基于電壓遞推與FFRELS的航空蓄電池模型參數(shù)動(dòng)態(tài)辨識(shí)

(中國飛行試驗(yàn)研究院，西安 710089)

0 引言

目前，英、法、美、德等國家的殲擊機(jī)、直升機(jī)甚至大型飛機(jī)均使用了大量航空蓄電池；在我國航空蓄電池作為機(jī)載電源[1]也已在多型飛機(jī)上使用。然而為了減輕供電系統(tǒng)自身的重量，一些軍用飛機(jī)的應(yīng)急供電系統(tǒng)只采用蓄電池[2]，當(dāng)飛機(jī)進(jìn)入應(yīng)急工作狀態(tài)時(shí)，斷開其他用電設(shè)備，只向機(jī)上關(guān)鍵設(shè)備供電，進(jìn)而確保飛機(jī)安全著陸，因此全面掌握蓄電池的健康狀態(tài)就顯得尤為重要[3]。然而電池模型參數(shù)辨識(shí)是蓄電池特性分析的基礎(chǔ)，也是重難點(diǎn)之一[4]。

當(dāng)航空蓄電池充電和放電時(shí)，內(nèi)部發(fā)生非常復(fù)雜的化學(xué)反應(yīng)，因此其研究模型主要有電化學(xué)模型和等效電路模型兩種。其中電化學(xué)模型主要通過多個(gè)高階微分方程來描述正負(fù)電極之間離子的運(yùn)動(dòng)過程，其精度較高，但模型復(fù)雜，計(jì)算量非常大，僅限于理論研究。等效電路模型通過電阻、電容的組合來描述蓄電池在充放電過程中的非線性特性，其精度稍低，但模型簡單，容易實(shí)時(shí)計(jì)算，因此在實(shí)際中被廣泛應(yīng)用。當(dāng)前常用的模型主要有Rint模型、Thevenin模型和RC模型。Rint模型由理想電壓源和內(nèi)部內(nèi)阻組成，是最簡單的等效電路模型，其只適合于簡單的電路仿真，無法進(jìn)行工程應(yīng)用。Thevenin模型在Rint模型的基礎(chǔ)上考慮了蓄電池內(nèi)部的極化現(xiàn)象，其能夠很好的表現(xiàn)蓄電池的動(dòng)靜態(tài)特性，能夠比較精確的模擬電池的充放電行為，而且結(jié)構(gòu)不是很復(fù)雜，因此在動(dòng)力電池中該模型使用比較廣泛。RC模型兼顧了模型性能與模型結(jié)構(gòu)復(fù)雜度的要求，其精度高而且具有很好的可擴(kuò)展性，因此是航空電池的首選模型。

目前，航空蓄電池模型的參數(shù)識(shí)別主要包括：脈沖實(shí)驗(yàn)法、卡爾曼濾波法及最小二乘法。脈沖實(shí)驗(yàn)方法需要長時(shí)間靜置電池才能再次測量，這不適合在線識(shí)別[5]；卡爾曼濾波法的計(jì)算量過大，影響在線辨識(shí)的實(shí)時(shí)性[6]；最小二乘法由于其計(jì)算量小，辨識(shí)精度高而被廣泛使用[7]。然而隨著數(shù)據(jù)計(jì)算量的增加，最小二乘法很容易出現(xiàn)“數(shù)據(jù)飽和”的問題[8]，因此本文提出了基于遺忘因子擴(kuò)展遞推最小二乘算法對電池的模型參數(shù)進(jìn)行識(shí)別。同時(shí)，開路電壓(open circuit voltage, OCV)是模型中一個(gè)非常重要的參數(shù)，但其通常需要靜置六個(gè)小時(shí)左右才能準(zhǔn)確測量；文獻(xiàn)[9]將開路電壓與模型參數(shù)的非線性表達(dá)式作為一個(gè)新參數(shù)進(jìn)行整體辨識(shí)，但其無法估計(jì)出各個(gè)時(shí)刻的開路電壓，基于此本文提出了電池開路電壓遞推模型，用以估計(jì)電池的開路電壓，實(shí)現(xiàn)電池模型參數(shù)的動(dòng)態(tài)準(zhǔn)確辨識(shí)。最后通過實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了該算法能夠準(zhǔn)確辨識(shí)出模型的參數(shù)。

1 航空蓄電池RC模型

RC模型能夠直觀的表示蓄電池的動(dòng)態(tài)、靜態(tài)特性。然而RC階數(shù)越多，模型的性能越高，但模型的計(jì)算越復(fù)雜。仿真實(shí)驗(yàn)表明，二階RC網(wǎng)絡(luò)以上的模型誤差變化不大，但是模型的復(fù)雜程度卻大大增加[4]。二階RC等效電路如圖1所示。

