基于Hammerstein的壓電作動器的建模與自適應(yīng)逆控制

呂傳龍，簡雨沛，孫小通

（西南交通大學(xué)電氣工程學(xué)院，成都 611756)

0 引言

壓電陶瓷作動器[1-3]是一種新型的智能材料作動器，其響應(yīng)速度快，能量密度大，在精密儀器制造、航空航天領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用前景。然而，其輸入輸出存在著復(fù)雜的率相關(guān)遲滯非線性特性，涉及光、熱、電、力多場耦合，其建模與控制方法是當(dāng)今控制研究的難點(diǎn)。

遲滯特性的建模方法已經(jīng)有學(xué)者進(jìn)行了大量研究，一般可以分為三種：基于材料物理原理的物理模型，基于現(xiàn)象的唯象模型和基于計算智能的智能模型?；谖锢砟Ｐ偷慕７椒ǎ鏙iles-Atherton模型[4]和StonerWohlfarth[5]模型，從物理機(jī)理出發(fā)給出具有明顯意義的物理模型；基于現(xiàn)象的唯象模型，如Prei?sach[6]和Prandtl-Ishlinskii[7]模型無需考慮實(shí)際的物理意義，從實(shí)際輸入輸出考慮模型的建立；基于智能遲滯模型的建模方式，如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型和支持向量機(jī)模型，則是利用智能計算的方式進(jìn)行輸入輸出描述。此外，如Modified Prandtl-Ishlinskii（MPI）[8]模型則是在傳統(tǒng)算子模型基礎(chǔ)上進(jìn)行改機(jī)，增加了模型的適用范圍。

經(jīng)典的遲滯模型是頻率無關(guān)的，不考慮系統(tǒng)的輸入信號頻率變化對輸出的影響。然而，系統(tǒng)的輸入信號頻率變化對系統(tǒng)的輸出影響是不可忽視的，研究頻率相關(guān)特性需要不僅要研究經(jīng)典的模型，更要研究在頻率變化的耦合模型。率相關(guān)特性的建模理論可以分為整體與分離式兩種不同的策略。整體式建?；趥鹘y(tǒng)模型改進(jìn)基礎(chǔ)之上，增加頻率耦合算子或算式[9]，對模型建立要求更高，參數(shù)辨識愈加困難，基于此類的研究仍有大的提升空間。常見模塊化的分離式結(jié)構(gòu)包括Hammerstein 模型[10]、Wiener模型[11]和三明治模型[12]。

對微位移進(jìn)行控制，遲滯系統(tǒng)常采用逆補(bǔ)償方式，按照方式可以分為靜態(tài)逆補(bǔ)償和動態(tài)逆補(bǔ)償兩種方式。其中靜態(tài)逆補(bǔ)償可以分為直接逆補(bǔ)償和與其他反饋方式結(jié)合的復(fù)合控制方法。

本文采用MPI模型和ARX模型組成分離式Ham?merstein模型，用以描述壓電作動器的遲滯非線性和動態(tài)率相關(guān)特性。通過實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)采集和分析，所提出的模型在1-100Hz內(nèi)具有良好的頻率泛化能力。采用基于Hammerstein逆模型的自適應(yīng)控制算法進(jìn)行實(shí)時跟蹤控制，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，控制結(jié)果穩(wěn)定誤差小，滿足控制要求。

1 Hammerstein建模

Hammerstein模型利用模塊分割的思想用于描述一大類非線性系統(tǒng)的問題。此種模型將非線性系統(tǒng)分為靜態(tài)非線性模塊與動態(tài)線性模塊，通過兩種模塊的串聯(lián)描述非線性問題，廣泛應(yīng)用于作動器系統(tǒng)、電力系統(tǒng)、生物與神經(jīng)科學(xué)研究等[13]。圖1為Hammerstein模型結(jié)構(gòu)圖。

本文選用改進(jìn)的Prandtl-Ishlinskii（MPI）建立Hammerstein模型中的靜態(tài)模型。動態(tài)模型采用ARX模型描述。由于壓電陶瓷作動器在輸入信號低于5Hz時，遲滯環(huán)形態(tài)基本不變，故認(rèn)為此時的動態(tài)線性模塊傳遞函數(shù)為1，以此建立非線性部分。動態(tài)線性模塊建立在靜態(tài)模型建立之后，通過輸入復(fù)合多頻率信號進(jìn)行辨識。

1.1 MPI建模

PI模型表示的遲滯特性是一個奇對稱的凸函數(shù)，在實(shí)際的作動器遲滯特性并不滿足這一點(diǎn)，往往呈現(xiàn)出非奇非凸特性。PI模型的苛刻應(yīng)用條件給模型理論研究帶來新的研究方向。一種研究思路是在PI模型之前串聯(lián)非奇非凸算子，如單邊死區(qū)算子，使原模型具有非奇非凸等特性，構(gòu)建MPI模型。

MPI（Modified Prandtl-Ishlinskii）模型為率無關(guān)的遲滯非線性建模的經(jīng)典模型之一，其利用算子模型思想建立基本遲滯單元即Play算子構(gòu)成內(nèi)層算子和Deadzone算子構(gòu)成外層算子，算子向量與閾值向量加權(quán)疊加表示系統(tǒng)的遲滯非線性特性。

