碼垛機(jī)器人修正正弦函數(shù)插值的軌跡規(guī)劃

喬 木，于天彪，李 明，王 博

（東北大學(xué) 機(jī)械工程與自動化學(xué)院，遼寧 沈陽 110819）

1 引言

廣泛應(yīng)用于醫(yī)藥包裝生產(chǎn)線的碼垛機(jī)器人是提升整個醫(yī)療行業(yè)自動化水平的關(guān)鍵裝備，能夠完美地實現(xiàn)重載、快速、準(zhǔn)確和連續(xù)的作業(yè)要求[1]。隨著醫(yī)療行業(yè)的高速發(fā)展和生產(chǎn)規(guī)模的擴(kuò)大，對碼垛機(jī)器人的工作速度提出了更高的要求[2]。因為碼垛機(jī)器人在堆垛過程中需要頻繁的啟停和變速，這對碼垛機(jī)器人本體和電機(jī)會造成較大振動和磨損，所以為了保證碼垛機(jī)器人能夠快速平穩(wěn)的作業(yè)，軌跡規(guī)劃過程就顯得尤為重要。

軌跡規(guī)劃是根據(jù)具體的任務(wù)要求設(shè)計機(jī)器人的各個關(guān)節(jié)位移、速度、加速度以及急動度隨時間t的變化曲線[3]，是碼垛機(jī)器人控制的前提和基礎(chǔ)，其運動性能對碼垛機(jī)器人的工效、能耗和使用壽命[4]具有重要意義，因此對軌跡規(guī)劃的研究一直是碼垛機(jī)器人領(lǐng)域的熱點之一[5]。文獻(xiàn)[6]考慮動態(tài)約束求解時間最優(yōu)軌跡，但加速度曲線不連續(xù)，伴有柔性沖擊。文獻(xiàn)[7-8]采用三次樣條曲線規(guī)劃時間最優(yōu)軌跡，只能確保速度、加速度連續(xù)，無法保證急動度的連續(xù)。國內(nèi)學(xué)者田西勇在組合函數(shù)曲線方面亦做出突出貢獻(xiàn)。

在實際生產(chǎn)中，主要采用多項式函數(shù)和正余弦函數(shù)進(jìn)行規(guī)劃，但是隨著工作要求的不斷提高，單一曲線已經(jīng)無法滿足要求[9]。通過三段修正正弦函數(shù)曲線在關(guān)節(jié)空間對碼垛機(jī)器人進(jìn)行軌跡規(guī)劃，并利用遺傳算法對修正參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，結(jié)果表明該方法能夠有效提高碼垛機(jī)器人的運動平穩(wěn)性。

2 軌跡規(guī)劃優(yōu)良曲線特性分析與選取

醫(yī)藥碼垛機(jī)器人的特點是空間四自由度串聯(lián)關(guān)節(jié)型機(jī)器人，具有雙平行四邊形結(jié)構(gòu)，完成對藥箱從輸送帶到貨架的簡單搬運，而藥箱姿態(tài)不發(fā)生變化。碼垛機(jī)器人的三維實體模型，如圖1所示。

圖1 碼垛機(jī)器人實體模型Fig.1 The Entity Model of Palletizing Robot

本研究是建立在位移函數(shù)、速度函數(shù)和加速度函數(shù)連續(xù)的基礎(chǔ)上，以加速度函數(shù)為切入點，選取運動性能最優(yōu)的加速度函數(shù)曲線。碼垛機(jī)器人的關(guān)節(jié)變量在工作時間t=0時為θI，t=T時為θF，為了保證碼垛機(jī)器人運動的平滑性，應(yīng)該滿足如下表所示初始條件：

