多介質(zhì)和多類(lèi)型氣體流量計(jì)數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用

吳富偉，董文潤(rùn)，黃益昌

(1.上海理工大學(xué)光電信息與計(jì)算機(jī)工程學(xué)院，上海 200093；2.天信儀表集團(tuán)有限公司，浙江 溫州 325800)

0 引言

氣體流量計(jì)量是氣體輸送工程中重要的測(cè)量環(huán)節(jié)，它是企業(yè)進(jìn)行貿(mào)易交接、經(jīng)濟(jì)分析以及降低運(yùn)行成本的主要因素，直接影響企業(yè)的經(jīng)濟(jì)效益與用戶利益[1]。氣體流量計(jì)是一種用于計(jì)量氣體體積的裝置，在民用、商業(yè)和工業(yè)場(chǎng)合都得到了廣泛的應(yīng)用。根據(jù)被測(cè)管道氣體的預(yù)期流量范圍、被測(cè)氣體的類(lèi)型以及環(huán)境因素等，需要選用不同類(lèi)型的氣體流量計(jì)。

目前，用于氣體貿(mào)易計(jì)量的流量計(jì)按工作原理分類(lèi)，主要有速度式、容積式和差壓式等類(lèi)型。速度式流量計(jì)包括渦輪、渦街、超聲、旋進(jìn)旋渦等流量計(jì)，容積式流量計(jì)包括腰輪流量計(jì)等，一般具備輸出脈沖信號(hào)與二次裝置(流量顯示儀表)連接；差壓式流量計(jì)或一次裝置，如孔板、V錐、噴嘴和文丘里管等，則不同于上述輸出脈沖信號(hào)的方式，通常是輸出模擬信號(hào)與二次裝置連接。

由于當(dāng)前計(jì)算機(jī)技術(shù)的迅速發(fā)展，流量顯示儀表(下稱(chēng)體積修正儀)所采用的單片機(jī)運(yùn)算能力越來(lái)越強(qiáng)大。根據(jù)目前的技術(shù)現(xiàn)狀，體積修正儀可以同時(shí)實(shí)現(xiàn)多種介質(zhì)、多種輸入信號(hào)(脈沖信號(hào)、模擬信號(hào)等)的運(yùn)算處理，即同一臺(tái)體積修正儀能適用于不同介質(zhì)、不同工作原理的流量裝置。因此，有必要對(duì)多種流量計(jì)的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行研究。

1 脈沖式流量計(jì)數(shù)學(xué)模型

脈沖輸出式流量計(jì)的氣體流速通常與脈沖頻率成正比。按照信號(hào)發(fā)生方式的不同，信號(hào)分為高頻脈沖和低頻脈沖兩種信號(hào)形式。渦輪流量計(jì)通過(guò)計(jì)算轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速來(lái)測(cè)量流量。葉片與氣流速度成正比[2]，渦輪流量計(jì)的高頻脈沖信號(hào)通常取自葉輪或葉輪軸上的光柵盤(pán)，腰輪流量計(jì)的高頻脈沖信號(hào)取自腰輪轉(zhuǎn)子，則操作條件下的瞬時(shí)流量為：

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式中：qv為操作條件下的瞬時(shí)流量，m3/h；f為脈沖頻率，Hz；K為儀表系數(shù)，m-3。

儀表系數(shù)K除了與渦輪導(dǎo)程、葉片數(shù)、葉片寬度和螺旋升角等結(jié)構(gòu)因素有關(guān)外，還與流體黏性、軸承阻尼和潤(rùn)滑油黏度等有關(guān)[3]。低頻脈沖信號(hào)通過(guò)一套機(jī)械傳動(dòng)機(jī)構(gòu)及磁耦合連接件傳送到機(jī)械式計(jì)數(shù)器，操作條件下的瞬時(shí)流量為：

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式中：n為間隔時(shí)間內(nèi)測(cè)得的脈沖數(shù)，無(wú)量綱；tn為n個(gè)脈沖所占用的時(shí)間，s；K為儀表系數(shù)，m-3。

貿(mào)易結(jié)算時(shí)，需要將操作條件下的氣體體積轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下的氣體體積。天然氣在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下的瞬時(shí)流量為：

(3)