圖1 二階RC等效電路模型

圖中Voc為蓄電池的開路電壓，電阻Ro為蓄電池的內(nèi)阻，Rs、Cs并聯(lián)組成的網(wǎng)絡(luò)用來表示電池的電化學(xué)極化特性，Rp、Cp并聯(lián)組成的網(wǎng)絡(luò)用來表示電池的濃差極化特性，兩個(gè)RC網(wǎng)絡(luò)的電壓之和為蓄電池的極化電壓。

蓄電池的等效放電電路如圖2所示。圖中RL為負(fù)載電阻，K為放電控制開關(guān)。航空蓄電池實(shí)際放電電壓變化曲線如圖3所示。

圖2 等效放電電路

若開關(guān)K未閉合時(shí)，蓄電池的開路電壓為:

VO=VOC

(1)

開關(guān)K閉合后電池進(jìn)入放電狀態(tài)，則端電壓即為負(fù)載為RL上的電壓：

u(t)=-i(t)RL

(2)

電路中的電流i(t)的表達(dá)式為：

(3)

式中,rs和rp為時(shí)間常數(shù)，其表達(dá)是分別為：

則蓄電池端電壓u(t)的表達(dá)式為：

(4)

當(dāng)t=0-時(shí)，u(t)為開路電壓Voc，t=0+時(shí)，u(t)的值為：

(5)

所以在開關(guān)閉合瞬間，電池的端電壓會(huì)發(fā)生突變，如圖3中AB段所示；隨著t的增大，u(t)逐漸減小，在t<4rs的時(shí)間段內(nèi)，u(t)減小的速度比較快，如圖3中BC段所示，在t>4rs之后，u(t)減小的速度比較慢，如圖3中C點(diǎn)之后所示?？梢姡摱ARC等效電路可以很好的描述航空蓄電池的特性。

圖3 蓄電池實(shí)際放電電壓曲線

2 參數(shù)辨識(shí)

2.1 蓄電池模型參數(shù)辨識(shí)應(yīng)用

在飛行試驗(yàn)中，為了實(shí)現(xiàn)電池特性參數(shù)的安全監(jiān)測，需要識(shí)別模型的參數(shù)，其具體過程如圖3所示。

圖3 航空蓄電池模型參數(shù)辨識(shí)過程

系統(tǒng)首先建立圖1所示的航空蓄電池二階RC模型，然后對蓄電池的端電壓、輸出電流進(jìn)行實(shí)時(shí)采樣，將采樣電壓和電流應(yīng)用于模型參數(shù)辨識(shí)方法，辨識(shí)出模型參數(shù)，通過辨識(shí)出的模型參數(shù)對蓄電池的安全狀態(tài)進(jìn)行估計(jì)。

2.2 最小二乘參數(shù)辨識(shí)基本原理

最小二乘法是一種非常有效的參數(shù)辨識(shí)方法，它不僅簡單而且容易理解，同時(shí)對所要識(shí)別的系統(tǒng)沒有限制，即不論系統(tǒng)是線性的還是非線性的、是動(dòng)態(tài)的還是靜態(tài)的、是連續(xù)的還是離散的都可以應(yīng)用最小二乘法對其進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)。

假設(shè)系統(tǒng)的離散傳遞函數(shù)為：

(6)

則該系統(tǒng)對應(yīng)的差分方程為：

y(k)=-a1y(k-1)-a2y(k-2)-…any(k-n)+

b0x(k)+b1x(k-1)+ …bnx(k-n)+e(k)=

(7)

式中,y(k)，y(k-1)，y(k-2)，…，y(k-n)為系統(tǒng)的輸出；x(k)，x(k-1)，…，x(k-n)為系統(tǒng)的輸入；e(k)為差分方程的誤差。

令：

則式(7)可以改寫成最小二乘的形式：

y(k)=φ(k)Tθ+e(k)

(8)

如果分別測出n+N個(gè)輸入輸出值，則可以得到最小二乘的形式為：

Y=Φθ+e

(9)

式中：

則得到泛函J(θ)為：

(Y-Φθ)T(Y-Φθ)

(10)

最小二乘法估計(jì)要求殘差的平方和最小，因此對該泛函求極值可得：

(11)

對式11)方程求解，可得到該系統(tǒng)的最小二乘估計(jì)值：

(12)

