新型可調(diào)動力吸振器設(shè)計及參數(shù)優(yōu)化

李強(qiáng)，董光旭，張希農(nóng)，羅亞軍，張亞紅，謝石林

西安交通大學(xué) 航天航空學(xué)院，機(jī)械結(jié)構(gòu)強(qiáng)度與振動國家重點(diǎn)實驗室，西安 710049

振動控制在航天航空領(lǐng)域里具有舉足輕重的作用?？臻g站、航天器以及軍民用飛機(jī)中由機(jī)械旋轉(zhuǎn)不平衡、熱變形或流體運(yùn)動等引發(fā)的零部件震動、機(jī)翼顫振等，極易造成結(jié)構(gòu)變形損傷等嚴(yán)重后果[1-3]。Boucher[1]詳細(xì)分析了空間站不同部件中的振動源，包括太陽能陣列和熱輻射器旋轉(zhuǎn)接頭、通訊天線、姿態(tài)控制陀螺儀等，指出由旋轉(zhuǎn)接頭等誘發(fā)的機(jī)械振動往往頻率較低。吸振器作為一種常用振動控制設(shè)備，其中的線性吸振器由于結(jié)構(gòu)簡單、安裝方便等優(yōu)勢已在振動控制領(lǐng)域內(nèi)得到大量應(yīng)用[4-8]，然而其狹小的減振帶寬及常規(guī)吸振頻帶往往無法滿足航天設(shè)備實際設(shè)計中對低頻振動控制的需求。為此，學(xué)者們積極尋找解決方法，其中的一個主要觀點(diǎn)是引入非線性吸振器[9-13]。

作為一種研究最為廣泛的非線性吸振器——非線性能量吸收器(NES)，因其無固有頻率，故而能與任意振動頻率相適應(yīng)[14-15]。定向能量轉(zhuǎn)移(TET)是NES的重要特性，可實現(xiàn)能量不可逆轉(zhuǎn)移，該特性已在理論和實驗中得到證實[16-18]。Gendelman等在文獻(xiàn)[19-20]中先后詳細(xì)研究了NES的非線性特性，并指出處于強(qiáng)調(diào)制(強(qiáng)準(zhǔn)周期)的NES具有優(yōu)越的振動抑制性能。Hubbard等[21]在將其應(yīng)用于機(jī)翼振動控制時表明，NES的TET特性在氣動穩(wěn)定性方面極具研究前景。但由于缺少線性剛度項，使其承載能力弱，而共振頻率隨振幅變化的特性，增大了NES對固定頻率振動抑制的實現(xiàn)難度。

引入線性剛度項的非線性吸振器，通常被稱為非線性調(diào)諧吸振器(NTVA)，其具有本征頻率，非線性剛度項使共振頻率在本征頻率附近偏移。Roberson[9]在理論研究具有立方恢復(fù)力項的NTVA中發(fā)現(xiàn)該類吸振器具有拓寬吸振頻帶的特性，引起學(xué)者對此極大關(guān)注。Nissen等[10, 22]采用碟形線圈對構(gòu)成具有軟彈簧特性的NTVA，使得吸振帶寬約達(dá)到線性吸振器的2倍。為充分利用該類吸振器進(jìn)行振動控制，學(xué)者們提出各種結(jié)構(gòu)形式，實現(xiàn)該類吸振器設(shè)計。Rice和McCraith[11]提出兩端固定梁的中心位置變形時恢復(fù)力呈非線性特性，利用該特點(diǎn)進(jìn)而形成由對稱斜彈簧構(gòu)成非線性剛度[23]，而劉海平等[24]則在此基礎(chǔ)上提出使用歐拉屈曲梁代替斜彈簧。采用磁性機(jī)構(gòu)則為另一種常見方式[25-26]，采用該方式設(shè)計出的吸振器往往具有結(jié)構(gòu)簡單、占用空間小、便于控制等優(yōu)點(diǎn)。Natsiavas[27]通過深入分析引入NTVA后的系統(tǒng)頻響曲線中所出現(xiàn)各種情況，指出須選擇適當(dāng)?shù)奈衿鲄?shù)，才可避免不穩(wěn)定響應(yīng)，并有效抑制主系統(tǒng)振動，否則，將導(dǎo)致多值振動、組合共振、分岔混沌等復(fù)雜非線性現(xiàn)象[28-30]。

