單廣播IC并存網(wǎng)絡(luò)分析

劉坤，劉鋒，曾連蓀

（上海海事大學(xué)信息工程學(xué)院，上海 201306）

0 引言

隨著通信行業(yè)的發(fā)展，多輸入多輸出技術(shù)（Multi-Input Multi-Output，MIMO）[1]已被廣大學(xué)者所熟知，其空間復(fù)用技術(shù)在高的信噪比下可以很大地提高系統(tǒng)的信道容量，而且還能夠在無法知道系統(tǒng)信道信息的情況下使用。傳統(tǒng)的SISO系統(tǒng)因其系統(tǒng)容量和信道利用率的局限性已逐漸被MIMO系統(tǒng)取代。但是，對(duì)無線網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)容量的研究是非常困難的。因此，提出了空間復(fù)用增益的概念，以解決系統(tǒng)容量不能準(zhǔn)確表達(dá)的問題。空間復(fù)用增益技術(shù)是在發(fā)射端將數(shù)據(jù)流分成多個(gè)平行的子數(shù)據(jù)流，并且在同一頻帶上使用不同的天線同時(shí)發(fā)射出去，充分利用空間傳播的多徑分量。但也不是無限制地增加天線的數(shù)量來增加多徑分量。由于當(dāng)下天線集成技術(shù)的限制，只能在收發(fā)端配置合理的天線數(shù)，提高系統(tǒng)的天線效率。

BC（Broadcast Channel）[4-6]、MAC（Multiple Access Channel）[7]、IC[8-10]以及 XC（X Channel）[11-13]通過迫零[2]和干擾對(duì)齊[3]等方法，得到了它們單播方面的系統(tǒng)空間復(fù)用增益。多播網(wǎng)絡(luò)的研究也已取得了很大的進(jìn)展，例如文獻(xiàn)[14]解釋了MIMO X網(wǎng)絡(luò)的自由度的空間尺度不變性和單側(cè)可分解性。在文獻(xiàn)[15]中具體介紹了上行鏈路大規(guī)模MIMO-OFDM系統(tǒng)中能量與頻譜效率的權(quán)衡分析，該方案為如何提高頻譜能量效率提供了參考。文獻(xiàn)[16]做了關(guān)于完善/不完善CIS下單播/多播MIMO網(wǎng)絡(luò)的多小區(qū)協(xié)作波束成形技術(shù)的研究。但是有關(guān)單播與多播并存的網(wǎng)絡(luò)研究相對(duì)較少，因此本文提出單播IC信道和廣播IC信道并存組成的多網(wǎng)模型。對(duì)干擾消息的處理有很多種方法，例如干擾中和、干擾對(duì)準(zhǔn)和迫零等，本文實(shí)現(xiàn)消除干擾的方式是零空間的交的迫零方案。

本文主要研究單廣播IC的共存網(wǎng)絡(luò)的空間復(fù)用增益，這是一種新的IC信道模型。采用迫零方案結(jié)合零空間的交，將來自同一接收機(jī)的多個(gè)干擾消息放置在相應(yīng)的零空間的交空間中，以便同時(shí)實(shí)現(xiàn)迫零多個(gè)干擾消息。本文給出了該模型的最優(yōu)天線配置方案和空間復(fù)用增益結(jié)果。使用MATLAB對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行仿真分析，驗(yàn)證了模型的正確性和方案的可行性。

1 系統(tǒng)模型

本文研究的單廣播IC并存網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)模型，如圖1所示。由上往下，第一條虛線上的第一個(gè)單廣播IC網(wǎng)絡(luò)稱為主網(wǎng)，其余虛線下的均為次網(wǎng)。主網(wǎng)除第一個(gè)發(fā)送端發(fā)送單播和廣播消息外，其余發(fā)送端均只發(fā)送單播消息。圖中W表示廣播信號(hào)，S表示單播信號(hào)。此外，共有N個(gè)單廣播IC網(wǎng)絡(luò)并存，并且并存網(wǎng)絡(luò)的用戶數(shù)分別是K1,K2,…,KN。每個(gè)接收機(jī)接收相應(yīng)發(fā)射機(jī)的單播消息，并接收自身網(wǎng)絡(luò)的廣播消息，例如主網(wǎng)絡(luò)的第一接收機(jī)，W11和S11是期望消息，剩余的消息都是干擾消息（圖中未畫出），其他接收端與其類似。故對(duì)整個(gè)網(wǎng)絡(luò)模型而言，每個(gè)接收者總共收到(K1+K2+…+KN+N)個(gè)消息，其中有2個(gè)期望消息，其他(K1+K2+…+KN+N-2 )個(gè)為干擾消息。

