n∈N*.

（Ⅰ）若an=n2*5n+4，數(shù)列中有多少項(xiàng)是負(fù)數(shù)？n為何值時，an有最小值？求出最小值.

（Ⅱ）若an=n2+kn+4，an+1>an，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

參考答案 （Ⅰ）兩項(xiàng)，2或3，最小值為-2.

（Ⅱ）k>-3.

名師點(diǎn)睛 求數(shù)列的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)一般有兩種方法：①將數(shù)列看作特殊的函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)研究數(shù)列的單調(diào)性及最值，應(yīng)注意n必須取正整數(shù).②類比函數(shù)單調(diào)性研究數(shù)列的單調(diào)性，進(jìn)一步研究最值.注意最大項(xiàng)或最小項(xiàng)可能不止一項(xiàng).

六、數(shù)據(jù)分析

數(shù)據(jù)分析是指從數(shù)據(jù)中獲得有用信息，形成知識的過程，主要包括：收集數(shù)據(jù)提取信息，利用圖表展示數(shù)據(jù)，構(gòu)建模型分析數(shù)據(jù)，解釋數(shù)據(jù)蘊(yùn)含的結(jié)論.

例6 將正三角形ABC分割成n2（n≥2，n∈N*）個全等的小正三角形（圖2，圖3 分別給出了n=2，3的情形），在每個三角形的頂點(diǎn)各放置一個數(shù)，使位于正三角形ABC的三邊及平行于某邊的任一直線上的數(shù)（當(dāng)數(shù)的個數(shù)不少于3時）都分別依次成等差數(shù)列.若頂點(diǎn)A，B，C處的三個數(shù)互不相同且和為1，記所有頂點(diǎn)上的數(shù)之和為f（n），則有f（2）=2，f（3）=____，…，f（n）=______.

參考答案 10/3 1/6（n+1）（n+2）

名師點(diǎn)睛 解決圖表類問題時，應(yīng)正確理解圖表中各量的意義，從圖表中提取有用信息.通過圖表掌握信息是解決該類問題的關(guān)鍵.本題主要考查考生的歸納推理能力及等差數(shù)列的求和，要求考生能根據(jù)題目中的敘述，正確地把握題目所包含的數(shù)學(xué)知識，然后化歸為數(shù)列求和問題來求解.