在航天器及空間站中，為應(yīng)對多種或可變共振頻率振動，實現(xiàn)調(diào)諧特性在吸振器設(shè)計中將顯得尤為重要。Keye等[31]指出渦輪螺旋漿飛機(jī)噪聲與螺旋葉片數(shù)與轉(zhuǎn)數(shù)積相關(guān)，不同飛行階段引擎轉(zhuǎn)數(shù)變化使得共振頻率不同，固定本征頻率的NTVA往往難以有所建樹，為此提出一種軸向預(yù)壓懸臂梁的吸振器模型，用于實現(xiàn)調(diào)諧特性。Deng等[32]研究基于磁流變彈性體特性的NTVA時，實驗證明通過改變磁場強(qiáng)度，可實現(xiàn)固有頻率在55～82 Hz范圍內(nèi)變化。Bonello等[33]則基于可變剛度單元概念采用3種設(shè)計實現(xiàn)剛度可調(diào)特性。Franchek[34]設(shè)計了一種類反饋控制的基于最小化輸入電壓調(diào)諧電路實現(xiàn)剛度調(diào)節(jié)，實驗證明了該設(shè)計的可行性。

然而, 遺憾的是，常規(guī)NTVA振動控制頻帶往往難以向低頻/超低頻范圍擴(kuò)展。負(fù)剛度，因可實現(xiàn)準(zhǔn)零剛度特性，而被成功應(yīng)用于隔振器對低頻/超低頻振動的有效隔離中[35]，這啟示著學(xué)者們將其應(yīng)用于吸振器設(shè)計。Shen等[36]提出一種負(fù)剛度吸振模型，應(yīng)用定點(diǎn)理論得到最優(yōu)吸振器參數(shù)，從理論上證明了負(fù)剛度可提高吸振器對主系統(tǒng)振動幅值的抑制能力。Acar和Yilmaz[37]則提出一種配有負(fù)剛度張力調(diào)整機(jī)制的弦-質(zhì)量可調(diào)吸振器，實驗表明，負(fù)剛度的移頻特性在低頻振動有效控制中作用極為顯著。在前述學(xué)者們的研究中，負(fù)剛度被認(rèn)定為線性，然而絕大多數(shù)負(fù)剛度實現(xiàn)方式在本質(zhì)上是非線性的。在吸振器設(shè)計中，負(fù)剛度的非線性特性往往更難以被忽略，卻少有學(xué)者對此深入研究。

為實現(xiàn)低頻振動控制，擴(kuò)展其可應(yīng)用頻率范圍，本文提出一種負(fù)剛度實現(xiàn)機(jī)制，并在此基礎(chǔ)上，設(shè)計出一種新型可調(diào)動力吸振器(NDVA)。將提出的吸振器用于低頻振動控制時，由于負(fù)剛度的非線性特性，為避免傳統(tǒng)非線性參數(shù)優(yōu)化方法耗時低效等缺陷，提出一種基于穩(wěn)定性分析的參數(shù)優(yōu)化方法，通過簡單迭代獲取最優(yōu)吸振器參數(shù)。此外，提出的吸振器的優(yōu)越魯棒穩(wěn)定性使其在低頻/超低頻振動控制中的應(yīng)用價值和潛力顯著提高。

