正午太陽高度角的應用

劉 靜

湖北

正午太陽高度角是高中自然地理中的難點與核心內(nèi)容。本文另辟蹊徑，利用學生已有的數(shù)學基礎幾何知識，剖析正午太陽高度的問題，希望更好地幫助學生理解和掌握高中地理難點知識的作用。

一、正午太陽高度角的定義

正午太陽高度角是指正午時太陽光的入射方向和地平面之間的夾角，專業(yè)上講正午太陽高度角是指某地正午太陽光線與通過該地與地心相連的地表切面的夾角，簡稱正午太陽高度。

二、正午太陽高度角的計算公式

對于正午太陽高度角的公式，可以根據(jù)初中幾何知識進行分析。假設H為正午太陽高度角，A為直射點，其緯度為α；B為要求點，其緯度為β。那么，可以分以下幾種情況進行證明。

(一)當A和B在同一半球時，假設兩點都在北半球，可分為以下兩種情況

1.假設直射點A的緯度低于要求點B的緯度，如下圖

證明：∵太陽光線相互平行

∴H=∠OCB(內(nèi)錯角原理)

∵OB⊥地平線CB

∴三角形OBC為直角三角形

∴H=∠OCB=90°-∠AOB=90°-(β-α)

2.假設直射點A的緯度高于要求點B的緯度，如下圖

證明：∵太陽光線相互平行

∴H=∠OCB(內(nèi)錯角原理)

∵OB⊥地平線CB

∴三角形OBC為直角三角形

∴H=∠OCB=90°-∠AOB=90°-(α-β)

同理，直射點A和要求點B位于南半球，求證方法類似。

(二)當A和B不在同一半球時，假設直射點A在南半球，要求點B位于北半球?？煞譃橐韵聝煞N情況

1.要求點B不出現(xiàn)極夜現(xiàn)象，如下圖

證明：∵太陽光線相互平行

∴H=∠OCB(內(nèi)錯角原理)

∵OB⊥地平線CB

∴三角形OBC為直角三角形

∴H=∠OCB=90°-∠AOB=90°-(β+α)

2.要求點B點出現(xiàn)極夜現(xiàn)象，如下圖

證明：∵太陽光線相互平行

∴90°+H=∠AOB=β+α(同位角原理)

∴H=β+α-90°

∵β+α>90°

∴H>0°

∵此時，要求點為極夜，在地平線以下，正午太陽高度為負值

∴H′=90°-(β+α)

同理，直射點A在北半球，要求點B在南半球，求證方法類似。

綜上所述，正午太陽高度公式可以簡單地歸納為H=90°-∠AOB=90°-|緯度差|。這個公式也可以表達為H=90°-|β-α|(當直射點和要求點在同半球時，α取正值，公式為H=90°-|β-α|，當直射點和要求點異半球時，α取負值，公式為H=90°-|β+α|)。

三、正午太陽高度角的規(guī)律

(一)正午太陽高度角由太陽直射點向南、北兩側遞減

太陽直射點南北兩側，要求點距直射點越遠，即太陽直射點與要求點之間的緯度差值越大，則H(即90°-|緯度差|)的值越小。

(二)正午太陽高度角的極值

1.直射區(qū)域

(1)南北回歸線上。一年中，正午太陽高度角只有一次最大值和一次最小值。最大值即直射，最小值時太陽直射另一半球的回歸線。即直射北回歸線，6月22日左右為一年中的最大值，12月22日左右為一年中的最小值；直射南回歸線，12月22日左右為一年中的最大值，6月22日左右為一年中的最小值。下面以北回歸線為例，證明其最小值的時間，南半球同理，如下圖。

證明：∵一年之中太陽直射點在南、北回歸線之間移動

∴當直射點A點位于南回歸線時，直射點A點與要求點B點之間的緯度差達到一年中的最大值

∴當太陽直射南回歸線時，B點的正午太陽高度角達到一年中的最小值

(2)赤道上。一年中，正午太陽高度角有兩次最大值和兩次最小值。最大值時，即太陽直射赤道，時間分別為9月23日左右和3月21日左右；最小值時，太陽直射南、北回歸線，時間分別為12月22日左右和6月22日左右。以下主要證明最小值的時間，如下圖。

證明：∵一年之中太陽直射點在南、北回歸線之間移動

∴當直射點位于A點(南回歸線)和A′點(北回歸線)位置時，直射點與要求點B點之間的緯度差(∠AOB=∠A′OB=23°26′)達到一年中的最大值

∴當太陽直射南、北回歸線時，赤道的正午太陽高度角達到一年中的最小值

(3)回歸線和赤道之間地區(qū)(不包括回歸線和赤道)。一年中，有一次最大值和一次最小值。最大值即太陽直射回歸線時，即太陽直射另一個半球的回歸線時。下面以北半球為例，證明最小值，南半球同理，如下圖。

證明：∵一年之中太陽直射點在南、北回歸線之間移動

∴當直射點位于A點(南回歸線)時，其緯度差為∠AOB(大于23°26′)；當直射點位于A′點(北回歸線)時，其緯度差為∠A′OB(小于23°26′)