圖1 單廣播IC并存網(wǎng)絡(luò)模型

主網(wǎng)和次網(wǎng)中期望消息和干擾消息簡(jiǎn)要說明：主網(wǎng)K1個(gè)發(fā)送端發(fā)送{S11,S12,…,S1K1}共K1個(gè)單播消息和第一個(gè)發(fā)送端發(fā)出的廣播消息W11，接收端1共接收到來自主網(wǎng)和次網(wǎng)的所有消息(K1+K2+…+KN+N)個(gè)，其中{W11,S11}是2個(gè)期望消息，其余均為干擾消息。主網(wǎng)中其余接收端的接收情況與接收端1類似。次網(wǎng)的發(fā)送端和接收端與主網(wǎng)相似，這里不再贅述。

可以得到本文提出的單廣播IC并存網(wǎng)絡(luò)模型的的輸入輸出關(guān)系為：

其中Yi表示第i接收機(jī)的輸出信號(hào)，維度為2×1，Hij表示第j發(fā)射機(jī)到第i接收機(jī)的信道矩陣（j，i=1,2，…，），維度是 2×M，Zi是 2×1維的均值為0，方差為σ2的加性高斯白噪聲，Xj表示該模型第j發(fā)射機(jī)的發(fā)送信號(hào)。

本文將空間復(fù)用增益定義為系統(tǒng)的接收端所能夠解碼出的期望消息的總數(shù)，系統(tǒng)空間復(fù)用增益的大小能夠衡量系統(tǒng)的容量大小，是判斷一個(gè)系統(tǒng)的性能好壞的重要指標(biāo)。另外給出天線效率的定義：空間復(fù)用增益（d）與系統(tǒng)所用收發(fā)端天線總數(shù)（n）的比值，即：

根據(jù)系統(tǒng)的天線效率，可衡量一個(gè)系統(tǒng)的天線的利用率，也是判斷系統(tǒng)的性能優(yōu)劣的重要指標(biāo)。

2 方案設(shè)計(jì)

這里采用零空間的交的迫零方案來分析本文的系統(tǒng)模型，分析怎樣從帶有干擾的消息中析出期望消息，從而得到系統(tǒng)的空間復(fù)用增益。為了方便進(jìn)行理論分析，這里先從2用戶的模型開始討論。

2.1 N= 2,,K1=K2=2

圖2 兩用戶單廣播IC并存網(wǎng)絡(luò)模型

因?yàn)镮C信道中用戶數(shù)最少為2，因此先分析2用戶單廣播IC網(wǎng)絡(luò)并存2用戶單廣播IC網(wǎng)絡(luò)的簡(jiǎn)單系統(tǒng)模型。根據(jù)文獻(xiàn)中“接收多少期望消息配多少天線”原則，接收端的天線數(shù)應(yīng)為2，發(fā)送端天線數(shù)是未知的M根。由公式（2）知該模型下的接收端信號(hào)Yi，i,j=1,2,3,4?，F(xiàn)對(duì)發(fā)送端消息進(jìn)行預(yù)編碼，每個(gè)發(fā)送端經(jīng)過一個(gè)預(yù)編碼矢量矩陣F使接收端的干擾信號(hào)迫零，經(jīng)過預(yù)編碼后的每個(gè)接收端的接收信號(hào)可表示如下：

其中Fj表示第j發(fā)送端的預(yù)編碼矢量矩陣，Qj表示第j發(fā)送端的發(fā)送信號(hào)。

該模型采用迫零方案來處理干擾消息，從而得到期望消息。主網(wǎng)中第一個(gè)接收端的期望消息是{W11,S11}，干擾消息為{W21,S12,S21,S22}；其他接收端消息與之類似。以上分析可知，S11是第2,3,4接收端的干擾消息，所以把它放在H21,H31,H41的零空間的交空間中。

