談?wù)剬?duì)數(shù)學(xué)思維斷層現(xiàn)象的分析及思考

劉雅蘭

數(shù)學(xué)教育是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教育，也是思維活動(dòng)的教育，保持思維活動(dòng)的連續(xù)性、層進(jìn)性對(duì)于學(xué)生清晰地理解問(wèn)題，把握知識(shí)的核心和本質(zhì)，并且為后續(xù)學(xué)習(xí)掃清障礙，提供支撐都是非常有價(jià)值的。本文從三個(gè)課例談對(duì)思維斷層性分析及策略的思考。

課例一：“乘法的初步認(rèn)識(shí)”。

環(huán)節(jié)一：出示小飛機(jī)圖（圖一），小飛機(jī)里共有多少人？

生（1）：15人。

生（2）：3+3+3+3+3=15。

生（3）：還可以用三五十五。

師：這是什么意思？

生：用乘法來(lái)計(jì)算。

師：乘法？什么情況下用乘法？怎樣用乘法呢？

環(huán)節(jié)二：展開(kāi)圖二（右圖），圖三（下頁(yè)左圖）的教學(xué)，用這樣的思維形式引領(lǐng)學(xué)生的思考。

生：3+3+3+3+3，一共有5個(gè)3，就用5×3來(lái)表示。（教師給予及時(shí)鼓勵(lì)。）

課例二：“5的乘法口訣”。

師：現(xiàn)在已經(jīng)秋季了，小松鼠開(kāi)始準(zhǔn)備過(guò)冬的食物了，看看這一地的松果，你能幫小松鼠數(shù)數(shù)有多少松果嗎？

生說(shuō)可以5個(gè)5個(gè)數(shù)，邊敘述邊圈畫(huà)數(shù)松果的過(guò)程。

師：為了看得清楚，一目了然，老師把這些松果在圈的基礎(chǔ)上擺一擺（擺出主題圖），這樣清楚了嗎？

課例三：“乘加、乘減的教學(xué)”。

教師讓學(xué)生觀察并解決實(shí)際問(wèn)題，要知道圖中圓圈的個(gè)數(shù)，我們?cè)趺崔k？

方法一：10+9。

方法二：4×4+3。

方法三：9×2+1。

方法四：10×2-1。

學(xué)生找到好多方法來(lái)表達(dá)自己的思考，課堂比較活躍。然后老師出示一個(gè)新的與例題相似模式的圖片，讓學(xué)生在獨(dú)立解決問(wèn)題的過(guò)程中夯實(shí)新知。

課例分析：

一、 關(guān)于乘法意義的認(rèn)識(shí)的思維斷層型分析

我們?cè)谡n例一中看到，教材中和教師課堂教學(xué)中所倡導(dǎo)的均是這樣的一個(gè)思維層次，相同加數(shù)的加法——幾個(gè)幾——乘法算式。這樣的教學(xué)中的思維是否是連貫的，是否是清晰的？筆者認(rèn)為不然。

我們思考原來(lái)對(duì)于此部分教學(xué)，非常強(qiáng)調(diào)每份數(shù)與份數(shù)，而且一定把每份數(shù)寫(xiě)在乘法算式中前面的位置，等到學(xué)習(xí)乘法交換律的時(shí)候，再?gòu)?qiáng)調(diào)兩個(gè)乘數(shù)的位置可以互換。后來(lái)教材發(fā)生了變化，根據(jù)一個(gè)加法算式可以寫(xiě)出兩個(gè)乘法算式，不強(qiáng)調(diào)乘數(shù)的位置。現(xiàn)在教材這樣處理，我們認(rèn)為它是把這樣兩個(gè)教學(xué)進(jìn)行合理性整合，沒(méi)有先過(guò)分地強(qiáng)調(diào)位置，然后再?gòu)?qiáng)調(diào)位置可互換。這樣的處理方式，簡(jiǎn)化了教學(xué)過(guò)程，減輕了學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)。但這樣教學(xué)是否會(huì)缺失一些思考呢？筆者認(rèn)為我們的乘法學(xué)習(xí)不僅要讓學(xué)生了解相同的加數(shù)可以用乘法來(lái)計(jì)算，還應(yīng)該對(duì)乘法的結(jié)構(gòu)及意義進(jìn)行深入的思考。如在教學(xué)中，應(yīng)該滲透這里的相同的加數(shù)是3，有5個(gè)這樣的加數(shù)，這樣就形成一種新的思維路徑。

