基于拋物線形溫度場(chǎng)的凍結(jié)壁粘彈性分析

王 彬，榮傳新，施 鑫

(安徽理工大學(xué)土木建筑學(xué)院，安徽 淮南 232001)

人工地層凍結(jié)法施工已經(jīng)在煤礦鑿井中得到了廣泛的運(yùn)用，隨著凍結(jié)深度的增加，凍結(jié)壁的穩(wěn)定性問題已經(jīng)成為當(dāng)前凍結(jié)壁研究的關(guān)鍵性問題之一[1-3]。凍結(jié)壁作為一種臨時(shí)支護(hù)結(jié)構(gòu)，具有典型的流變特性[4]61，特別是在其內(nèi)部土體卸載之后，井壁完成施工之前，凍結(jié)壁的承載力與井幫的位移會(huì)發(fā)生一定的變化[5]，對(duì)該變化過程進(jìn)行研究有很大的工程意義。

目前在被凍土體以及凍結(jié)壁的流變特性的研究領(lǐng)域，涌現(xiàn)出了大量的研究成果。文獻(xiàn)[6]分析了凍土的三軸蠕變規(guī)律以及溫度和圍壓對(duì)凍土蠕變強(qiáng)度的影響，并給出了蠕變以及蠕變的方程式；文獻(xiàn)[7]對(duì)我國(guó)凍結(jié)粘土的大量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行了分析，建立了相應(yīng)的人工凍結(jié)粘土蠕變的數(shù)學(xué)模型，并分析給出了典型的蠕變參數(shù)，為后續(xù)的研究工作提供了參考；文獻(xiàn)[4]62將凍結(jié)壁視為均質(zhì)材料，采用維亞洛夫經(jīng)驗(yàn)本構(gòu)方程來描述兩淮地區(qū)的凍土蠕變規(guī)律，結(jié)合粘彈塑性理論推導(dǎo)了粘彈區(qū)和粘塑區(qū)凍結(jié)壁的擴(kuò)展規(guī)律，為凍結(jié)壁的設(shè)計(jì)提供了參考；文獻(xiàn)[8]70考慮凍結(jié)壁內(nèi)部土體的開挖卸載作用以及凍結(jié)壁的蠕變變形，得出了凍結(jié)壁的粘彈塑性計(jì)算模型，并推導(dǎo)了對(duì)應(yīng)的應(yīng)力與位移的解析解；文獻(xiàn)[9]399考慮凍結(jié)壁溫度場(chǎng)的非均勻性，將中圈管溫度與其他圈管溫度相同的凍結(jié)溫度場(chǎng)等效為梯形分布，考慮凍結(jié)壁的粘彈性，推導(dǎo)了該種非均質(zhì)凍結(jié)壁的應(yīng)力場(chǎng)與位移場(chǎng)的求解公式，并將計(jì)算結(jié)果與均質(zhì)凍結(jié)壁的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了比較，發(fā)現(xiàn)傳統(tǒng)的均質(zhì)凍結(jié)壁的設(shè)計(jì)理論安全度不夠。

凍結(jié)壁的溫度場(chǎng)可以通過典型部位的溫度場(chǎng)代替[10-12]，因此可以將非均質(zhì)凍結(jié)壁的溫度場(chǎng)等效為拋物線分布[13-16]，這樣就可以通過一段二次曲線實(shí)現(xiàn)對(duì)整個(gè)凍結(jié)溫度場(chǎng)的描述，大大降低了非均質(zhì)凍結(jié)壁粘彈性分析的難度，本文將基于該類型凍結(jié)溫度場(chǎng)對(duì)非均質(zhì)凍結(jié)壁進(jìn)行粘彈性分析。

1 溫度場(chǎng)模型與力學(xué)模型

1.1 溫度場(chǎng)模型

將凍結(jié)壁溫度場(chǎng)等效為拋物線分布，即

T(r)=m1r2+m2r+m3

(1)