首先給出零空間的交引理[17,18]，如下：

引理給定兩個(gè)矩陣A∈Cm×n和B∈Cg×n，若令，則Cx=0?Ax=0和Bx=0 ，即 C 的零空間的交空間Null(C)=Null(A)∩Null(B)。

由引理得出信道矩陣的零空間的性質(zhì)。設(shè)(m+g)×n的矩陣C的秩為r=rank(C),因?yàn)橹辽俚么嬖谝粋€(gè)零空間的交，故有n-r≥1。但是已知C是滿秩的，有r=min(m+g,n)，由此可以推出r=m+g。綜上可以得到零空間的交空間性質(zhì)：n≥m+g+1。

并且若(m+g)×n矩陣C的秩為r=rank(C)，則它的右奇異向量{ }V1V2…Vn中，與n-r個(gè)零奇異值對(duì)應(yīng)的右奇異向量{Vr+1Vr+2…Vn}構(gòu)成零空間的交空間Null(A)∩Null(B)的標(biāo)準(zhǔn)正交基。因?yàn)樵谡麄€(gè)系統(tǒng)模型中，主網(wǎng)和次網(wǎng)各自的廣播消息不是本網(wǎng)絡(luò)的用戶的干擾消息，而單播消息是不同的。這里只對(duì)單播消息進(jìn)行分析。由以上引理可知單播消息S11零空間的交，同理可到其他單播消息的零空間的交，維度均為6×M，根據(jù)零空間的交的性質(zhì)可得M=7。

由零空間的交可設(shè)計(jì)發(fā)送端的預(yù)編碼矢量，單播消息的是fi=null(Li)，廣播消息的是f01=null(L01)，f02=null(L02)。再對(duì)Li進(jìn)行奇異值分解由引理可知Li的秩為6，它的右奇異向量V1，V2，V3，V4，V5，V6中，與1個(gè)零奇異向量V6構(gòu)成零空間的交的標(biāo)準(zhǔn)正交基。因此得到預(yù)編碼矢量滿足：fi=，表示取矩陣Vi的第六列。

因此可以得到該模型下的空間復(fù)用增益為8。

2.2 NN網(wǎng)并存，K1,K2…KN用戶

上面分析了2用戶單廣播IC網(wǎng)絡(luò)并存2用戶單廣播IC網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)模型，其天線配置都是假設(shè)情況下的，下面分析一般條件下的天線配置方案和系統(tǒng)的空間復(fù)用增益。

（1）最優(yōu)天線配置

這里將接收機(jī)的天線數(shù)量配置為和它接收的期望消息的數(shù)量相等，接下來著重分析發(fā)射機(jī)的天線是如何配置的。

定理對(duì)于N個(gè)單廣播IC網(wǎng)絡(luò)共存模型，其每個(gè)網(wǎng)絡(luò)用戶數(shù)分別為K1,K2,…,KN，則每個(gè)接收機(jī)至少要配置兩根天線，每個(gè)發(fā)射機(jī)最少要配置2(K1+K2+…+KN)-1根天線。

證明以主網(wǎng)的第一個(gè)接收端為例進(jìn)行分析。單播信號(hào)S11只被本網(wǎng)絡(luò)中第一個(gè)接收端接收，對(duì)其余K1-1個(gè)接收端和N-1個(gè)次網(wǎng)均為干擾信號(hào)，因此可以將其置于其信道零空間的交中，其零空間的交的維度為2(K1+K2+…+KN-1)×M，從引理和相關(guān)結(jié)論可得M≥2(K1+K2+…+KN)-1，M為發(fā)送端的天線數(shù)。其他次網(wǎng)的收發(fā)端天線配置與之相似。