1 新型可調(diào)動力吸振器

如圖1所示，新型可調(diào)動力吸振器由螺旋柔性彈簧(SFS)、剛性桿、磁性負(fù)剛度彈簧(MNSS)及其他輔助部件組成。螺旋柔性彈簧承載位于其腔室內(nèi)的環(huán)形永磁體6，螺旋臂提供軸向正剛度，在環(huán)形永體6位移不大時，其剛度保持不變[38]。法蘭直線軸承2、11外壁底部及端部帶有外螺紋，與外圓柱壁19的內(nèi)螺紋相互嚙合，上下旋轉(zhuǎn)時，可移動固定于其外側(cè)的環(huán)形永磁體4、13，從而調(diào)整相對于環(huán)形永磁體6的相對距離。剛性桿與螺旋柔性彈簧及環(huán)形永磁體6內(nèi)壁固定，通過軸承中心通孔與主系統(tǒng)相連接。

如圖2所示，磁性負(fù)剛度彈簧由4、6、13這3個環(huán)形永磁體組成，3個環(huán)形永磁體均沿軸向磁化，環(huán)形永磁體4和13對環(huán)形永磁體6的作用力表現(xiàn)為吸引形式?；诜肿与娏骷僬f，磁性負(fù)剛度彈簧的理論等效剛度為[38]

圖1 新型可調(diào)動力吸振器剖面圖Fig.1 Cross-section of new tunable dynamic vibration absorber

(1)

式中：μ0為真空磁導(dǎo)率，μ0=4π×10-7N·A-2;M1和M2為環(huán)形永磁體6和環(huán)形永磁體4、13的磁化強(qiáng)度大?。沪?和Φ2的表達(dá)式為

(2)

其中：z1和φ1為環(huán)形永磁體6的局部柱坐標(biāo)；z2和φ2為環(huán)形永磁體4、13的局部柱坐標(biāo)；z為環(huán)形永磁體6的位移；r(1)和r(2)為環(huán)形永磁體6的內(nèi)外半徑；rin,2和rout,2為環(huán)形永磁體4、13的內(nèi)外半徑；h1和h2分別為環(huán)形永磁體6和環(huán)形永磁體4、13的厚度；z(1)和z(2)為環(huán)形永磁體6的上下表面在z軸方向上的位置，z(1)=z-h1，z(2)=z+h1。圖3(a)為磁剛度隨位移z的變化曲線，仿真參數(shù)如表1所示。從圖3(a)中可以看出：磁剛度隨環(huán)形永磁體6距靜平衡位置的距離的增大先增大而后在越過點(diǎn)Q1和Q2后有所下降，且在其位移不超過Q1和Q2限定范圍時，如圖3(b)所示，理論磁剛度可被近似為

km=k11+k33z2

(3)

圖2 磁性負(fù)剛度彈簧(MNSS)設(shè)計Fig.2 Layout of Magnetic Neagtive Stiffness Spring(MNSS)

式中：k11和k33為系數(shù)。進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，若使環(huán)形永磁體6的位移始終處于(-l/2,l/2)范圍，改變磁間距l(xiāng)時磁剛度仍可用式(3)的多項式擬合，僅其各項系數(shù)k11和k33有所變化。如圖4所示，k11和k33與磁間距l(xiāng)滿足函數(shù)關(guān)系，可用式(4)和式(5)進(jìn)行描述：

k11=f1(l)=-16.87-

(4)

圖3 磁剛度隨環(huán)形永磁體6位移的變化曲線Fig.3 Curves of magnetic stiffness vs displacement of annular permanent magnet 6

表1 磁環(huán)參數(shù)Table 1 Parameters of magnetic rings

圖4 等效磁剛度系數(shù)隨磁間距l(xiāng)的變化曲線Fig.4 Curves of equivalent magnetic stiffness coefficients vs gap l

k33=f3(l)=-2.92×108+8.03×106·

(5)

若螺旋柔性彈簧剛度為kSFS，則吸振器所提供的恢復(fù)力為

(6)

式中：k1=kSFS+k11,k3=k33/3。

2 動力學(xué)方程的建立

圖5 系統(tǒng)動力學(xué)模型Fig.5 Systemic dynamical model

將提出的吸振器用于主系統(tǒng)振動控制時，其動力學(xué)模型可簡化為如圖5所示。利用牛頓第二定律，結(jié)合式(6), 可得到系統(tǒng)動力學(xué)方程為