式中：qn為標(biāo)準(zhǔn)條件下的瞬時(shí)流量，m3/h；Zn、Z分別為操作和標(biāo)準(zhǔn)條件下的壓縮因子、無(wú)量綱；p、T分別為操作條件下的氣體壓力和溫度，kPa、K；pn、Tn分別為標(biāo)準(zhǔn)條件下的氣體壓力(101.325 kPa)和溫度(293.15 K)。

空氣、氧氣和氮?dú)獾葷駳怏w在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下的瞬時(shí)流量為：

(4)

式中：φ、φn分別為操作和標(biāo)準(zhǔn)條件下的相對(duì)濕度，%；psmax為溫度為T(mén)時(shí)水蒸氣的最大壓力，kPa；pnsmax為溫度為T(mén)n時(shí)水蒸氣的最大壓力，kPa；

2 差壓式流量計(jì)數(shù)學(xué)模型

差壓式流量計(jì)是基于流體流動(dòng)的節(jié)流原理，利用流體流經(jīng)節(jié)流裝置時(shí)產(chǎn)生的上下游壓力差實(shí)現(xiàn)流量測(cè)量的。孔板流量計(jì)的節(jié)流裝置由標(biāo)準(zhǔn)孔板、取壓裝置和上下游直管段組成。標(biāo)準(zhǔn)孔板是一塊由機(jī)械加工形成的圓形穿孔薄板，它的節(jié)流孔圓柱面與孔板上游端面垂直，邊緣尖銳[3-4]。其原理是氣體通過(guò)節(jié)流孔時(shí)產(chǎn)生壓降，通過(guò)測(cè)量壓力差來(lái)計(jì)算氣體流量。由于沒(méi)有運(yùn)動(dòng)部件，標(biāo)準(zhǔn)孔板性能穩(wěn)定可靠且使用期限長(zhǎng)[5]。對(duì)于孔板、噴嘴和文丘里管節(jié)流裝置，氣體在操作條件下的體積流量計(jì)算公式為：

(5)

式中：C為流出系數(shù)，即通過(guò)節(jié)流裝置的實(shí)際流量值與理論流量值的比值，無(wú)量綱；β為節(jié)流孔或喉部的直徑與上游測(cè)量管內(nèi)徑的比值，無(wú)量綱；ε為可膨脹系數(shù)，用于修正當(dāng)氣體通過(guò)節(jié)流件時(shí)密度的變化引起的流量變化，無(wú)量綱；d為節(jié)流孔或喉部直徑，m；Δp為在上下游取壓孔位置上取得的靜壓力之差，Pa；ρ1為操作條件下氣體在上游取壓孔處的密度，kg/m3。

V錐流量計(jì)是基于文丘里管測(cè)量原理，以一個(gè)同軸安裝在測(cè)量管內(nèi)的尖圓錐體作為節(jié)流件的差壓式流量測(cè)量裝置。它將節(jié)流布局從中心孔節(jié)流改為環(huán)狀節(jié)流，在流體流經(jīng)內(nèi)錐體時(shí)會(huì)在其周?chē)纬蛇吔鐚?，并疏?dǎo)流體離開(kāi)錐體尾部邊緣，從而減少節(jié)流件磨損。對(duì)于V錐節(jié)流裝置，氣體在操作條件下的體積流量計(jì)算公式為：

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接下來(lái)分析各種不同類(lèi)型節(jié)流裝置的流出系數(shù)C、可膨脹系數(shù)ε和氣體密度ρ1的求解過(guò)程。C為通過(guò)節(jié)流裝置的實(shí)際流量與理論流量之間的系數(shù)。利用不可壓縮流體對(duì)節(jié)流裝置的校準(zhǔn)結(jié)果表明，在一定的安裝條件下，C僅與雷諾數(shù)有關(guān)[6]。只要節(jié)流裝置幾何相似，在雷諾數(shù)相同的情況下C是相等的。孔板流量計(jì)C的計(jì)算公式為：

(7)

(8)

當(dāng)D<71.12 mm時(shí)，C=C1+C2；當(dāng)D≥71.12 mm時(shí)，C=C1。

式中：ReD為管徑雷諾數(shù)，無(wú)量綱；L1為孔板上游端面到上游取壓孔軸線的距離與測(cè)量管內(nèi)徑的比值，無(wú)量綱；L2為孔板下游端面到下游取壓孔軸線的距離與測(cè)量管內(nèi)徑的比值，無(wú)量綱。