這樣增加一個(gè)思維點(diǎn)的價(jià)值是：

1. 實(shí)現(xiàn)加法算式與乘法算式的溝通。

雖然如上面例子中的加法算式可以寫(xiě)成兩個(gè)乘法算式，但學(xué)生要明白這里相同的加數(shù)是“誰(shuí)”，相同加數(shù)的個(gè)數(shù)是“誰(shuí)”。這樣學(xué)生說(shuō)到“5個(gè)3”的時(shí)候，知道這里的每一份是3，有這樣的5個(gè)3。也就是雖然我們不強(qiáng)調(diào)應(yīng)該把相同的加數(shù)放在乘法算式前面的位置，但是我們要知道誰(shuí)是相同加數(shù)，這樣相同加數(shù)的個(gè)數(shù)有幾個(gè)。其實(shí)這樣一個(gè)過(guò)程就是把以乘法為背景的情境進(jìn)行抽象，讓學(xué)生借助乘法的背景更好地理解乘法的意義，從而為將來(lái)學(xué)生用乘法的意義解決實(shí)際問(wèn)題提供了支撐。

2. 乘法模型的構(gòu)建為結(jié)構(gòu)化的認(rèn)知提供支撐。

乘法學(xué)習(xí)的價(jià)值在于可以借助乘法解決生活中的許多問(wèn)題，比如行程問(wèn)題、植樹(shù)問(wèn)題、工效問(wèn)題、價(jià)格問(wèn)題等。在特定情境中，對(duì)相關(guān)術(shù)語(yǔ)的理解可以依托于乘法基本意義的理解。比如行程問(wèn)題中的速度、時(shí)間和路程。這里的速度既是單位時(shí)間內(nèi)走的長(zhǎng)度，其實(shí)就是每份數(shù)，時(shí)間既是有這樣的幾份，就是份數(shù)。溝通了這樣的聯(lián)系，在乘法的意義的這部分教學(xué)就讓學(xué)生對(duì)于相同加數(shù)及相同加數(shù)的個(gè)數(shù)有了清晰的認(rèn)識(shí)，在今后的教學(xué)時(shí)，就可以借助這樣的模型進(jìn)行教學(xué)，形成結(jié)構(gòu)化的統(tǒng)一體系，便于學(xué)生構(gòu)建新知，形成對(duì)知識(shí)體系的清晰的理解和認(rèn)識(shí)，降低學(xué)習(xí)的復(fù)雜性。

二、 關(guān)于乘法口訣學(xué)習(xí)過(guò)程中思維連續(xù)性的分析

在課例二中教者呈現(xiàn)一個(gè)比較亂的擺放的松果圖，讓學(xué)生思考“我”怎樣能很快地知道一共有多少個(gè)松果。教者這樣做的意圖是什么？這里蘊(yùn)含著什么樣的思考？為什么教者強(qiáng)調(diào)讓學(xué)生圈一圈、畫(huà)一畫(huà)？

1. 在真實(shí)的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中思考。

人教版教材中給的一套福娃（圖四），可以說(shuō)蘊(yùn)含了幾個(gè)5的思考。那為什么教者給的是散亂的松果？筆者覺(jué)得這恰恰是教者還原真實(shí)的現(xiàn)實(shí)。我們?cè)谏钪袛?shù)物體的個(gè)數(shù)的時(shí)候，物體多半處于零散的狀態(tài)。在這種情況下，我們?cè)鯓犹幚砟?？能直接用乘法？恐怕是不能的，這里必須有一個(gè)思維過(guò)程，就是分，而且是等分，實(shí)際上學(xué)生遇到這個(gè)問(wèn)題的時(shí)候往往不是分成10個(gè)一組，因?yàn)檫@樣對(duì)于他們來(lái)說(shuō)每一份比較多。他們往往選擇的是5個(gè)一組，比較好分，也比較好數(shù)。教者創(chuàng)造這樣一個(gè)情境就是還原現(xiàn)實(shí)情境，讓學(xué)生經(jīng)歷畫(huà)一畫(huà)、圈一圈的過(guò)程，感受思維連續(xù)性的發(fā)展過(guò)程，獲得活動(dòng)的良好經(jīng)歷和體驗(yàn)。

尤其這里滲透一個(gè)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的策略就是“尋求同一性”，即如果面對(duì)比較復(fù)雜的問(wèn)題，我們?cè)鯓影驯容^復(fù)雜的數(shù)據(jù)或問(wèn)題變成“單一數(shù)據(jù)”或“單一情境”，通過(guò)簡(jiǎn)化問(wèn)題，最后尋求問(wèn)題的解決，這樣的簡(jiǎn)單的處理是對(duì)學(xué)生思維方式和習(xí)慣的引領(lǐng)。