(7)

式中：ms、cs和ks為主系統(tǒng)的質(zhì)量、等效黏性阻尼系數(shù)和剛度；m和c分別為吸振器的質(zhì)量和等效黏性阻尼系數(shù)；F為激振力幅;ω為外激勵頻率；t為時間。

引入無量綱量：

式(7)可化為

(8)

進(jìn)一步令

則由式(8)可得到

(9)

將式(9)寫為矩陣形式為

(10)

式中：

3 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)

設(shè)系統(tǒng)響應(yīng)為

X=ucosτ+vsinτ

(11)

式中：u=[us,u]T,v=[vs,v]T。u和v關(guān)于時間慢變，慢變假設(shè)為

u′cosτ+v′sinτ=0

(12)

結(jié)合式(12), 將式(11)代入式(10)，可得到

(Mv′-Mu+Cv+Ku)cosτ-

(Mu′+Mv+Cu-Kv)sinτ=f(u,v,τ)

(13)

結(jié)合式(12)和式(13)，在(0, 2π)上關(guān)于cosτ與sinτ積分并求平均，可得到

(14)

(15)

u′=0,v′=0

(16)

將式(16)代入式(14)和式(15)，可得到頻響方程組為

(17)

(18)

相位為

(19)

(20)

為分析穩(wěn)態(tài)解的穩(wěn)定性，引入攝動量，即

{u→u0+Δu

v→v0+Δv

(21)

式中：u0和v0為穩(wěn)態(tài)解；Δu和Δv為攝動量。將式(21)代入式(14)和式(15)中，忽略二次及其以上項，可得攝動方程為

(22)

其中：J為雅克比矩陣，其具體表達(dá)式見附錄A。若矩陣J所有特征值的實部小于零，則認(rèn)為穩(wěn)態(tài)解穩(wěn)定，否則認(rèn)為不穩(wěn)定。

非線性吸振器相比于線性吸振器(LDVA)，目前被學(xué)者廣泛認(rèn)可的優(yōu)勢在于有效拓展吸振帶寬，該特性在本文所提出的吸振器中得到體現(xiàn)，如圖6所示。從圖6可以看出，存在最優(yōu)磁間距l(xiāng), 將NDVA的吸振帶寬BNDVA拓寬至約為線性吸振器BLDVA的2.5倍。但值得注意的是，帶寬雖得以拓寬，但仍難以有效抑制由頻帶較寬的外干擾引起的振動，且因吸振器阻尼較小，振動衰減時間一般較長。因此，為迅速衰減較寬頻帶振動，通常以振幅最小化為吸振參數(shù)優(yōu)化目標(biāo)。本文所提出吸振器采用磁性剛度，對磁間距l(xiāng)敏感，因而調(diào)整磁間距l(xiāng)對振動響應(yīng)的影響將顯得極為明顯。從圖7中看，將l從20.0 mm調(diào)整到22.5 mm時，高幅響應(yīng)曲線分離出獨(dú)立于主低幅響應(yīng)曲線之外的高幅游離環(huán)，而進(jìn)一步增大到25.0 mm時，游離環(huán)消失，僅剩幅值較小的主響應(yīng)曲線，使共振頻率附近較大頻帶內(nèi)的振動得到控制。因此，為獲得最優(yōu)振動控制效果，選擇適當(dāng)?shù)奈衿鲄?shù)，尤其是磁間距l(xiāng), 其意義將顯得尤為重大。為避免傳統(tǒng)非線性吸振器參數(shù)優(yōu)化算法耗時長、效率低等缺點(diǎn)，第4節(jié)中將基于穩(wěn)定性分析，提出一種參數(shù)優(yōu)化方法，通過簡單迭代獲得以磁間距為主要優(yōu)化對象的最優(yōu)參數(shù)值。

