例談特殊值法在初中數(shù)學中的幾點應用

□ 海南省儋州市第五中學 雷榮強

初中數(shù)學解題存在很強的靈活性。有的數(shù)學題不只一種解法而有多種解法，有的數(shù)學題用常規(guī)方法解決不了，或者運用起來運算量大，耗時多，要用特殊方法。因此，運用特殊值法解題在升學考試中至關重要，是“小題小做”的重要策略，不能忽視。本文就特殊值法在解決初中數(shù)學中的應用，現(xiàn)從以下幾個方面做些探討。

一、特殊值法在數(shù)學運算法則推導中的應用

在初中階段部分數(shù)學法則可以采用特殊值法進行推導，例如有理數(shù)的運算法則、整式的運算法則的推導，在教學過程中，教師可以先不給出運算法則，而是先給一些與法則相關的數(shù)值的運算，然后由學生自己探究、歸納出運算法則。在探究新知的過程中讓學生體會從特殊到一般，從具體到抽象的認識過程，讓學生在自主實踐中獲得運算法則，從而構建新的知識體系，便于公式的理解與記憶，現(xiàn)舉例說明。

例1同底數(shù)冪的乘法法則的推導過程：

根據(jù)冪的意義填空：

觀察一下上面各題有什么共同特點？等式左右兩邊的底數(shù)、指數(shù)有什么關系？

引導：如果把a3·a4中的指數(shù)3和4分別換成字母m和n（m,n為正整數(shù)），你能寫出am·an的結果嗎？

歸納：同底數(shù)冪的乘法法則：am·an=a（m+n）（m,n 為正整數(shù)）。就是說，同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。

小結：以上就是同底數(shù)冪的乘法法則的推導過程，在推導過程中，教師運用特殊值法，取一些特殊數(shù)值的運算，讓學生自己根據(jù)已學過的知識進行運算，引導學生探究、歸納出同底數(shù)冪的運算法則。

二、特殊值法在數(shù)軸中的應用

在數(shù)軸中經(jīng)常碰到這樣的問題，在一個數(shù)軸上給出大概位置的幾個點，即不能讀出準確數(shù)字，如何比較這些點之間的數(shù)量關系呢？對于此類數(shù)軸上的問題，可以采用特殊值法，對這些點進行賦值運算，比較他們之間的數(shù)量關系，現(xiàn)舉例說明。

例2（2009年江蘇省中考題）如下圖1所示，數(shù)軸上A，B兩點分別表示實數(shù)a，b，則下列結論正確的是（ ）A、a+b＞0 B、ab＞0 C、a-b＞0 D、｜a｜-｜b｜＞0

解：由圖 1 知，0＜a＜1,b＜-1，不妨令 a=0.5,b=-1.5，則 a+b=-1＜0，ab=-0.75＜0，a-b=2＞0，｜a｜-｜b｜=1＜0，綜合各個選項，只有C項正確，故選C

小結：對于此類問題，特殊值法是最有效的武器。其求解關鍵在依據(jù)題意，選準特殊值驗證。賦予我們常見的特殊值去求解，從而使得解題過程既簡便又快捷。

三、特殊值法在不等式中的應用

在不等式中經(jīng)常會碰見這樣的題型，給出一些未知量的范圍，然后讓你比較與這些未知量有關的代數(shù)式的大小。在平時的教學過程發(fā)現(xiàn)，學生遇到這類客觀題時感覺很難，無從下手似的，而特殊值法在解決這類題型時有它的獨特優(yōu)勢，請看下面例題。

例3（2006年天津市中考題）若0＜x＜1，則x,x2,x3的大小關系是（ ）

解析：常規(guī)法：Q0＜x＜1，兩邊同時乘以x得0＜x2＜x，

兩邊同時乘以 x 得 0＜x3＜x2，∴x3＜x2＜x，故選 C特殊值法 Θ0＜x＜1而有 x3＜x2＜x ，故選 C。

小結：兩種方法一比較發(fā)現(xiàn)特殊值法更直觀，更容易讓學生理解；通過對比，我們發(fā)現(xiàn)在考試中運用特殊值法更能提高解題效率。

變式題：如果a＜0,a+b＞0,把a,--a,b,--b用“＞”連結應是（ ）

（A） a＞-a＞b＞-b （B）b＞-b＞-a＞a

（C） b＞-a＞a＞-b （D）-a＞a＞b＞-b

四、特殊值法在二次根式中的應用

A、x≤1 B、x≥1 C、x＞1 D、x＜1

解析：這是一道客觀題，觀察四個選項，不難發(fā)現(xiàn)，通過運用特殊值法對自變量x取三種值：大于1，等于1或小于1，就可以做出選擇了，下面分情況取值：（1）當 x＞1 時，即令x=2，則，自變量x無意義，故x＜1不可以，得出選項是答案B。