參數(shù)mi(i=1、2、3)可以根據(jù)溫度場(chǎng)的分布規(guī)律計(jì)算得到。溫度場(chǎng)的分布如圖1所示。

圖1 溫度場(chǎng)的分布示意圖

其中，縱坐標(biāo)T表示凍結(jié)壁溫度，橫坐標(biāo)r表示凍結(jié)壁的位置；T0為凍結(jié)壁結(jié)冰的溫度，Tn為開挖卸載之后凍結(jié)壁井幫的溫度，Tk為凍結(jié)壁的最低溫度；r0為凍結(jié)壁內(nèi)壁所在位置，r1為凍結(jié)壁外壁所在位置，rk為凍結(jié)壁最低溫度位置。

1.2 力學(xué)模型

考慮凍結(jié)壁的開挖卸載作用以及與圍巖之間的相互作用，其力學(xué)模型如圖2所示。

圖2 力學(xué)模型

其中，r0為凍結(jié)壁的內(nèi)徑，r1為凍結(jié)壁的外徑，r2→∞為圍巖的半徑；peq為作用在圍巖上的等效應(yīng)力，p1為作用在凍結(jié)壁外緣上的應(yīng)力；pa為作用在凍結(jié)壁內(nèi)緣上的應(yīng)力，考慮卸載作用時(shí)pa=0。

2 應(yīng)力場(chǎng)以及位移場(chǎng)的求解

2.1 圍巖的彈性分析

卸載狀態(tài)下作用在無窮遠(yuǎn)處等效應(yīng)力[17-18]508，7為

(2)

將外圍土體視為均質(zhì)材料，其力學(xué)模型為內(nèi)外壁受壓的厚壁圓筒，其應(yīng)力與位移的計(jì)算公式分別為[17-18]509，7

(3)

(4)

將(2)帶入(4)得到

(5)

式中：p0為水平地壓的計(jì)算值。

2.2 凍結(jié)壁的粘彈性分析

在凍結(jié)壁的粘彈性區(qū)，考慮凍土的蠕變，采用厚壁圓筒[19]蠕變力學(xué)理論來進(jìn)行分析。

對(duì)于復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下凍土的蠕變可以采用統(tǒng)一的流態(tài)方程來描述[8]69

(6)

式中：A(T)、B、C為蠕變參數(shù)；T為溫度。

所以

(7)

用應(yīng)變速率來表示，則有

(8)

采用Mises型增量理論，假設(shè)被凍土體體積不可壓縮則有

(9)

得出在平面應(yīng)變問題中[9]398

(10)

將非均質(zhì)凍結(jié)壁的溫度場(chǎng)視為二次曲線變化，所以有

(11)

應(yīng)力平衡方程為

(12)

令

則有

(13)

該式無法直接進(jìn)行積分，可以用Matlab數(shù)值計(jì)算軟件進(jìn)行計(jì)算。

根據(jù)積分的計(jì)算法則可以得到下式

(14)

由凍結(jié)壁內(nèi)緣的應(yīng)力邊界條件

σr|r=r0=-Pa

得到

(15)

根據(jù)凍結(jié)壁外緣的應(yīng)力邊界條件

σr|r=r1=-P1

聯(lián)立公式(15)求得

(16)

所以有

(17)

聯(lián)立公式(17)與公式(11)可以得到

(18)

根據(jù)公式(10)與公式(16)可以得到凍結(jié)壁的位移為

(19)

3 工程算例分析

得到溫度場(chǎng)函數(shù)為

T(r)=1.53r2-23.85r+62.92

水平地壓由重液公式進(jìn)行計(jì)算

p0=0.013h=6.50MPa

通過計(jì)算得到在開挖卸載的24h內(nèi)凍結(jié)壁的外載隨時(shí)間的變化如圖3所示。由圖3可以看出，兩種凍結(jié)壁的外載都隨著空幫時(shí)間的增加而減小，從卸載開始到內(nèi)層井壁完成施工的24小時(shí)內(nèi)均質(zhì)凍結(jié)壁的外載減小了0.48%，非均質(zhì)凍結(jié)壁的外載減小了0.52%，這表明開挖卸載以后凍結(jié)壁承受的外載比較穩(wěn)定，非均質(zhì)凍結(jié)壁外載的計(jì)算結(jié)果的穩(wěn)定性略低于均質(zhì)凍結(jié)壁；對(duì)應(yīng)相同的時(shí)刻均質(zhì)凍結(jié)壁承受的外載的計(jì)算值大于非均質(zhì)凍結(jié)壁，當(dāng)凍結(jié)壁卸載24h時(shí)，非均質(zhì)凍結(jié)壁的外載為6.45MPa，對(duì)應(yīng)的均質(zhì)凍結(jié)壁的外載為6.44MPa，此時(shí)兩種凍結(jié)壁的應(yīng)力分布如圖4所示。