圖6 減振帶寬比隨磁間距l(xiāng)的變化曲線Fig.6 Curve of absorption bandwidth ratio vs gap l

圖7 磁間距l(xiāng)對頻響曲線的影響Fig.7 Effect of gap l on frequency response curves

4 參數(shù)優(yōu)化

穩(wěn)定性分析作為非線性系統(tǒng)中必不可少的部分，在吸振器參數(shù)優(yōu)化設(shè)計中必然涉及避免不穩(wěn)定性振動的出現(xiàn)。平衡點(diǎn)附近存在的分岔常見的有鞍結(jié)分岔和霍普夫分岔?；羝辗蚍植砭哂休^強(qiáng)條件性，鞍結(jié)分岔則常存在于一般非線性系統(tǒng)中。當(dāng)其出現(xiàn)時，意味著系統(tǒng)發(fā)生突跳，嚴(yán)重削弱非線性吸振器的振動抑制能力。利用穩(wěn)定性對吸振器參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化是一種新思路。在文獻(xiàn)[39]中，采用穩(wěn)定性分析方法實現(xiàn)了吸振器參數(shù)優(yōu)化,突跳等非線性現(xiàn)象得到避免，主系統(tǒng)振動得到有效抑制。參數(shù)優(yōu)化后的主系統(tǒng)頻響必然為單值，換言之，非線性吸振器的最優(yōu)參數(shù)必然存在于使得主系統(tǒng)響應(yīng)為單值的取值區(qū)間內(nèi)。而界定響應(yīng)單值或多值臨界條件為突跳，也稱鞍結(jié)分岔。因此，對鞍結(jié)分岔的分析有助于實現(xiàn)非線性吸振器參數(shù)優(yōu)化。

4.1 鞍結(jié)分岔

本節(jié)主要分析鞍結(jié)分岔存在時參數(shù)間所滿足的函數(shù)關(guān)系以及吸振器參數(shù)對鞍結(jié)分岔分布的影響，為4.2節(jié)參數(shù)優(yōu)化提供依據(jù)。

4.1.1 鞍結(jié)分岔條件

若令s=Y2，式(18)可重寫為

as3+bs2+cs+d=0

(23)

式中：系數(shù)a、b、c和d的表達(dá)式見附錄B。對式(23)關(guān)于s微分，有

3as2+2bs+c=0

(24)

結(jié)合式(23)和式(24), 消去s, 可得到

27a2d2+4b3d+4c3a-18abcd-b2c2=0

(25)

式(25)即為鞍結(jié)分岔存在時吸振器參數(shù)間所需滿足的函數(shù)關(guān)系。系統(tǒng)非線性大小為鞍結(jié)分岔存在的關(guān)鍵參數(shù)。因此，以系統(tǒng)非線性κ為參數(shù)進(jìn)行穩(wěn)定性分析將最為適當(dāng)。

(26)

式中：

對式(26)進(jìn)行求解，可得到

(27)

式中：

圖8 鞍結(jié)分岔存在時的參數(shù)平面(κ, λ)Fig.8 Parametric plane (κ, λ) in presence of saddle-node bifurcation

圖8為鞍結(jié)分岔存在時的(κ,λ)參數(shù)平面，其中，μ、ω0及ζ等參數(shù)固定。圖8(a)為全局分布，圖中曲線表示鞍結(jié)分岔出現(xiàn)時對應(yīng)的非線性值κ及頻率比λ。曲線將參數(shù)平面分成2個區(qū)域：1—三解區(qū)域；2—單解區(qū)域。κ正負(fù)分別與硬彈簧剛度特性和軟彈簧剛度特性對應(yīng)。從圖8(a)中可以看出，剛度表現(xiàn)為硬彈簧特性和軟彈簧特性時曲線分布具有較好的相似性。圖8(b)為κ<0時的參數(shù)平面(κ,λ)。不連續(xù)分布曲線可分為左右2個獨(dú)立分支。右側(cè)分支位于主系統(tǒng)共振頻率附近，而左側(cè)分支遠(yuǎn)離共振頻率，分別對應(yīng)頻響曲線中左右2個共振區(qū)。為分析非線性取不同值時的系統(tǒng)響應(yīng)特征，將非線性分為Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ這4個區(qū)間，其中Ⅰ和Ⅲ區(qū)間對應(yīng)單值響應(yīng)，Ⅱ和Ⅳ區(qū)間則為多值響應(yīng)。從響應(yīng)優(yōu)化角度看，對Ⅰ和Ⅲ的區(qū)間分析將作為研究重點(diǎn)，將在4.2節(jié)進(jìn)行詳細(xì)分析。