（2）干擾處理分析

針對(duì)接收端的干擾消息處理問題，采用接收端迫零方案，最主要的在于要把干擾消息放在零空間的交空間中，從而只留下期望消息。

這里和之前一樣只分析主網(wǎng)，次網(wǎng)分析與之類似?？傻玫絾尾ハ⒘憧臻g的交空間Li，例如：主網(wǎng)第一個(gè)發(fā)送端的單播消息S11的零空間的交L1=[H21H31…HK11H(K1+1)1…H(K1+K2+…+KN)1] ，然 后 對(duì)Li進(jìn) 行SVD分解根據(jù)引理和定理，可知Li的秩為R=2(K1+K2+…+KN-1)。右奇異向量Vi（1,2…，R）中，與M-R個(gè)零奇異值對(duì)應(yīng)的右奇異向量VR構(gòu)成公共的零空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基，因此可得到預(yù)編碼矢量的關(guān)系：fi=,表示取矩陣的第R列。廣播消息的預(yù)編碼矩陣分析與單播消息類似，這里不再贅述。通過定理可得到系統(tǒng)的空間復(fù)用增益d=2(K1+K2+…+KN)。經(jīng)過以上分析可合理地設(shè)計(jì)收發(fā)端的預(yù)編碼矩陣，從而每個(gè)接收端可以實(shí)現(xiàn)消除干擾的同時(shí)得到所期望的消息。

（3）復(fù)雜度分析

根據(jù)以上對(duì)天線的配置的方案和消除干擾的方案，接下來對(duì)系統(tǒng)的復(fù)雜度進(jìn)行分析。根據(jù)矩陣?yán)碚摽芍簩?duì)于秩為r的m×n的矩陣A，對(duì)A進(jìn)行SVD分解或求廣義逆，其復(fù)雜度為O(mnr)；同時(shí)對(duì)于m×n的矩陣A和n×p的矩陣B，兩者相乘的復(fù)雜度為O(mnp)。

這里假設(shè)T=K1+K2+…+KN。前面已知零空間的組合矩陣維數(shù)為2(T-1)×M，對(duì)其進(jìn)行SVD分解，則每個(gè)發(fā)射機(jī)對(duì)應(yīng)的波束成形矢量計(jì)算過程的復(fù)雜度為O(2(T-1)2M)。其中M為發(fā)射機(jī)最小天線數(shù)，即M=2(K1+K2+…+KN)-1=2T-1。主網(wǎng)絡(luò)的所有發(fā)射機(jī)共發(fā) (K1+1)個(gè)消息，得到復(fù)雜度CT1=O(4K1T3+2K1T2)，同理得到其余網(wǎng)絡(luò)的復(fù)雜度CT2,CT3,…,CTN，所以發(fā)射機(jī)總的復(fù)雜度為CT=CT1+CT2+…+CTN，即：

接收端通過使用Hij*F的廣義逆實(shí)現(xiàn)線性編碼方案，其中Hij維度為2×(2T-1)，主網(wǎng)絡(luò)各波束成型向量 的 維 數(shù) 分 別 為(2T-1)×2 ，(2T-1)×1，… ，(2T-1)×1，求得各自的復(fù)雜度后進(jìn)行廣義逆計(jì)算，然后將計(jì)算結(jié)果相加得到復(fù)雜度為O(K1T2)；同理可計(jì)算其余網(wǎng)絡(luò)接收機(jī)的復(fù)雜度，因此通過計(jì)算Hij和F相乘的復(fù)雜度，再對(duì)HijF進(jìn)行廣義逆計(jì)算，最后將所得結(jié)果相加，即可得到每個(gè)接收機(jī)的復(fù)雜度，CR=O(K1T2)+O(K2T2)+…+O(KNT2)，即：

所以系統(tǒng)總的復(fù)雜度為C=CT+CRT，將公式（4）和（5）代入并整理得：

3 仿真分析

根據(jù)以上方案分析，本節(jié)使用MATLAB對(duì)系統(tǒng)模型進(jìn)行了仿真分析。

3.1 系統(tǒng)空間復(fù)用增益

假設(shè)每個(gè)信道是不相關(guān)的瑞利衰落信道。發(fā)射機(jī)功率為P，發(fā)射機(jī)允許每個(gè)用戶在滿足總功率限制的情況下具有相同的發(fā)射功率。假設(shè)所有用戶的接收機(jī)的噪聲方差為σ2，每個(gè)發(fā)送端已經(jīng)知道全部用戶的無差錯(cuò)的等效信道狀態(tài)信息。