設(shè)碼垛機(jī)器人關(guān)節(jié)軌跡的插值函數(shù)為s（τ），則有0≤s（τ）≤1，0≤τ≤1，τ=

根據(jù)式可以得到加速度函數(shù)為正弦函數(shù)的位移、速度、加速度和急動度的方程為：

根據(jù)式得到加速度函數(shù)為余弦函數(shù)的位移、速度、加速度和急動度的方程為：

根據(jù)式得到加速度函數(shù)為線性函數(shù)的位移、速度、加速度和

根據(jù)式得到加速度函數(shù)為三次多項式的位移、速度、加速度

在碼垛機(jī)器人運動過程中，位移如果產(chǎn)生突變，除不能完成既定任務(wù)外，工作空間會受到極大影響；速度如果產(chǎn)生突變，理論上加速度會無窮大，慣性力無窮大，產(chǎn)生剛性沖擊；加速度如果發(fā)生突變，亦會產(chǎn)生較大有限慣性力；急動度如果發(fā)生突變，會使機(jī)器人系統(tǒng)產(chǎn)生殘余振動。上述四種情形均會使碼垛機(jī)器人的運行性能變差，壽命降低，應(yīng)力求避免發(fā)生，同時還應(yīng)降低最大速度、最大加速度以及最大急動度的峰值。為了能夠直觀的對這四種函數(shù)曲線的各項運動性能進(jìn)行對比以及選出運動性能相對優(yōu)良的函數(shù)曲線，如圖2所示。為了進(jìn)一步降低碼垛機(jī)器人在運行過程中的最大速度和最大加速度的峰值，將加速度函數(shù)為正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、線性函數(shù)和三次多項式函數(shù)放在同一個圖中進(jìn)行比較，其中正弦函數(shù)和余弦函數(shù)圖像是重合的。從圖2（a）可以得出，4條曲線都是連續(xù)平緩的，沒有突變發(fā)生；從圖2（b）中可以得出，只有線性函數(shù)在行程的終止位置存在突變，有較大剛性沖擊，從速度的峰值考慮線性函數(shù)的速度峰值最大，其次是正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和三次多項式函數(shù)，三者速度峰值差別不大；從圖2（c）中可以得出，線性函數(shù)在行程終止位置發(fā)生突變，伴有柔性沖擊，從加速度峰值的角度考慮線性函數(shù)最大，其次是正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和三次多項式函數(shù)，三者加速度峰值很接近；從圖2（d）中可以得出，4條曲線均存在突變，其中線性函數(shù)急動度峰值最小，其次是正弦函數(shù)和余弦函數(shù)，最大為三次多項式函數(shù)，較其余三條曲線峰值大很多。因此綜合考慮軌跡規(guī)劃曲線的各項特征指標(biāo)，選擇正弦函數(shù)或者余弦函數(shù)作為優(yōu)良曲線，文中將針對正弦函數(shù)進(jìn)行深入研究。

圖2 四條函數(shù)曲線的性能比較圖Fig.2 Performance Comparison of Four Function Curves Diagram

3 三段修正正弦函數(shù)法的軌跡規(guī)劃

由三條部分正弦曲線S1、S2和S3的組合而成，其中S1和S3是周期的正弦曲線，而S2是周期的正弦曲線，如圖3所示。該修正函數(shù)周期設(shè)為1，則S1、S3的周期為T1=T3=4/a，S2的周期為T2=2-4/a，頻率 ω1=ω3=aπ/2，ω2=aπ（/a-1）。考慮到修正的目的，修正參數(shù)a應(yīng)該滿足∈（0，），即 a∈（2，+∞）。

圖3 三段修正正弦函數(shù)曲線圖Fig.3 Three Stage Modified Sine Function Curve Diagram

設(shè)第一段部分正弦曲線S1方程為：經(jīng)推理第二段部分正弦曲線S2可以由正弦曲線S1先伸長倍，再向左平移得到，因此可以設(shè)正弦曲線S2的方程為：

經(jīng)推理第三段部分正弦曲線S3可以由正弦曲線S1向右平移得到，因此設(shè)正弦曲線S的方程為：3

為了保證修正正弦曲線的連續(xù)性，在兩條曲線的交點處應(yīng)保持?jǐn)?shù)值相等，同時還要滿足初始條件，則有：

由公式計算可以得到修正正弦函數(shù)加速度曲線方程為：

由公式計算可以得到修正正弦函數(shù)速度曲線方程為：

由公式計算可以得到修正正弦函數(shù)位移曲線方程為：由公式計算可以得到修正正弦函數(shù)急動度曲線方程為：

4 基于遺傳算法的多目標(biāo)優(yōu)化

4.1 目標(biāo)函數(shù)的確定

為了解決多目標(biāo)優(yōu)化問題，本優(yōu)化采用統(tǒng)一目標(biāo)函數(shù)法中的目標(biāo)規(guī)劃法把多目標(biāo)優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)優(yōu)化問題。目標(biāo)規(guī)劃法是一種相對較簡潔的構(gòu)造統(tǒng)一目標(biāo)函數(shù)的方法，首先確定各目標(biāo)函數(shù)在最優(yōu)解時的最優(yōu)函數(shù)值，然后再根據(jù)多目標(biāo)問題的總體要求對這些最優(yōu)值做出相應(yīng)調(diào)整，最后確定各個目標(biāo)的最優(yōu)值fj（j=0，1，2，…，n），因此所構(gòu)造的統(tǒng)一目標(biāo)函數(shù)為：