4.1.2 參數(shù)影響

當(dāng)系統(tǒng)響應(yīng)發(fā)生突跳時，系統(tǒng)非線性κ必將處于Ⅱ或Ⅳ區(qū)間。若調(diào)整吸振器中某參數(shù)，使得(κ,λ)平面中不同區(qū)間臨界非線性值改變，從而系統(tǒng)非線性κ小于參數(shù)改變后進(jìn)入Ⅱ或Ⅳ區(qū)間的臨界非線性值，進(jìn)而使得系統(tǒng)非線性κ處于Ⅰ或Ⅲ區(qū)間內(nèi)，突跳得以避免，從而達(dá)到優(yōu)化參數(shù)目的。因此可認(rèn)為阻尼、質(zhì)量比等在優(yōu)化中的作用為影響(κ,λ)平面上不同區(qū)間非線性臨界值的增大或減小。

圖9為阻尼對參數(shù)平面(κ,λ)的影響。隨阻尼增大，各區(qū)間臨界非線性值迅速增大。當(dāng)阻尼增大到一定程度時，右側(cè)分支消失，意味著在較大非線性κ取值范圍內(nèi)主系統(tǒng)共振頻率附近內(nèi)不存在突跳。隨阻尼增大，曲線所包含區(qū)域迅速減小，表明多值振動存在區(qū)域不斷減小，系統(tǒng)振動穩(wěn)定性得到增強(qiáng)。因此，適當(dāng)增大阻尼可在保證系統(tǒng)避免突跳的同時，提高系統(tǒng)振動穩(wěn)定性。

圖9 阻尼對參數(shù)平面(κ, λ)的影響Fig.9 Effect of damping on parametric plane (κ, λ)

圖10 調(diào)頻比ω0對參數(shù)平面(κ, λ)的影響Fig.10 Effect of tuning ratio ω0 on parametric plane (κ, λ)

圖10為調(diào)頻比ω0對參數(shù)平面(κ,λ)的影響。適當(dāng)增大調(diào)頻比ω0，曲線左側(cè)分支下降而右側(cè)分支抬高，增大進(jìn)入Ⅱ區(qū)間的臨界非線性值，意味著突跳發(fā)生閾值得以提高。但不幸的是，調(diào)頻比ω0超過一定值后，曲線左側(cè)分支下降超過低于右側(cè)分支最小非線性值，反而減小系統(tǒng)不發(fā)生突跳所能允許的非線性κ取值區(qū)間。值得注意的是，曲線包含區(qū)域范圍隨調(diào)頻比ω0增大而在迅速擴(kuò)大。因此，調(diào)頻比ω0僅在一定范圍內(nèi)增大對避免突跳是有利的。質(zhì)量比μ對參數(shù)平面(κ,λ)的影響與調(diào)頻比ω0類似，在此不予贅述。

4.2 參數(shù)優(yōu)化算法

本節(jié)結(jié)合4.1節(jié)中的穩(wěn)定性分析，通過簡單迭代獲得提出吸振器的最優(yōu)參數(shù)。

4.2.1 迭代優(yōu)化算法原理

結(jié)合圖8(b), 取各區(qū)間非線性值，得到圖11對應(yīng)的響應(yīng)曲線, 1、2、3、4與Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ區(qū)間一一對應(yīng)。從圖11中結(jié)果看，系統(tǒng)非線性κ不大于Ⅰ和Ⅱ區(qū)間臨界非線性值為參數(shù)優(yōu)化必需條件。結(jié)合式(27)，可得到Ⅰ和Ⅱ區(qū)間的臨界非線性值κcr為