2. 關(guān)于乘法本質(zhì)的實(shí)踐性認(rèn)識(shí)。

看似簡(jiǎn)單的圈一圈，我們發(fā)現(xiàn)這恰恰是乘法本質(zhì)的實(shí)踐性認(rèn)識(shí)，就是加法與乘法的不同之處是什么?？赡艽蠹艺f(shuō)，加法是加數(shù)不多，而且加數(shù)都不相同；乘法是加數(shù)都相同，或可以創(chuàng)造出相同加數(shù)。其實(shí)，筆者覺(jué)得可以再深入思考下，加法是相同計(jì)數(shù)單位的累積和疊加。如23+35，2個(gè)十與3個(gè)十的疊加，3個(gè)一與5個(gè)一的疊加。乘法是在計(jì)數(shù)單位的基礎(chǔ)上進(jìn)行拓展，可以若干個(gè)“標(biāo)準(zhǔn)”為基數(shù)的累積和疊加，如案例二中，就是5個(gè)為基數(shù)，1個(gè)5，2個(gè)5……若以計(jì)數(shù)單位累積的話(huà)比較容易計(jì)算，如幾個(gè)1就是幾，幾個(gè)十就是幾十。若以非計(jì)數(shù)單位累積和疊加，就非常不好計(jì)算，乘法口訣恰恰為這個(gè)過(guò)程提供了支撐，這也恰恰是乘法口訣學(xué)習(xí)的價(jià)值所在。

看似一個(gè)簡(jiǎn)單的處理，里面濃縮著教者對(duì)課程的理解及教材本質(zhì)的認(rèn)識(shí)和分析。所以，我們也經(jīng)常說(shuō)對(duì)教材的處理要深入淺出，就是對(duì)教材本質(zhì)要有深入的認(rèn)識(shí)，又要在課堂呈現(xiàn)上有一個(gè)簡(jiǎn)單的載體去呈現(xiàn)，使學(xué)生能夠通過(guò)這樣的環(huán)節(jié)對(duì)知識(shí)有深入的認(rèn)識(shí)，從而為后續(xù)的學(xué)習(xí)提供強(qiáng)有力的支撐。

三、 關(guān)于乘法的運(yùn)用過(guò)程中思維軌跡的分析

在課例三中，我們看到教師創(chuàng)設(shè)了一個(gè)情境，讓學(xué)生在情境中運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題，那從提取情境中的數(shù)學(xué)信息到運(yùn)用所學(xué)的乘法知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題的過(guò)程中，我們潛藏的思維路徑是什么呢？在思維的過(guò)程中怎樣把“隱形”的思維顯性化呢？

1. 讓數(shù)形結(jié)合成為顯性化的手段。

借助“數(shù)形結(jié)合”，讓學(xué)生的思考及對(duì)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)清晰化。如在課例三中讓學(xué)生的每一次思考都要有形的助力。

讓學(xué)生動(dòng)手、動(dòng)腦把“形的個(gè)數(shù)”借助“數(shù)”來(lái)抽象表達(dá)，把問(wèn)題的解決，借助“形”來(lái)支撐。讓學(xué)生在形與數(shù)的相互借力中完成對(duì)問(wèn)題的解決，也讓學(xué)生的思維在多種方式的表達(dá)中清晰呈現(xiàn)。

2. 借助語(yǔ)言的描述讓思維清晰化。

在學(xué)習(xí)過(guò)程中讓學(xué)生思維清晰化、條理化的另一個(gè)重要策略就是讓學(xué)生學(xué)會(huì)用語(yǔ)言來(lái)表達(dá)數(shù)學(xué)。我們經(jīng)常會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)現(xiàn)象，就是隨著年齡的增長(zhǎng)，想表達(dá)的學(xué)生越來(lái)越少，更有一個(gè)現(xiàn)象就是當(dāng)我們讓學(xué)生提出問(wèn)題的時(shí)候，學(xué)生多半說(shuō)不清楚、說(shuō)不出來(lái)。

讓學(xué)生用自己的語(yǔ)言來(lái)表達(dá)數(shù)學(xué)是非常有價(jià)值的，我們說(shuō)思維是隱形的，如何讓思維顯性化，那就需要語(yǔ)言作為思維的載體，通過(guò)語(yǔ)言的表達(dá)讓思維過(guò)程彰顯出來(lái)。讓學(xué)生用語(yǔ)言表達(dá)思維的過(guò)程是讓他組織自己的語(yǔ)言，捋順自己的思維，以期通過(guò)有理有據(jù)的表達(dá)讓他人能聽(tīng)清楚，久而久之就會(huì)形成一種有條理的思維習(xí)慣，從而變成一種能力。這種思維的條理性、清晰性、外顯性是學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的綜合體現(xiàn)。

