基于對(duì)偶模型的公司最優(yōu)紅利數(shù)值模擬

鄧 麗

（韶關(guān)學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣東 韶關(guān)512005）

隨著金融、保險(xiǎn)、股東制度的盛行，公司的現(xiàn)金流優(yōu)化問(wèn)題也越發(fā)受到重視，即制定最優(yōu)紅利策略使得股東的期望收益值最大.如果公司只考慮股東的最優(yōu)紅利，就會(huì)加速公司破產(chǎn)；如果只考慮破產(chǎn)概率最小，就會(huì)使股東利益受損，挫傷其投資積極性，因此公司最優(yōu)紅利問(wèn)題通常結(jié)合風(fēng)險(xiǎn)模型進(jìn)行討論.1957年De Finetti［1］討論了離散經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型的最優(yōu)紅利策略，從而提出了風(fēng)險(xiǎn)理論的分紅問(wèn)題.目前關(guān)于Barrier 策略［2-3］和 Threshold 策略［4-6］的討論較多，也有學(xué)者討論復(fù)合二項(xiàng)對(duì)偶模型的最優(yōu)分紅［7-8］和隨機(jī)利率下相依索賠的離散風(fēng)險(xiǎn)模型的分紅問(wèn)題［9］.本文討論對(duì)偶模型下公司紅利的最優(yōu)分配方法，運(yùn)用壓縮映射理論和Berman遞歸算法在R軟件中進(jìn)行數(shù)值模擬，得出最優(yōu)的紅利策略是Threshold策略，數(shù)值模擬的結(jié)果說(shuō)明結(jié)合風(fēng)險(xiǎn)模型討論的公司最優(yōu)紅利更有意義.

1 最優(yōu)值函數(shù)

討論紅利問(wèn)題的對(duì)偶模型為：

其中c∈N+表示公司在時(shí)間區(qū)間(t-1,t］內(nèi)的投資，S(t)表示公司直到時(shí)刻t的累積收益.

在考慮隨機(jī)投資的復(fù)合二項(xiàng)模型中，假設(shè)任意(t-1,t］內(nèi)最多有一次收入Xt(i.i.d.)，其概率函數(shù)f(x)=Pr(Xt=x)用εtct=1(或0)表示在(t-1,t］內(nèi)支出為Ct的條件下有一次收入（或沒(méi)有收入），{εtct}(i.i.d.)與{Xt}相互獨(dú)立，滿(mǎn)足：

任意的時(shí)刻t，Θ表示可行的分紅策略Φ的集合，則Φ是關(guān)于盈余x的函數(shù)［7］.與實(shí)際結(jié)合，假設(shè)在t=0時(shí)不考慮分紅，每個(gè)時(shí)刻分紅的上界為.在Φ控制下破產(chǎn)時(shí)刻Γ前全部紅利的期望貼現(xiàn)值為［7］：

其中0

定理1 假設(shè)0

且對(duì)?Φ∈Θ，u∈N，值函數(shù)V(u)最優(yōu)當(dāng)且僅當(dāng)：

記最優(yōu)的 Φ 為 ΦV［7］.

2 Berman遞歸算法

定義1 對(duì)?X,Y∈H，d(X,Y)=‖x(u)-y(u)‖為H(N上的全體有界實(shí)值函數(shù)組成的集合)上的一個(gè)距離，顯然?Φ∈Θ，相應(yīng)的值函數(shù)V(u)∈H，H=(H,d)是一個(gè)Banach空間.定義H上的算子T：則在0

根據(jù)式（4）和式（6），任意給定函數(shù)V(u)的一個(gè)初始值V0(u)，運(yùn)用Berman遞歸算法可由式（7）計(jì)算序列{V1(u),V2(u),…,Vn(u)…}：

由定義1知V*(u)是T的一個(gè)固定點(diǎn)，則，估計(jì)的精度為：

3 數(shù)值模擬

V*(u)的方程中的x取值可趨于無(wú)窮，計(jì)算機(jī)編程計(jì)算有困難，因此，本文考慮V*(u)的近似值.定義2 ?u,n0∈N，則：

由文獻(xiàn)［8］知：

計(jì)算得誤差的上限為：控制n0的值可確定估計(jì)的精度，即可要求d(V1*,V2*)→0.在數(shù)值計(jì)算中，當(dāng)n0足夠大時(shí)(可給定誤差來(lái)確定)，可以用V1*(u)或V2*(u)的值作為V*(u)的近似值.