可膨脹系數(shù)是考慮到流體的可壓縮性而使用的系數(shù)，其值取決于壓力比和等熵指數(shù)。將可膨脹系數(shù)應(yīng)用于理論方程，以調(diào)節(jié)氣體在通過(guò)孔板時(shí)密度的減小引起的流量變化[7]?？装辶髁坑?jì)的可膨脹系數(shù)按下式計(jì)算：

(9)

式中：τ為孔板下游氣流與上游氣流絕對(duì)靜壓力的比值，無(wú)量綱；к為等熵指數(shù)，無(wú)量綱。

噴嘴節(jié)流裝置根據(jù)內(nèi)部結(jié)構(gòu)的不同，可分為ISA1932噴嘴、長(zhǎng)徑噴嘴和文丘里噴嘴。噴嘴在管道內(nèi)的部分是圓形的，由圓弧廓形的收縮部分和圓筒形喉部組成[8]。ISA1932噴嘴的流出系數(shù)由下式計(jì)算：

C=0.99-0.226 2β4.1-(0.001 75β2-

(10)

長(zhǎng)徑噴嘴由四分之一橢圓狀收縮入口和圓筒喉部組成，其圓筒喉部比ISA1932噴嘴要長(zhǎng)，長(zhǎng)度為喉部直徑的0.6。其流出系數(shù)計(jì)算式為：

(11)

文丘里噴嘴與以上兩種噴嘴有很大的區(qū)別。它的上游部分結(jié)構(gòu)與ISA1932噴嘴相同，但它增加了一個(gè)擴(kuò)散段，這種結(jié)構(gòu)的壓力損失會(huì)更低。其流出系數(shù)按下式計(jì)算：

C=0.985 8-0.196β4.5

(12)

噴嘴流量計(jì)的可膨脹系數(shù)按下式計(jì)算：

(13)

文丘里管由入口圓筒段、圓錐收縮段、圓筒喉部和圓錐擴(kuò)散段依次連接而成[8-9]，它與V錐流量計(jì)的流出系數(shù)直接由廠家標(biāo)定。V錐流量計(jì)的可膨脹系數(shù)計(jì)算公式為[10]：

(14)

利用干空氣的物質(zhì)的量、干空氣在標(biāo)準(zhǔn)條件下的壓縮因子和天然氣相對(duì)密度，可推導(dǎo)出操作條件下天然氣在上游取壓孔處的密度為：

(15)

式中：p1為操作條件下天然氣在上游取壓孔處的靜壓力，MPa；Gr為天然氣相對(duì)密度，無(wú)量綱。

當(dāng)壓縮因子作為參數(shù)輸入或已知天然氣詳細(xì)組分物質(zhì)的量分?jǐn)?shù)的情況下，天然氣相對(duì)密度由下式計(jì)算：

(16)

式中：xj為天然氣各組分的物質(zhì)的量分?jǐn)?shù)，無(wú)量綱；Gij為天然氣各組分的理想相對(duì)密度，無(wú)量綱。

空氣、氮?dú)夂脱鯕獾葷裥詺怏w的密度應(yīng)該由濕氣體的干氣部分和蒸汽部分相加得到：

(17)

式中：ρn為標(biāo)準(zhǔn)條件下的氣體密度，kg/m3；ρsmax為操作條件下蒸汽的最大密度，kg/m3。

蒸汽根據(jù)狀態(tài)可分為飽和蒸汽和過(guò)熱蒸汽。當(dāng)水分子的蒸發(fā)與凝結(jié)處于動(dòng)平衡狀態(tài)時(shí)，空間中蒸汽分子的密度保持不變，此時(shí)的狀態(tài)稱(chēng)為飽和狀態(tài)。當(dāng)蒸汽達(dá)到飽和狀態(tài)后如果繼續(xù)加熱則溫度會(huì)上升，成為過(guò)熱蒸汽。飽和蒸汽的壓力和溫度呈線性關(guān)系，因此只要測(cè)得溫度或壓力，即可通過(guò)查表得到蒸汽密度；而過(guò)熱蒸汽則同時(shí)需要測(cè)得壓力和溫度，通過(guò)查表獲得蒸汽密度。