我覺(jué)得讓學(xué)生能說(shuō)、善說(shuō)需要有相應(yīng)的訓(xùn)練。對(duì)學(xué)生的表達(dá)訓(xùn)練需要階段性，敢說(shuō)——想說(shuō)——會(huì)說(shuō)——善說(shuō)。

敢說(shuō)——在學(xué)生最開(kāi)始學(xué)習(xí)的時(shí)候，就讓他能夠安全地去表達(dá)，讓他知道，只要他表達(dá)就會(huì)得到教師的欣賞，為他的敢說(shuō)提供一種生態(tài)氛圍。

想說(shuō)——多利用贊賞的評(píng)價(jià)方式給予及時(shí)的鼓勵(lì)，同時(shí)采用多種方式鼓勵(lì)學(xué)生參與到說(shuō)的過(guò)程中，通過(guò)小組互說(shuō)做好準(zhǔn)備，再到群體中分享，讓他養(yǎng)成先準(zhǔn)備充分，再積極表達(dá)的意識(shí)。

會(huì)說(shuō)——教師的及時(shí)指導(dǎo)對(duì)于學(xué)生正確的表達(dá)非常重要。對(duì)于在發(fā)言過(guò)程中能有自己個(gè)性思考，對(duì)發(fā)言過(guò)程中能夠針對(duì)問(wèn)題集中研究，關(guān)注點(diǎn)清晰準(zhǔn)確的學(xué)生及時(shí)鼓勵(lì)。并對(duì)哪些觀點(diǎn)和方法好給予提煉，給他們一個(gè)正確的導(dǎo)向，讓他們學(xué)會(huì)如何去表達(dá)。

善說(shuō)——教師從學(xué)生說(shuō)的層次、說(shuō)的方法上進(jìn)行指導(dǎo)的同時(shí)，也可以教會(huì)他們?cè)谡f(shuō)的過(guò)程中借助某種方法和策略，比如上面提到的數(shù)形結(jié)合、舉例說(shuō)明等等。

學(xué)生在年紀(jì)小的時(shí)候，就潛移默化地開(kāi)始訓(xùn)練，這樣就可以漸漸形成會(huì)說(shuō)的能力，能清晰表達(dá)“我”想的是什么，“我”什么沒(méi)有弄懂，就不會(huì)進(jìn)行“啞巴式學(xué)習(xí)”，提不出自己的問(wèn)題和觀點(diǎn)，也會(huì)讓教師在他的表述過(guò)程中看到他思維的痕跡，使之成為教育的起點(diǎn)，真正為學(xué)生提供有效教學(xué)的基本素材。

3. 解決問(wèn)題策略的多樣性的共性提煉。

在上面課例中，教師提供學(xué)生學(xué)習(xí)的情境，并讓學(xué)生多樣化的表達(dá)，在這個(gè)多樣化表達(dá)之后，教師經(jīng)常少做一件事，就是共性和個(gè)性的對(duì)比分析。如在上面學(xué)生回答了多種方法之后，教師要引導(dǎo)學(xué)生思考，適時(shí)提出問(wèn)題，這些方法之間有什么聯(lián)系和區(qū)別呢？實(shí)際這里的聯(lián)系就是在情境中尋找相同的每份（如圖五）。如果圖中物品的數(shù)量太多，直接數(shù)比較困難，我們就可以把圖中的物品進(jìn)行分割，分割成若干份，每一份都一樣多問(wèn)題就比較好解決了。分割的過(guò)程就是創(chuàng)造用乘法來(lái)解決問(wèn)題的機(jī)會(huì)。分割后，我們只要數(shù)出有一份是幾，有幾份就可以用乘法來(lái)解決。

在上述方法進(jìn)行對(duì)比后，我們還能發(fā)現(xiàn)在分割的過(guò)程中解決問(wèn)題的共性都是找到每份和份數(shù)，但是不同點(diǎn)就是思考問(wèn)題的方式分成兩大類(lèi)，一個(gè)是“余”，一個(gè)是“補(bǔ)”。在對(duì)比的過(guò)程中學(xué)生對(duì)于解決問(wèn)題的方法就有一個(gè)比較清晰的認(rèn)識(shí)。

這個(gè)比較的過(guò)程，就是結(jié)構(gòu)化認(rèn)知的過(guò)程。學(xué)生在知識(shí)點(diǎn)相互勾連的過(guò)程中，把握知識(shí)的核心和本質(zhì)，讓解決問(wèn)題的方法、策略和經(jīng)驗(yàn)與原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)發(fā)生聯(lián)系，從而變成學(xué)生個(gè)體的經(jīng)驗(yàn)和感悟，從而成為他們的素養(yǎng)和能力。

編輯/魏繼軍