式(12)即為該系統(tǒng)的最小二乘參數(shù)估計(jì)值，可見最小二乘法可以一次性求出所有參數(shù)的估計(jì)值，其優(yōu)點(diǎn)是估計(jì)的精度高，但是算法要求矩陣求逆運(yùn)算，對處理器的空間要求相對較大，且很容易形成病態(tài)的方程式，對于實(shí)際系統(tǒng)來說，通過一次最小二乘辨識(shí)得到的參數(shù)估計(jì)值很難接近真實(shí)值，因此往往需要采用遞推最小二乘法來對參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。然而遞推最小二乘法隨著迭代步數(shù)的增加，舊的數(shù)據(jù)會(huì)越來越多，導(dǎo)致新的數(shù)據(jù)難以被帶入迭代中，為了避免這種情況的發(fā)生，可以引入遺忘因子λ，含遺忘因子的遞推最小二乘法公式為：

(13)

(14)

(15)

式中,λ為遺忘因子，其取值范圍應(yīng)該為0<λ<1，一般取0.95<λ<1，λ越小，算法的跟蹤能力越強(qiáng)，但是同時(shí)，數(shù)據(jù)的波動(dòng)也越大。

2.3 蓄電池模型分析

根據(jù)二階RC等效電路模型的工作原理，結(jié)合Kirchhoff定理，可以建立航空電池模型的狀態(tài)空間方程如下：

(16)

因此模型中需要辨識(shí)的參數(shù)為[RoRsCoRpCpVoc]。

將式(16)經(jīng)過拉普拉斯變換，可得到其輸入輸出函數(shù)為：

(17)

(18)

式中, [a1a2c0c1c2]分別為：

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

根據(jù)式(3)可以得到該系統(tǒng)的差分方程為：

U(k)=-a1U(k-1)-a2U(k-2)+c0I(k)+

c1I(k-1)+c2I(k-2)+

(Voc(k)+a1Voc(k-1)+a2Voc(k-2))

(24)

式中,U(k)為k時(shí)刻蓄電池的端電壓；I(k)為k時(shí)刻蓄電池的輸出電流；Voc(k)為k時(shí)刻蓄電池的開路電壓。

由式(24)可知，只要測得連續(xù)3個(gè)蓄電池的時(shí)刻端電壓、輸出電流和開路電壓即可采用參數(shù)辨識(shí)算法得到式(24)中的系數(shù)，然后根據(jù)式(19)——式(23)可得到蓄電池模型的參數(shù)。

然而，式(24)中Voc為開路電壓，其值并不能被測量，大部分文獻(xiàn)都是通過離線建立OCV-SOC的關(guān)系表，然后根據(jù)當(dāng)前的SOC值，通過查表得到當(dāng)前時(shí)刻的蓄電池開路電壓，然而蓄電池在使用老化過程中OCV-SOC的關(guān)系會(huì)發(fā)生變化，因此隨著蓄電池的老化，這種方法將不再適用，因此本文提出了開路電壓遞推模型，對蓄電池各個(gè)采樣時(shí)刻的開路電壓進(jìn)行辨識(shí)估計(jì)。

2.4 電池開路電壓遞推模型

由于開路電壓受電池的荷電狀態(tài)、溫度、壽命等因素影響，且在采樣時(shí)刻內(nèi)其影響因素可以忽略，因此可將式(24)中所有包含開路電壓的非線性關(guān)系式看做一個(gè)參數(shù)L(k)進(jìn)行整體辨識(shí)[9]，如式(25)所示。

L(k)=Voc(k)+a1Voc(k-1)+a2Voc(k-2)

(25)

因此可形成式(26)所示的系統(tǒng)差分方程：

U(k)=L(k)-a1U(k-1)-a2U(k-2)+

c0I(k)+c1I(k-1)+c2I(k-2)

(26)

對式(26)應(yīng)用FFRELS算法進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)，可以得到[L(k) a1a2c0c1c2]的值，然后將辨識(shí)出的參數(shù)帶入式(27)所示的電壓遞推模型中，可估計(jì)出電池的開路電壓。

Voc(k)=L(k)-a1Voc(k-1)-a2Voc(k-2)

(27)

2.5 蓄電池模型參數(shù)辨識(shí)算法

將式(26)整理為最小二乘的形式，為：

y(k)=Φ(k)Tθ

(28)

式中：

y(k)=U(k)

Φ(k)T=[1,-U(k-1),-U(k-2),I(k),

I(k-1),I(k-2)]

θ=[L(k),a1,a2,c0,c1,c2]