A、x≤1 B、x≥1 C、x＞1 D、x＜1

小結：在平時的測試與練習中，發(fā)現(xiàn)有學生經(jīng)常把例4答案選C，變式題答案選B，造成出錯的原因是x是否等于1的問題，如果能采用特殊值法賦值x=1，代入計算，就能很好的解決這個問題了。

五、特殊值法在求代數(shù)式值中的應用

一般地，用數(shù)值代替代數(shù)式里的字母，按照代數(shù)式中的運算關系計算得出的結果，叫做代數(shù)式的值。若已知條件不知字母所取的數(shù)值，而是給出一些含有字母的方程，同時求解字母的值比較困難時，這種求代數(shù)式的值比較復雜，我們一般采用整體代入法進行求代數(shù)式的值，但有時運用特殊值法更簡便，請看下面例題。

例 5、已知 a+b=3，ab=2 則 a2+b2=__________。

解析：本題就是上面所談到的一種比較復雜情況下的求代數(shù)式的值，接下來分別采用上面提到的兩種方法解答：

（1）整體代入法：a2+b2=a2+2ab+b2-2ab(a+b)2-2ab，將 a+b=3，a+b=2 代入，得；a2+b2=（a+b)2-2ab=32-2×2=5

（2）特殊值法：觀察已知條件，令，，則

小結：上面例題運用了兩種解題方法，不難發(fā)現(xiàn)，在能運用特殊值法的情況下，運用特殊值法能更快速，更簡單的求出代數(shù)式的值，這也說明了特殊值法是求代數(shù)式值中的一種簡便方法。

六、特殊值法在幾何問題中的應用

在一些看似復雜的幾何問題中，常常可以運用特殊值法來進行求解，請看下面例題。

解析：此題若不用特殊值法需要去尋找兩者的數(shù)量關系，而這些關系還要靠字母體現(xiàn)出來。操作起來比較復雜，若用特殊值法，數(shù)量關系明了，能輕松順利地解答。請看下面的特殊值法：設原來圓柱半徑為1，高為4，則后來圓柱半徑為4，高為1。

則原來圓柱體積為4л，后來圓柱體積為16л。

因此后來圓柱體積是原來圓柱體積的4倍，故選答案D。

七、特殊值法在函數(shù)中的應用

在平時的教學過程中，我們發(fā)現(xiàn)函數(shù)的學習對于初中生來說是一大難點，很多學生抱怨函數(shù)比較抽象，難理解，比較難學，如果在一些函數(shù)的題型中適當?shù)倪\用特殊值法，將抽象的問題直觀化，對于學生來說就容易理解了，現(xiàn)舉例說明特殊值法在函數(shù)中的一些應用。

例7、已知一次函數(shù)y=-3x+1上兩點坐標分別為A（x1，x1），B（x2，x2），當 x1＜x2時，試比較 y1__________y2

解析:常規(guī)法：比較一次函數(shù)上兩點坐標A、B函數(shù)值y1，y2的大小，因為這里的K=-3＜0，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)值y隨x的增大而減小，所以當x1＜x2時，反而 y1＞y2，

特殊值法：令x1=0，則y1=3×0+1=1，令x2=1，則y2=3×1+1=-2，很顯然 y1＞y2。

小結：兩種方法一比較，發(fā)現(xiàn)運用特殊值法，將一個抽象的問題具體化，更直觀，有利于學生的理解。

八、特殊值法在假命題判斷中的應用

命題是可以判斷真假的，要判斷一個命題是真命題，可以用演繹推理加以論證；而要判斷一個命題是假命題，只要舉出一個反例子，說明該命題不成立即可，而何為舉反例呢？即舉出一個符合該命題條件而不符合該命題結論的例子，運用特殊值法來舉反例，能讓我們迅速判斷一個命題為假命題，現(xiàn)舉例說明。

例8、判斷下列命題是真命題還是假命題，若是假命題，舉出一個反例加以說明：

兩個銳角的和等于直角；

若｜a｜=｜b｜，則 a=b；

解析：（1）假命題，反例：運用特殊值法將兩個銳角可以分別取 30°，45°，而 30°+45°=75°，不等于直角，從而判斷是個假命題；

（2）假命題，反例：將a,b兩個字母取特殊值，例如a=1,b=-1，｜a｜=｜b｜，但是 a≠b，從而判斷是個假命題。

上述的實例說明，特殊值法是解決數(shù)學問題的一種重要方法，往往能起到事半功倍的效果。數(shù)學家希爾伯特曾講過：“在討論數(shù)學問題時，我相信特殊化比一般化起更為重要的作用”，因此在平時的教學過程中，不僅要學生學會一些常規(guī)解題方法，而且要學會運用特殊值法，這樣有助于培養(yǎng)學生一題多解，一題巧解的能力。