在本優(yōu)化模型中，當(dāng)a趨近無窮大時，最大加速度取得最小值，即；當(dāng)a趨近無窮大時，最大速度取得最小值，即f2=經(jīng)過計算，當(dāng)a=4時，最大急動度取得最小值，即f3=4π2，因此統(tǒng)一量綱之后的目標(biāo)函數(shù)可以表示為：

其中，修正參數(shù)a∈（2，+∞）。

4.2 遺傳算法工具箱的參數(shù)設(shè)置

（1）對適應(yīng)度函數(shù)進(jìn)行編程，命名為my_fit；（2）設(shè)置算法參數(shù)，設(shè)置 Solver為ga-GeneticAlgorithm，F(xiàn)itnessfunction為@my_fit，Number of variable為1，為防止算法陷入局部解并有較高的運算速度，設(shè)置Populationsize為 50，CrossoverFraction 為0.85，Migration Fraction 為 0.2[10]；（3）選取需要繪制的圖像如 Generation，Bestindividual等。

4.3 優(yōu)化結(jié)果分析

經(jīng)Matlab遺傳算法工具箱的優(yōu)化運算，返回的最佳修正參數(shù)和目標(biāo)函數(shù)值為：Best a=4.735，Best Fval=0.1164，經(jīng)過57代的遺傳運算得到的優(yōu)化結(jié)果圖，如圖4所示。將通過Matlab遺傳算法工具箱得到的最優(yōu)修正參數(shù)a=4.735分別帶入到公式中，比較三段修正正弦加速曲線與普通正弦加速曲線的位移曲線、速度曲線、加速度曲線和急動度曲線的運動性能。

圖4 遺傳算法優(yōu)化效果圖Fig.4 Effect of Genetic Algorithm Optimization Diagram

圖5 修正正弦函數(shù)和正弦函數(shù)性能對比圖Fig.5 Comparison of the Performance of Modified Sine Function and Sine Function Diagram

從5（a）中可以看出，加速正弦函數(shù)曲線修正后較修正前，位移變化的更光滑平緩，修正前后的位移均未出現(xiàn)突變；從5（b）中可以看出，修正后的正弦加速曲線的速度與修正前同時達(dá)到峰值，但修正后的峰值明顯降低，能有效提高碼垛機(jī)器人的運動性能；從中5（c）可以看出，修正后的正弦加速曲線的加速度較修正前提前達(dá)到峰值，而且修正后的加速度峰值略有降低，提高了碼垛機(jī)器人的動態(tài)性能；從5（d）中可以看出，在行程的始末位置正弦加速曲線修正前后均出現(xiàn)較大的突變，但是文中涉及的碼垛機(jī)器人是輕量中速的，主要對速度和加速度要求較高，急動度的影響相對較小。表1清楚明了的顯示了三段修正正弦法的修正效果。從表中容易看出，三段修正正弦函數(shù)曲線較正弦函數(shù)曲線的速度峰值降低了4.09%，加速度峰值亦降低了4.09%，但急動度峰值升高了12.002%。急動度表示加速度的變化快慢，在高速重載工況下，如果碼垛機(jī)器人的急動度較大且在運行過程中存在頻繁的啟停和變化，會導(dǎo)致相應(yīng)零件發(fā)生磨損和振動，甚至可能引起頻跳造成受力不均勻、沖擊過大和疲勞斷裂等問題，所以三段修正正弦法適用于輕載中速的工況，在高速重載的工況下，應(yīng)該注意適當(dāng)降低急動度峰值。

表1 正弦加速曲線修正前后的性能比較表Tab.1 Comparison of the Performance Before and After the Correction of the Sine Acceleration Curve

5 結(jié)論

（1）通過比較加速度函數(shù)為線性函數(shù)、三次多項式函數(shù)、正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的特性曲線，發(fā)現(xiàn)正弦函數(shù)的綜合運動性能最佳，既無剛性沖擊也無柔性沖擊，而且不存在位置突變。（2）提出了一種三段修正正弦函數(shù)的軌跡規(guī)劃算法，在關(guān)節(jié)空間對碼垛機(jī)器人的運動軌跡進(jìn)行規(guī)劃，然后利用遺傳算法工具箱以速度峰值、加速度峰值和急動度峰值為目標(biāo)進(jìn)行多目標(biāo)參數(shù)優(yōu)化，得到最佳的修正參數(shù)。結(jié)果表明，三段修正正弦函數(shù)曲線的速度峰值降低了4.09%，加速度峰值亦降低了4.09%，提高了碼垛機(jī)器人的運動平穩(wěn)性和運動精度、減少了振動和沖擊，延長了碼垛機(jī)器人的使用壽命。