κcr=μg(ω0,ξ,μ)min

(28)

從而避免突跳的有效非線性值為

κava=ηκcr

(29)

式中：η∈[0,1]被稱為有效系數(shù)。 第2節(jié)系統(tǒng)方程無量綱化過程中，系統(tǒng)非線性κ被定義為

(30)

若欲使系統(tǒng)振動得到有效控制，需使系統(tǒng)非線性κ等于有效非線性值κava。結(jié)合式(28)～式(30), 可得到吸振器非線性剛度系數(shù)滿足

圖11 非線性取值位于不同區(qū)間時對應(yīng)的頻響曲線Fig.11 Corresponding frequency response curves for nonlinear values in different regions

(31)

進(jìn)一步結(jié)合式(5), 環(huán)形永磁體6和環(huán)形永磁體4、13間避免突跳的有效間距為

(32)

式中：lcr為臨界磁間距。當(dāng)磁間距l(xiāng)處于有效范圍內(nèi)時，系統(tǒng)響應(yīng)不發(fā)生突跳，系統(tǒng)將表現(xiàn)出類線性系統(tǒng)行為。因此，基于上述分析，結(jié)合線性吸振器設(shè)計準(zhǔn)則，將得到獲取最優(yōu)參數(shù)的簡單迭代算法。

在線性吸振器設(shè)計中，最優(yōu)調(diào)頻比為[40]

(33)

對于杜芬振子，其共振頻率隨振幅發(fā)生偏移，骨架線由文獻(xiàn)[41]給出為

(34)

以線性吸振器設(shè)計中的最優(yōu)調(diào)頻比作為最優(yōu)調(diào)頻比，即

(35)

結(jié)合式(34)和式(35), 有

(36)

參數(shù)尋優(yōu)迭代算法步驟為：

1) 設(shè)定迭代初值ω0，結(jié)合式(31)和式(32)求取非線性剛度系數(shù)以及有效磁間距l(xiāng)。

2) 結(jié)合頻響方程式(18), 尋找頻響曲線最大振幅Ymax。

3) 結(jié)合式(36)及步驟1)和步驟2)中獲得的參數(shù)，更新ω0。

4) 反復(fù)重復(fù)步驟1)～步驟3)，當(dāng)先后2次獲得的ω0誤差不大于設(shè)定值，輸出ω0與l。

輸出值ω0與l即最優(yōu)值。

4.2.2 參數(shù)優(yōu)化結(jié)果分析

圖12為迭代算法獲得最優(yōu)調(diào)頻比ω0,opt與最優(yōu)磁間距l(xiāng)opt的過程。取任意初始調(diào)頻比ω0，經(jīng)過有限步迭代后，調(diào)頻比ω0與磁間距l(xiāng)迅速收斂于最優(yōu)值。在上述迭代中，有效系數(shù)η和阻尼c均已知。圖13和圖14分別為有效系數(shù)η和阻尼c對最優(yōu)調(diào)頻比ω0,opt與最優(yōu)磁間距l(xiāng)opt取值及系統(tǒng)響應(yīng)影響。如圖13(a)和圖13(b)所示, 當(dāng)增大有效系數(shù)η時，最優(yōu)磁間距l(xiāng)opt不斷減小，最優(yōu)調(diào)頻比ω0,opt則增大，但有效系數(shù)η變化時獲取的最優(yōu)參數(shù)值所對應(yīng)的系統(tǒng)頻響變化卻不大(見圖14(a))。當(dāng)有效系數(shù)η固定時，隨阻尼c增大，最優(yōu)磁間距l(xiāng)opt和最優(yōu)調(diào)頻比ω0,opt的變化規(guī)律與有效系數(shù)η影響類似，對系統(tǒng)響應(yīng)影響也類似于有效系數(shù)η(見圖14(b))。因此，有效系數(shù)η和阻尼c的取值在吸振器設(shè)計中非主要優(yōu)化參數(shù)。在實際設(shè)計中，根據(jù)實際阻尼值c，任取有效系數(shù)η<1，通過簡單迭代得到最優(yōu)磁間距l(xiāng)opt和最優(yōu)調(diào)頻比ω0,opt，可使得主系統(tǒng)振動在共振頻率附近較寬頻帶范圍內(nèi)得到有效抑制。提出吸振器的另一優(yōu)勢——魯棒穩(wěn)定性，將在第5節(jié)說明。