圖3為Deadzone死區(qū)算子輸入輸出關(guān)系圖，ws為死區(qū)算子的權(quán)系數(shù)，rs∈R為死區(qū)算子閾值，上式中閾值向量為為死區(qū)算子向量，其表達(dá)式如下：

圖2 Play算子輸入輸出關(guān)系

圖3 Deadzone算子輸入輸出關(guān)系

因此，最終得到的MPI模型為Play算子與死區(qū)算子串聯(lián)疊加，MPI模型表達(dá)式為：

1.2 ARX建模

ARX模型是一種有理傳遞函數(shù)模型，在Hammstein模型中表示動態(tài)線性部分，表示壓電陶瓷的率相關(guān)特性，其表達(dá)式如下：

因此，Hammerstein模型的表達(dá)式如下所示：

2 模型辨識與驗(yàn)證

圖4為西南交通大學(xué)電氣工程學(xué)院智能材料與結(jié)構(gòu)平臺實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)連接圖，壓電陶瓷作動器與實(shí)驗(yàn)器材連接圖，實(shí)驗(yàn)部分包括作動器部分、傳感器與放大器部分、處理器部分和上位機(jī)部分。

其中，壓電作動器型號為哈爾濱芯明天有限公司生產(chǎn)的PSt/150/7/60VS12，電渦流傳感器精度為8mv/μm,壓電作動器采用伺服功率放大器進(jìn)行驅(qū)動，dSPACE系統(tǒng)使用DS2002和DS2103板卡實(shí)現(xiàn)A/D和D/A轉(zhuǎn)換。上位機(jī)采用dSPACE公司提供的Controldesk圖形檢測與控制軟件。圖5為實(shí)驗(yàn)設(shè)備連接圖。

圖4 實(shí)驗(yàn)設(shè)備圖

圖5 實(shí)驗(yàn)設(shè)備連接圖

2.1 模型辨識

系統(tǒng)模型辨識分為以下步驟：（1）將此正弦掃描信號數(shù)據(jù)加載到輸入端作為輸入數(shù)據(jù)x(t)，記錄此時的壓電陶瓷作動器的輸出數(shù)據(jù)y(t)；（2）將此正弦掃描信號作為輸入x(t)加載到MPI模塊的輸入端，記錄此時Simulink中的模型輸出數(shù)據(jù)作為輸出數(shù)據(jù)u(t)；（3）視MPI模型輸出數(shù)據(jù)u(t)作為ARX模型的輸入，視壓電陶瓷作動器的輸出作為ARX模型的輸出，辨識工具采用MATLAB中的辨識工具箱ARX命令給出ARX有理參數(shù)模型參數(shù)。圖6為Hammerstein模型辨識過程示意圖。

圖6 Hammerstein模型辨識示意圖

動態(tài)非線性模塊辨識結(jié)果有理函數(shù)表達(dá)式如下所示：

2.2 建模驗(yàn)證

給定相同輸入數(shù)據(jù)下，比較壓電作動器實(shí)際輸出與Hammerstein模型輸出結(jié)果，驗(yàn)證模型的有效性。輸入數(shù)據(jù)選擇為單一頻率正弦信號或多頻率混合正弦信號，其輸入幅值為35μm，頻率范圍為1-100Hz。為了量化分析不同頻率下，檢測所建模型與實(shí)際模型的相符程度，引入相對誤差RE（Relative Error）和均方根誤差RMSE（Root Mean Square Error）來描述近似程度。

圖7 建模效果圖

（紅色實(shí)線為實(shí)際輸出，藍(lán)色點(diǎn)線為模型輸出）

表1 模型誤差驗(yàn)證

實(shí)驗(yàn)部分采用對照實(shí)驗(yàn)的方法，驗(yàn)證了1-100Hz下單一頻率與復(fù)合頻率下的模型輸出與實(shí)際輸出的關(guān)系相對誤差均小于5%，驗(yàn)證了所提模型方法的有效性，對不同頻率的輸入具有一定的泛化能力。

3 控制器設(shè)計

Hammerstein逆模型包括MPI逆模型和ARX逆模型兩部分。作動器跟蹤控制的一般思路是的控制方式為建立Hammerstein逆模型方式對壓電作動器遲滯逆補(bǔ)償，從而減少遲滯帶來的影響。但是由于建模存在誤差，以及外界不可避免的干擾，使靜態(tài)逆補(bǔ)償方式，難以實(shí)現(xiàn)高精度的定位跟蹤控制。因此，本文采用基于LMS自適應(yīng)調(diào)節(jié)的方式動態(tài)調(diào)節(jié)Hammerstein逆模型的參數(shù)，使之逼近真實(shí)逆模型，跟蹤控制信號。