圖3 凍結(jié)壁的外載隨時(shí)間的變化

圖4 卸載24h時(shí)凍結(jié)壁的應(yīng)力分布

從圖4中可以看出，兩種凍結(jié)壁的徑向應(yīng)力分布大致相同；均質(zhì)凍結(jié)壁的環(huán)向應(yīng)力的最大值出現(xiàn)在凍結(jié)壁的內(nèi)緣，非均質(zhì)凍結(jié)壁環(huán)向應(yīng)力的分布呈現(xiàn)類似拋物線形分布，環(huán)向應(yīng)力的最大值出現(xiàn)在凍結(jié)壁的中部。

凍結(jié)壁井幫位移與時(shí)間的關(guān)系如圖5所示，從圖中可以看出，凍結(jié)壁井幫的位移在卸載之后迅速達(dá)到一個(gè)較大值，隨后位移又隨著空幫時(shí)間的增加而不斷增大，對(duì)應(yīng)相同時(shí)刻非均質(zhì)凍結(jié)壁的位移大于均質(zhì)凍結(jié)壁的位移，當(dāng)t=24h時(shí)，均質(zhì)凍結(jié)壁的位移為59.87mm，非均質(zhì)凍結(jié)壁井幫位移為64.34mm，非均質(zhì)凍結(jié)壁的最終位移比均質(zhì)凍結(jié)壁的最終位移大7.47%，由此可以得出沒有考慮凍結(jié)壁的非均勻性的位移與凍結(jié)壁實(shí)際位移之間存在較大的差異。

圖5 凍結(jié)壁井幫位移與時(shí)間的關(guān)系

圖6 卸載初期與末期凍結(jié)壁的位移

分別將開挖卸載1h時(shí)的凍結(jié)壁的位移與開挖卸載24h時(shí)的位移繪制在圖6中，由圖6可以看出，開挖卸載1h后，非均質(zhì)凍結(jié)壁與均質(zhì)凍結(jié)壁的徑向位移分別達(dá)到了最終位移的39.0%與38.8%，隨后凍結(jié)壁的位移隨著時(shí)間的推移而逐漸增大，由圖6可以看出，凍結(jié)壁的位移與距離呈反比關(guān)系，對(duì)應(yīng)同一時(shí)刻，非均質(zhì)凍結(jié)壁的位移要大于均質(zhì)凍結(jié)壁，并且兩者之間的差值隨著時(shí)間的推移而逐漸變大。

4 結(jié)論

(1)通過考慮凍結(jié)壁的開挖卸載作用，以及與周圍未凍土體的相互作用，可以比較真實(shí)的反應(yīng)凍結(jié)壁在井壁未完成施工的一段時(shí)間中的受力情況，通過計(jì)算可以發(fā)現(xiàn)，考慮卸載作用之后，凍結(jié)壁承受的荷載要小于水平地壓，并且該荷載會(huì)隨著時(shí)間推移而逐漸減小。

(2)在空幫的24h中，凍結(jié)壁的位移會(huì)隨著時(shí)間的推移而逐漸增加；對(duì)應(yīng)相同的時(shí)刻，凍結(jié)壁的位移與距離呈反比關(guān)系。

(3)通過比較非均質(zhì)凍結(jié)壁與均質(zhì)凍結(jié)壁的位移與承載力的計(jì)算結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)應(yīng)相同的時(shí)刻，非均質(zhì)凍結(jié)壁的位移要大于均質(zhì)凍結(jié)壁，而承載力要小于均質(zhì)凍結(jié)壁，這表明傳統(tǒng)的均質(zhì)凍結(jié)壁的設(shè)計(jì)理論存在一定的風(fēng)險(xiǎn)。