圖12 任意初值ω0下的迭代尋優(yōu)過程Fig.12 Procedure of optimization with iteration for arbitrary initial ω0

圖13 c和η對最優(yōu)參數(shù)值的影響Fig.13 Effect of c and η on optimal parameters

圖14 不同η和 c所取得最優(yōu)參數(shù)值對應(yīng)的頻響曲線Fig.14 Frequency-response curves of optimal parameters with different η and c

5 魯棒性穩(wěn)定性

吸振器在實際應(yīng)用于航天設(shè)備的振動控制時，往往存在大量不確定因素，如結(jié)構(gòu)加工裝配誤差、機(jī)械磨損等造成剛度、阻尼偏移及航天器等復(fù)雜工作環(huán)境中的干擾源強(qiáng)度等。這些不確定參數(shù)對在確定參數(shù)下設(shè)計的吸振器振動抑制性能影響較大。這些不確定因素的變化對吸振器的振動抑制性能有效發(fā)揮的影響程度，換言之，吸振器對不確定因素的抵抗能力的研究，將顯得尤為重要。吸振器對這種不確定因素變化引起振動抑制性能衰減的抵抗能力稱為魯棒穩(wěn)定性。圖15為使用本文所提出的吸振器與線性吸振器時調(diào)頻比ω0、阻尼c以及干擾幅值F在一定范圍變化時主系統(tǒng)最大位移的對比結(jié)果。主系統(tǒng)位移越小，則表示魯棒穩(wěn)定性越好。圖15(a)、圖15(b)和圖15(c)的對比結(jié)果可證明，提出吸振器在魯棒性穩(wěn)定性方面比線性吸振器更具優(yōu)勢，使得所提出的吸振器在實際振動控制中往往具有更優(yōu)越的效果。

圖15 本文所提吸振器的魯棒穩(wěn)定性Fig.15 Robustness of proposed absorber

6 結(jié) 論

1) 新型吸振器具有的磁性剛度對磁間距敏感，可通過螺紋機(jī)制改變外磁環(huán)與運(yùn)動磁環(huán)相對間距，使所提出的吸振器具有調(diào)諧特性。

2) 將吸振器應(yīng)用于振動控制時，采用平均法推導(dǎo)出系統(tǒng)頻響方程及穩(wěn)定性判據(jù)。為獲得最優(yōu)吸振器參數(shù)并避免傳統(tǒng)非線性吸振器參數(shù)尋求中耗時低效等缺陷，基于穩(wěn)定性分析，通過簡單迭代算法，快速獲取最優(yōu)參數(shù)值。

3) 相比于線性吸振器，新型吸振器優(yōu)越的魯棒穩(wěn)定性，提高其應(yīng)對復(fù)雜工作環(huán)境能力，增強(qiáng)振動抑制效果及可靠性，使所提出的吸振器在低頻/超低頻振動控制領(lǐng)域更具研究價值和應(yīng)用前景。

(A1)

式中：

J11=-2Zλ

(A2)

J13=-(λ2(1+μ)-1)

(A3)

J14=-λ2μ

(A4)

(A5)

J23=-λ2

(A6)

(A7)

J31=λ2(1+μ)-1

(A8)

J32=λ2μ

(A9)

J33=-2Zλ

(A10)

J41=λ2

(A11)

(A12)

(A13)

附錄B

a、b、c、d的具體表達(dá)式為

(B1)

(B2)

4Zζω0λ2+λ4μ]2

(B3)

d=-λ4

(B4)