天然氣在標(biāo)準(zhǔn)條件下的體積流量可由式(3)計(jì)算得到，氮?dú)?、氧氣等濕氣體在標(biāo)準(zhǔn)條件下的體積流量可由式(4)計(jì)算得到，蒸汽的質(zhì)量流量和熱量流量分別由操作條件下的體積流量乘以蒸汽密度和熱值得到，蒸汽熱值與密度通過(guò)查表得到。

3 數(shù)學(xué)模型的計(jì)算處理

脈沖輸出式流量計(jì)高頻和低頻脈沖信號(hào)的單片機(jī)處理方式略有不同。對(duì)于高頻信號(hào)，只需測(cè)得間隔時(shí)間內(nèi)的脈沖數(shù)即可計(jì)算流量值，而低頻脈沖信號(hào)需要精確測(cè)量間隔時(shí)間內(nèi)測(cè)得的脈沖數(shù)所占用的時(shí)間。因此，利用定時(shí)器計(jì)算32.768 kHz晶振輸出信號(hào)的累計(jì)時(shí)間，使用外部中斷測(cè)量低頻脈沖數(shù)，從而求出流量值。兩個(gè)脈沖信號(hào)的間隔時(shí)間測(cè)量流程如圖1所示。

圖1 間隔時(shí)間測(cè)量流程圖

差壓式流量計(jì)的數(shù)學(xué)模型計(jì)算公式有很多的冪運(yùn)算。這樣的運(yùn)算對(duì)運(yùn)行頻率相對(duì)較低的單片機(jī)來(lái)說(shuō)，運(yùn)算負(fù)荷是相當(dāng)大的。由于在流量計(jì)的計(jì)量現(xiàn)場(chǎng)一般沒(méi)有外電源，體積修正儀的內(nèi)置鋰電池模塊通常需要連續(xù)工作幾年以上，因此需要盡可能快速地完成數(shù)學(xué)模型計(jì)算工作，以進(jìn)入休眠狀態(tài)，從而降低功耗。對(duì)于一些數(shù)學(xué)運(yùn)算，在不影響精度的情況下，可以采用快速的計(jì)算方法。平方根的運(yùn)算可以運(yùn)用牛頓迭代法來(lái)近似求解，算法如下[11]。

float InvSqrt(float x)

{

float xhalf = 0.5f * x;

int i = *(int*)&x;

i = 0x5f375a86 - (i >> 1);

x = *(float*)&i;

x = x * (1.5f - xhalf * x * x);

return x;

}

如需更高的精度，則可以重復(fù)運(yùn)行第7行的牛頓迭代式。運(yùn)算量較大的公式可以根據(jù)變量的取值范圍，預(yù)先建立數(shù)據(jù)表格的方法。使用時(shí)，根據(jù)輸入變量的值查詢表格中的數(shù)據(jù)并進(jìn)行線性插值計(jì)算。在建立數(shù)據(jù)表格時(shí)，需要對(duì)線性插值的計(jì)算值與公式實(shí)際計(jì)算值進(jìn)行誤差比較，適當(dāng)調(diào)整變量步長(zhǎng)以保證計(jì)算精度。

如C只與β和ReD有關(guān)，故可根據(jù)β和ReD的取值范圍建立數(shù)據(jù)表格，需要時(shí)再通過(guò)查詢值進(jìn)行精確插值計(jì)算。線性插值計(jì)算圖如圖2所示。

圖2 線性插值計(jì)算圖

為了計(jì)算C，需要先查詢表格中相鄰四點(diǎn)的流出系數(shù)值C1、C2、C3和C4，再利用線性插值計(jì)算C：

(18)

查表計(jì)算流程如圖3所示。

圖3 查表計(jì)算流程圖

4 結(jié)束語(yǔ)

本文通過(guò)對(duì)不同工作原理的流量計(jì)用于多種介質(zhì)的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分析及研究，使同一臺(tái)體積修正儀能與不同工作原理流量計(jì)配套使用。速度式、容積式和差壓式使用同一臺(tái)體積修正儀，并實(shí)現(xiàn)了多種介質(zhì)的準(zhǔn)確測(cè)量。體積修正儀實(shí)現(xiàn)了通用氣體流量計(jì)量的功能。