3.1 MPI逆模型

MPI逆模型為Play算子和Deadzone死區(qū)算子分別作為外層算子和內(nèi)層算子分別加權(quán)疊加。MPI逆模型表達(dá)式為：

根據(jù)文獻(xiàn)[14]可計算逆模型參數(shù)Play算子系數(shù)，Play算子閾值系數(shù)，死區(qū)算子系數(shù)和死區(qū)算子閾值系數(shù)。

3.2 ARX逆模型

在本課題實(shí)驗(yàn)中，采樣頻率為10kHz，可以利用近似逆的方式代替原模型的逆模型。

3.3 LMS自適應(yīng)算法

自適應(yīng)逆控制的實(shí)現(xiàn)需要解決對控對象的逆模型建立和自適應(yīng)算法的選擇兩個問題。對于逆模型建立，引入自適應(yīng)線性組合器的方法，將模塊化Hammer?stein模型表達(dá)為自適應(yīng)濾波器結(jié)構(gòu)；對于自適應(yīng)算法部分，引入權(quán)值更新算法動態(tài)調(diào)節(jié)Hammerstein逆模型中的可調(diào)節(jié)參數(shù)，最終實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的控制要求。

自適應(yīng)線性組合器結(jié)構(gòu)如圖8所示。

圖8 自適應(yīng)線性組合器圖

其中，μ為權(quán)值更新的步長。文獻(xiàn)[15]證明為矩陣R的跡，當(dāng)步長μ滿足0＜μ＜tr(R)-1時，權(quán)向量在平均意義上是收斂的。

對于圖9自適應(yīng)逆結(jié)構(gòu)，自適應(yīng)算法動態(tài)調(diào)節(jié)MPI逆模型的參數(shù)。Play算子的權(quán)值向量相對于死區(qū)算子權(quán)值向量對頻率變化更為敏感[16]，因此在自適應(yīng)算法調(diào)節(jié)中，可以對Play算子的權(quán)值進(jìn)行調(diào)節(jié)從而獲得更為精確的逆模模型。

圖9 自適應(yīng)線性組合器圖

將MPI逆模型中的閾值向量為Play算子的權(quán)值向量，這里可以看成線性組合器的權(quán)值向量，將其余部分表達(dá)式看為自適應(yīng)線性組合器部分。因此，公式（10）可以改寫為：

以離線構(gòu)建的Hammerstein逆模型作為初始控制器，自適應(yīng)逆控制過程利用LMS算法不斷調(diào)節(jié)向量，從而使逆模型不斷逼近真實(shí)逆模型，使主通道傳遞函數(shù)接近1，從而抵消遲滯特性對系統(tǒng)的影響，實(shí)現(xiàn)自適應(yīng)控制效果。

4 壓電作動器的跟蹤控制

通過比較作動器輸入和輸出關(guān)系，驗(yàn)證控制算法實(shí)時跟蹤能力，設(shè)計了六組控制對比實(shí)驗(yàn)：單一頻率正弦信號：10Hz、50Hz、100Hz；復(fù)合頻率正弦信號：10/20/40Hz、30/60/90Hz和10/30/50/70/90Hz。輸入信號幅值為40μm，采樣頻率為10kHz。實(shí)線表示理想輸出信號，點(diǎn)線表示作動器實(shí)際輸出，中間位置波動信號為誤差信號。

4.1 跟蹤控制結(jié)果

通過圖10為壓電作動器實(shí)時控制實(shí)驗(yàn)結(jié)果。

4.2 跟蹤控制結(jié)果

為了進(jìn)一步比較不同頻率下，自適應(yīng)逆控制效果，表2給出不同頻率下自適應(yīng)逆控制的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，以RE和RMSE進(jìn)行表示輸入與輸出的近似程度和離散程度。

從圖10和表2可知，自適應(yīng)控制實(shí)現(xiàn)了良好的跟蹤控制效果，減弱了遲滯非線性對壓電作動器的影響，提高了控制精度。因此，本文提出的基于Hammerstein模型的自適應(yīng)控制方法有效。

圖10 作動器實(shí)時控制結(jié)果圖

表2 壓電作動器實(shí)時控制效果分析

5 結(jié)語

針對壓電作動器率相關(guān)遲滯非線性特性，本文提出了基于Hammerstein模型的建模方法，利用MPI模型和ARX表征系統(tǒng)的靜態(tài)非線性和動態(tài)線性環(huán)節(jié)。利用LMS自適應(yīng)調(diào)節(jié)算法動態(tài)調(diào)節(jié)Hammerstein逆模型中的MPI模型參數(shù)，使之逼近真實(shí)逆模型，抵消遲滯對系統(tǒng)的影響，并通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證算法的有效性。

對于控制算法而言，傳統(tǒng)的PID控制效果難以滿意[17]；前饋+PID的控制方法的控制精度依賴于非常精確的建模精度，帶有PID反饋控制器決定了系統(tǒng)魯棒性差，難以自適應(yīng)調(diào)節(jié)；而采用自適應(yīng)逆控制方法可以在線調(diào)參，魯棒性和適用性強(qiáng)，而且不依賴建模，可以在模型不精確情況下實(shí)現(xiàn)較好的控制效果。因此，本文所提出的算法有具有較好的適用范圍和適用性。