式中，y(k)為最小二乘算法的輸出量，即為蓄電池的端電壓；Φ(k)為最小二乘辨識(shí)過程的輸入，θ為所要辨識(shí)的參數(shù)。

當(dāng)參數(shù)[L(k),a1,a2,c0,c1,c2]辨識(shí)出來之后，根據(jù)式(12)通過遞推可以得到系統(tǒng)的開路電壓Voc。同時(shí)通過對式(4)～(8)求解可以得到。

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

通過對上式進(jìn)行求解可以得到參數(shù)[RoRsCsRpCp]。

針對本文所提出的蓄電池模型，采用參數(shù)辨識(shí)方法的具體步驟如下所示：

Step2、確定輸入數(shù)據(jù)：根據(jù)傳感器采集到的第k時(shí)刻的蓄電池的端電壓和電流，來確定參數(shù)辨識(shí)所需要的數(shù)據(jù)矩陣Φ(k)；

Step3、計(jì)算系數(shù)：根據(jù)式(26)所示的帶遺傳因子的遞推最小二乘公式來計(jì)算出第k時(shí)刻的系數(shù)[L(k),a1,a2,c0,c1,c2]；

Step4、計(jì)算開路電壓：根據(jù)式(27)遞推計(jì)算出第k時(shí)刻的開路電壓；

Step5、根據(jù)參數(shù)計(jì)算公式(29)～(33)，得到第k時(shí)刻的模型參數(shù)[RoRsCsRpCp]；

Step6、獲取第k+1時(shí)刻的數(shù)據(jù)，重復(fù)Step2～Step5來得到第k+1時(shí)刻的模型參數(shù)，依次遞推來實(shí)現(xiàn)電池模型參數(shù)的在線估計(jì)。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

為了驗(yàn)證本文所提出的參數(shù)識(shí)別方法的可靠性和精確性，搭建了圖2所示的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)。實(shí)驗(yàn)選用12V12Ah的風(fēng)帆鉛酸蓄電池，其電池開路電壓Voc=13.1 V，內(nèi)阻Re=0.05 Ω，極化內(nèi)阻Rs=0.035 Ω，極化電容Cs=800 F，極化內(nèi)阻Rp=0.02 Ω，極化電容Cp=10 F。

圖2 實(shí)驗(yàn)平臺(tái)

該平臺(tái)以6A的電流對蓄電池進(jìn)行脈沖放電，采集到的放電過程中蓄電池的電流和端電壓變化曲線如圖3、4所示。

圖3 蓄電池放電電流

圖4 蓄電池放電端電壓

按照3.3節(jié)中的參數(shù)辨識(shí)步驟對模型參數(shù)辨識(shí)，辨識(shí)結(jié)果如表1所示。

表1 仿真模型參數(shù)辨識(shí)結(jié)果

由表1的數(shù)據(jù)可知，所得到的參數(shù)辨識(shí)結(jié)果其誤差都在11%以內(nèi)，可見其辨識(shí)方法精度比較高。

同時(shí)將辨識(shí)出的開路電壓與文獻(xiàn)[9]中采用的方法進(jìn)行對比，結(jié)果如圖5所示。

圖5 開路電壓辨識(shí)結(jié)果

由圖5可知，本文方法辨識(shí)出的開路電壓明顯優(yōu)于文獻(xiàn)[9]的結(jié)果。其兩種方法的估計(jì)誤差如圖6所示，可見本文的誤差小于0.5%，其值明顯小于文獻(xiàn)[9]的誤差。因此本文所提出的參數(shù)辨識(shí)方法能夠很好的對航空蓄電池的模型參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)。

圖6 開路電壓辨識(shí)誤差

可見，本文提出的方法能夠準(zhǔn)確辨識(shí)出二階RC航空蓄電池模型的參數(shù)，辨識(shí)精度高。

4 結(jié)論

分析了二階航空電池模型的輸出特性，提出了具有遺忘因子擴(kuò)展遞推最小二乘法的參數(shù)辨識(shí)算法，該算法繼承了遺忘因子遞推最小二乘法和遞推擴(kuò)展最小二乘法的優(yōu)點(diǎn)，解決了數(shù)據(jù)的飽和問題，能夠?qū)δＰ蛥?shù)進(jìn)行準(zhǔn)確辨識(shí)；同時(shí)采用開路電壓遞推模型對電池的開路電壓進(jìn)行估計(jì)，最后通過實(shí)驗(yàn)表明，該方法能夠準(zhǔn)確地對蓄電池的模型參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)，可實(shí)現(xiàn)蓄電池特性的安全監(jiān)控，可為后續(xù)航空電池的健康狀態(tài)管理提供有力的支持。