易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設計的數(shù)學模型

付堯

摘要： 易拉罐作為產品包裝，要盡量符合消費者的審美觀念、做到使用方便、造價最低。將易拉罐的罐身設制成弧度，同時引入了“黃金分割點”這個完美的比例關系，設計出一個符合大眾審美觀念的易拉罐形狀。在此基礎上進行最優(yōu)化設計，即使產品所耗材料最少。在這些必要的假設前提下，建立了最優(yōu)化模型，利用MATLAB軟件對模型進行了求解，得出了易拉罐的尺寸比例。這個設計方案考慮了主要因素的作用，使得易拉罐的設計能夠適用市場，滿足消費者的需求和廠商的經濟利益，具有很好的推廣性。

Abstract： As a product packaging， cans should try to meet the consumers' aesthetic sense， and be easy to use and with the lowest cost. The shape of the cans were designed to radian， and at the same time， the perfect proportion of "golden section" was introduced to design a can shape that was in line with the general aesthetic concept. Based on this， the optimal design is made， that is the product consumes the least material. Based on these necessary assumptions， an optimization model was established and the model was solved using MATLAB software. The size ratio of the cans was obtained. This design plan takes into account the role of major factors， making the design of cans suitable for the market， meeting the needs of consumers and the economic interests of manufacturers， and has a very good promotion.

關鍵詞： 約束極值；拉格朗日乘數(shù)法；非線性方程；黃金分割點

Key words： constraint extremes；Lagrange multiplier method；nonlinear equations；golden section

中圖分類號：G623.5 文獻標識碼：A 文章編號：1006-4311（2018）18-0260-02

0 引言

易拉罐，作為一個產品的包裝，是直接面對消費者的，它的設計是否合理，不僅會對易拉罐的成本造成影響，而且還會影響到消費者對產品的認識及定位，從而會影響到產品的銷量，所以，在易拉罐的設計上，不僅要從經濟成本上來考慮最優(yōu)化的設計原則，而且要從消費者的心理以及人體工程學的角度來考慮，從而滿足了消費者的消費訴求和方便性的使用。同時，還要綜合考慮美學等因素，使易拉罐的實際在追求最優(yōu)設計的同時也做到美學上的最優(yōu)。0.618，這個黃金分割點是經久不衰的完美比例點，所以我們在易拉罐的外形設計上也引入了這個經典的比例。同時，我們也考慮了手握易拉罐的舒適感，所以我們將易拉罐的外形設計成弧線型。

簡圖如圖1。

1 基本假設

①易拉罐的縱截面簡化為如圖2所示，即將上下兩個部分簡化為圓臺進行計算；②易拉罐的容積剛好為355ml；③整個易拉罐所用材料相同；④側面和底面的厚度相同，頂蓋為其的3倍；⑤易拉罐上下圓臺的高度之比為0.382：0.618，符合黃金分割點，為了滿足人們的審美觀；⑥不考慮接口處的耗材。

2 符號說明

①R：頂部和底部的外半徑；②r：中間凹部分的外半徑；③d：側面厚度；④3d頂蓋的厚度；⑤H：總高度；⑥V1：下半部耗材體積；⑦V2：上半部耗材體積；⑧V3：頂蓋耗材體積。

3 模型建立

本模型綜合考慮了易拉罐的造價最低和符合人們的審美觀念兩個重要因素，在保證黃金分割點的前提下，以造價最低為目標函數(shù)，容積為約束條件，建立條件極值模型。

6 模型評價

本模型中所設計的易拉罐形狀很有特色。首先，在高度和半徑的比例中引入了“黃金分割點”，既是科學的比例關系，又符合大眾的審美觀念，使產品能夠吸引消費者的眼光，為產品的銷售提供一個很好的優(yōu)勢。其次，在必要假設的前提下，對易拉罐的造價進行了最優(yōu)化設計，盡量使產品的經濟成本最低，使產品具有成本優(yōu)勢。再次，易拉罐獨特的弧形設計，完美地闡述了曲線的美感，也使消費者使用更加方便舒適，為產品贏得消費者的親睞奠定了情感的基礎。綜合來說，易拉罐整體的設計別具一格，推陳出新，打破了易拉罐圓柱體的傳統(tǒng)設計思想，具有創(chuàng)新性。

但是，易拉罐的設計也有一些缺陷?；《鹊脑O計在增加美感的同時，也增加了制造的難度和工時，也會增加一定的成本。模型建立中忽略了易拉罐罐身所使用的材料的不同造價，可能會與實際的情況有一些出入。

參考文獻：

[1]安泰科，中國全鋁易拉罐行業(yè)現(xiàn)狀與罐料供應http：//www.atk.com.cn/antaike/cn/show/show.php3， 2006年9月15日.

[2]周文國.易拉罐的設計方案[J].中學數(shù)學教學，2002（01）.

[3]侯風波主編.高等數(shù)學[M].高等教育出版社，2003.