∴當直射點位于南回歸線時，要求點B與直射點A之間的緯度差達到一年中最大值

∴要求點B的正午太陽高度角達到得一年中的最小值

2.非直射區(qū)域

(1)非極夜區(qū)域。一年中，正午太陽高度角有一次最大值和一次最小值，若在北半球，最大值為太陽直射北回歸線時，時間是6月22日左右，最小值為太陽直射南回歸線時，時間是12月22日左右；若在南半球，最大值為太陽直射南回歸線時，時間是12月22日左右，最小值為太陽直射北回歸線時，時間是6月22日左右。以北半球為例，進行證明，南半球同理，如下圖。

證明：∵一年之中太陽直射點在南、北回歸線之間移動

∴當直射點位于A′點(北回歸線)時，時間為6月22日左右，直射點與要求點的緯度差(∠A′OB)達一年中的最小值

∴正午太陽高度角達到一年中的最大值

同理，當直射點位于A點(南回歸線)時，時間為12月22日左右，直射點與要求點的緯度差(∠AOB)達一年中的最大值

∴正午太陽高度角達到一年中的最小值

(2)極夜區(qū)域。一年中，正午太陽高度有一次最大值和一次最小值，但最小值是負值。若在北半球，最大值時太陽直射北回歸線，時間是6月22日左右，最小值時太陽直射南回歸線，時間是12月22日左右；若在南半球，最大值時太陽直射南回歸線，時間是12月22日左右，最小值時太陽直射北回歸線，時間是6月22日左右。以北半球為例，進行證明，南半球同理，如下圖。

證明：∵一年之中太陽直射點在南、北回歸線之間移動

∴當直射點位于A′點(北回歸線)時，時間為6月22日左右，直射點與要求點的緯度差(∠A′OB)達到一年中的最小值

∴正午太陽高度達到一年中的最大值

同理，當直射點位于A點(南回歸線)時，時間為12月22日左右，直射點與要求點的緯度差(∠AOB)達到一年中的最大值

∵∠BOD>66°34′, ∠AOD=23°26′

∴∠AOB=∠BOD+ ∠AOD>90°

∴H=90°-∠AOB<0°

∴B點正午太陽高度角達到一年中的最小值，且為負值

(三)極晝區(qū)特殊規(guī)律：H正午+H子夜=2α(α為直射點的緯度)

1.證明極晝區(qū)子夜太陽高度，如下圖

∵A點為直射點

∴A點所在經(jīng)線地方時為12時，即正午

∵B′點與A點的經(jīng)度差間隔180°，地方時間隔12時

∴B′點所在經(jīng)線的地方時為0時，H子夜即為子夜太陽高度角

∵太陽光線相互平行

∴90°-H子夜=∠B′OA(同位角原理)

∴H子夜=90°-(∠B′ON+∠AON)

∵∠B′ON=90°-β，∠AON=90°-α

∴H子夜=90°-(90°-β+90°-α)

∴H子夜=β+α-90°

2.證明H正午+H子夜=2α

∵此時要求點和直射點在同一半球

∴H正午=90°-|β-α|

∵β的緯度在66°34′～90°之間，α的緯度在0°～23°26′之間，即要求點緯度高于直射點緯度

∴H正午=90°-(β-α)=90°-β+α

∴H正午+H子夜=90°-β+α+β+α-90°=2α

四、正午太陽高度角案例分析

這一部分主要是針對經(jīng)常遇到的一些比較典型的題目，根據(jù)上文的講解方法進行分析，得出要求問題的答案，具體情況可根據(jù)以下兩道例題，加強練習，以提高學生的理解和掌握能力。

【例1】下圖為A，B，C，D四地正午太陽高度的年變化圖，求四地緯度。

【解析】圖中A點在一年中有一次最大值90°，且時間為6月22日左右；一次最小值，時間為12月22日左右，位于北半球，故A點的緯度為23°26′N。B點有兩次最大值90°，時間分別為3月21日左右和9月23日左右，故B點的緯度是0°。C點一年中有一次最小值，時間為6月22日左右，一次最大值，時間為12月22日左右，位于南半球，且H=60°=90°-(β-23°26′)，故C點的緯度為53°26′S。D點一年中有一次最大值，時間為12月22日左右，最小值為負值，應該位于南半球，且12月22日前后其H=30°=90°-(β-23°26′)，故D點的緯度為83°26′S。

【答案】A點為23°26′N，B點為0°，C點為53°26′S，D點為83°26′S。

【例2】下圖是地球上某地太陽在兩個時刻的方位及太陽高度角圖，求該地的緯度及直射點的緯度。

【解析】圖中太陽位于正南時的太陽高度角大于正北位置時的太陽高度角，說明太陽位于正南時，當?shù)氐胤綍r為12時，因此正北時，地方時為0時(子夜)，則可以確定，該地出現(xiàn)極晝現(xiàn)象。同時，由于正午時太陽位于正南，則可確定該地位于北半球，根據(jù)H正午+H子夜=2α，得出直射點的緯度為20°N，根據(jù)H=90°-|緯度差|=90°-(β-α)=30°，得出該地的緯度為80°N。

【答案】該地緯度為80°N，直射點緯度為20°N。