用戶i的單播消息數(shù)據(jù)流經(jīng)過一系列方案的作用后，接收信噪比可表示為，

接收端i的廣播信號(hào)的和速率為：

接收端i的單播消息的總和速率為：

因此整個(gè)系統(tǒng)的總和速率為：

下面使用MATLAB對(duì)系統(tǒng)的總和速率進(jìn)行了仿真，橫坐標(biāo)信噪比SNR的單位是dB，每條直線段的斜率和其相應(yīng)的系統(tǒng)空間復(fù)用增益為10倍關(guān)系。

首先選擇實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。選取了并存網(wǎng)絡(luò)個(gè)數(shù)和每個(gè)網(wǎng)絡(luò)中用戶數(shù)不同這兩種情況，將統(tǒng)計(jì)的不同模型的空間復(fù)用增益展示到圖中，因此得到如圖3所示的仿真結(jié)果。

圖3 多用戶模型和速率與信噪比SNR關(guān)系

圖3中(A,B,d)各個(gè)符號(hào)的含義分別是：A表示有多少個(gè)IC網(wǎng)絡(luò)并存，B表示每個(gè)網(wǎng)絡(luò)的用戶數(shù)，d表示理論上系統(tǒng)的空間復(fù)用增益。

由圖 3 中曲線 1、2、3（或曲線 4、5、6）可以看出，當(dāng)并存的網(wǎng)絡(luò)個(gè)數(shù)保持不變時(shí)，空間復(fù)用增益隨著用戶數(shù)的增加而增加；當(dāng)用戶數(shù)不變時(shí)，如曲線1、4所示，空間復(fù)用增益隨并存網(wǎng)絡(luò)的個(gè)數(shù)的增加而增加。由此可知，實(shí)驗(yàn)所得結(jié)果與理論值基本保持一致。

3.2 系統(tǒng)的天線效率

因系統(tǒng)的空間復(fù)用增益為d=2(K1+K2+…+KN)=2T，系統(tǒng)所用總的天線數(shù)為n=T(2T-1)+2T，則系統(tǒng)的天線效率可表示為：

根據(jù)公式（11）可知，天線效率會(huì)隨著用戶數(shù)的增加而逐漸減少，當(dāng)T取最小值時(shí)，可以得到最大的天線效率。因IC信道中用戶數(shù)最少是2，故T最小值等于4，所以最大天線效率為0.222。

同樣在MATLAB上進(jìn)行仿真驗(yàn)證，所得數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如圖4所示，其中橫坐標(biāo)T表示用戶數(shù)，單位是個(gè)；縱坐標(biāo)是系統(tǒng)的天線效率。

由圖4可知，隨著T的逐漸增加，系統(tǒng)的天線效率會(huì)逐漸減小，當(dāng)T取得最小值時(shí)，系統(tǒng)可獲得最大天線效率。在設(shè)計(jì)單廣播IC并存網(wǎng)絡(luò)時(shí)，應(yīng)根據(jù)工程需要適當(dāng)改變用戶個(gè)數(shù)，從而獲得較為合適的天線利用率。

圖4 系統(tǒng)天線效率圖

4 結(jié)語

在單廣播IC并存的網(wǎng)絡(luò)模型中，使用將多個(gè)干擾消息放置在零空間的交的迫零方案來消除干擾，通過發(fā)送端合理地設(shè)計(jì)預(yù)編碼矩陣，使得用戶能夠得到期望信號(hào)，提高系統(tǒng)的和速率。由于當(dāng)前研究有關(guān)單廣播IC并存網(wǎng)絡(luò)的較少，該模型也為單廣播并存網(wǎng)絡(luò)模型的深入研究提供了可以參考的理論依據(jù)。通過分析得到了該模型下的最優(yōu)天線配置，以及如何合理地獲得所期望的天線利用率。下一步工作可將本模型下的廣播和單播消息數(shù)擴(kuò)展得盡可能地多，以及將此方案應(yīng)用到其他信道的并存模型當(dāng)中，用以使用不同的應(yīng)用場(chǎng)景。