對(duì)?∈N，根據(jù)定義1給出兩個(gè)滿(mǎn)足壓縮映射的算子T1和T2分別變換V1*(u)和V2*(u)，運(yùn)用不動(dòng)點(diǎn)原理和遞歸算法，在R軟件中就可以編程計(jì)算出V1*(u)或V2*(u)的值，本文給出了V1*(u)和V2*(u)的部分值，并給出相應(yīng)結(jié)論.

例1 假設(shè)單位時(shí)間內(nèi)支出Ct和對(duì)應(yīng)的收入概率Pci的分布列如表1所示，收入均值為μ=17.5，要求=7.

表 1 Ct和 Pci的分布列

（2）假設(shè)收入是泊松分布.

（3）假設(shè)收入是離散的均勻分布U(1,34).

給定誤差（8）、（12）的上限為0.001，貼現(xiàn)因子r=0.96,0.97,0.98.在R軟件中計(jì)算出3種分布下最優(yōu)紅利策略都為門(mén)檻策略，門(mén)檻值分別為：b1=22,26,32；b2=18,21,25；b3=20,23,28.符合分布的特點(diǎn).因?yàn)榫鶆蚍植嫉母怕什皇苁杖氲挠绊?，混合幾何分布的概率隨著收入的增加逐漸減少，而泊松分布在收入均值17.5附近的概率值較大，在相同的模型、收入均值、誤差上限和利率等條件下，混合幾何分布的門(mén)檻值略高于泊松分布，泊松分布的門(mén)檻值又略高于均勻分布.又因?yàn)檫@里收入均值不大，因此它們之間的門(mén)檻值差距也不大，符合實(shí)際.

（1）假設(shè)收入是混合幾何分布，概率函數(shù)如下：

表2 3種分布下V1*和V2*的最優(yōu)分紅策略Φ*(u)

當(dāng)r=0.97時(shí)混合幾何分布V1*(u)和V2*(u)的部分值見(jiàn)表3，可看到V1*(u)和V2*(u)值非常接近，最優(yōu)值函數(shù)V*(u)可通過(guò)V1*(u)或V2*(u)近似，這也說(shuō)明了Berman遞歸算法的可行性.當(dāng)資金較小時(shí)，每增加一單位，最優(yōu)紅利總值增加較明顯，后期增長(zhǎng)幅度逐漸下降，在分紅有上界的限定下，V*(u)是增幅逐漸遞減的遞增函數(shù).也可根據(jù)不同的問(wèn)題設(shè)定合理的誤差上限來(lái)提高精度.

表3 混合幾何分布下V1*(u)和V2*(u)的部分值(r=0.97)

當(dāng)r=0.97時(shí)離散均勻分布下的部分?jǐn)?shù)值見(jiàn)表4.其他條件不變的前提下，當(dāng)u較小時(shí)貼現(xiàn)因子的變動(dòng)對(duì)總紅利影響較顯著，因?yàn)榭傋①Y過(guò)低公司的運(yùn)營(yíng)受外界影響因素波動(dòng)較大，公司的資金大部分投入生產(chǎn)和避風(fēng)險(xiǎn)，分紅量不夠穩(wěn)定，貼合實(shí)際.

表4 均勻分布下的部分值(r=0.97)

4 結(jié)論

對(duì)偶模型是經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型的一個(gè)延伸，本文討論了隨機(jī)投資下對(duì)偶模型的數(shù)值模擬，得出幾種常用的離散分布的最優(yōu)紅利策略為門(mén)檻策略，在均值相同的時(shí)候得出的門(mén)檻值相差不大，與收入分布又有密切的聯(lián)系，說(shuō)明文中模型的可行性.實(shí)際問(wèn)題中可以根據(jù)不同的情況確定收入分布，應(yīng)用到公司的紅利優(yōu)化中.后期的研究還可考慮在公司破產(chǎn)前注資，隨機(jī)利率等馬氏優(yōu)化決策方法.