初中幾何教學中“中點”問題的解題策略及案例

張鳳琴

摘 要：初中幾何教學是幾何問題的初級階段，也是基礎階段。對于初中生來說，學習數(shù)學的共性，往往是覺得面對幾何問題時不知該從何下手。而幾何圖像更是千變?nèi)f化，難以捉摸，并無捷徑可走，這也讓不少學生傷透了腦筋。面對幾何問題，只有多做題，多思考，不斷從中尋找規(guī)律，積累經(jīng)驗，才能真正學好這門課程。

關鍵詞：幾何中點；初中數(shù)學；解題策略

當我們解決幾何問題時，構(gòu)造輔助線，找到中點、中心、重心的位置，分析線段比例等，都能夠幫助我們很好地分析和解決問題。運用好“中點”這一要素，可以幫助我們快速地抓住要點，更快更準地完成答題任務。

一、見“中點”，要分析

（一）考慮中位線

在三角形中解決幾何問題時，如果已知一邊中點，第一步要考慮找到另一條邊的中點，將兩點連線，這條線便是該三角形的中位線。中位線的特點是，平行并等于第三條邊的一半。

比如下面這道例題：

已知三角形ABC中，點D是線段AB的中點，點E是線段AC的中點，證明DE=BC

（分析：由題可知點D和點E分別是線段AB和線段AC的中點，所以線段DE是三角形ABC的中位線，所以線段BC的長度等于兩倍線段DE的長度。）

解：∵D和E分別是AB和AC的中點

∴AD=AB

AE=AC

且∠DAE=∠BAC

∴△ABC∽△ADE

DE=BC

綜上：DE=BC

（二）特殊三角形首先考慮中線

當結(jié)題時遇到特殊的三角形，如直角三角形、等腰三角形、等邊三角形、等腰直角三角形等圖形時，首先找到特殊邊的中點。例如：找到直角三角形斜邊中點，將這個中點與直角的頂點相連，這條線為斜邊中線，長度為斜邊的一半。

例題：如圖2所示，△ABC為直角三角形，D為AB的中點，AC長為3cm，DC長2.5cm，求BC長度。

（分析：首先證明出直角三角形斜邊中線為斜邊的一半，再利用勾股定理求出BC長度。）

方法一：

解：如圖3所示，延長CD，使DE=CD。連接AE，EB

∵D是AB中點，CD是AB上的中線

∴AD=DB

∵CD=DE

∴四邊形ACBE是平行四邊形

∵∠ACB=90°

∴平行四邊形ACBE是矩形

∴AB=CE，AD=BD，CD=DE

∴AD=BD=CD=DE

∴CD=CE=AB

∴AB=2CD=5cm

∵AC2+BC2=AB2（勾股定理）

∴BC2=52-32

BC=4cm

答：BC長為4厘米。

方法二：（分析：利用三角形全等定理證明CD=AB，再通過勾股定理算出邊長。）

解：如圖4，過B點做一條垂直于BC的直線與CD延長線交于E點

∵∠ACB=∠EBC=90°

∴AC∥BE（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行）

∴∠CAB=∠ABE

在△ACD和△BDE中

∠CAB=∠ABE

D是AB中點

∴AD=DB

∠ADC=∠EDB

∴△ACD≌△BED（ASA）

∴AC=EB，CD=ED

∴在△ACB和△EBC中

AC=EB

∠ACB=∠EBC

CB=BC

∴△ACB≌△EBC（SAS）

∴∠DCB=∠ABC

∴CD=BD=AD

∵AB=2CD=5cm

∵AC2+BC2=AB2（勾股定理）

∴BC2=52-32

BC=4cm

答：BC長為4厘米。

特殊的三角形：等腰三角形的三線合一定理

（分析：利用三角形的全等知識，證明出等腰三角形的三線合一定理，從而解決相關問題。）

例題：如圖5所示，△ACB為等腰三角形，P為CB中點，

AB=5cm，AP=4cm，求BC的長度。

解：∵P是CB中點

∴CP=PB

∵△ACB是等腰三角形

∴AC=AB

∠C=∠B

AP是△ACP和△APB的公共邊

∴△APB≌△ACP

∠CAP=∠PAB

∴AP⊥CB（三線合一定理）

∠APB=90°

∴△ACP和△APB是直角三角形

根據(jù)勾股定理可知，

PB2+AP2=AB2

∵AB=5cm，AP=4cm

∴PB=3

∵P是CB中點

∴PB=PC=CB

BC=6cm

答：綜上，BC邊長為6厘米。

（三）做出以此中點為對稱中心的對稱圖形。

例題：如圖6，△ACB為直角三角形，D為AB邊上的中點，以D為中心，做△ABC的中心對稱圖形ABE。連接DE。因為中心對稱，所以△ABC≌△ABE。由此可知AC=EB，AE=CB，AD=DB=CD=DE=AB

綜合上述條件可以得出邊長關系，以便解決其他問題。

（四）一般的四邊形中點問題，可以轉(zhuǎn)化為三角形中線，中位線定理的應用，也就是連接一條對角線并找到它的中點。

二、創(chuàng)新型幾何教育教學工作的開展

教師在課堂教學時就要努力引導學生的思維，將那些學習有困難的學生拉入課堂討論中，提高他們的課堂參與感，從而激發(fā)他們學習的熱情。課下，也可以針對不同學習程度的學生進行有針對性的指導，在家庭作業(yè)方面可以對基礎較薄弱的學生進行單獨的講解，并留一些適合他們練習的題目。因材施教的方法讓不同程度的學生都能根據(jù)自己的理解能力，掌握幾何學習的節(jié)奏，從而幫助他們理解記憶，以便更好地提高成績。

在幾何教學中要注重幾何語言的應用。圖形語言、文字語言及符號語言是幾何語言的三種存在形式。老師不僅要鍛煉學生建立三種幾何語言的能力，還要培養(yǎng)其將三種語言相互轉(zhuǎn)化，并且適當運用的能力。因為三種語言的特點不盡相同，所以在幾何教學中也都各自發(fā)揮著不同的作用。例如圖形語言比較直觀，其形象生動的特質(zhì)能幫助學生更好地認識和理解相關問題；文字語言就比較抽象，不是那么容易理解，但是其概括性很強，可以對圖形本身和其中蘊含的條件進行準確的描述與解釋，并且對幾何的定理、公式、定義等內(nèi)容進行精確的表達，使學生能充分理解題目，加快做題進度，節(jié)省時間。符號語言是文字語言的又一次簡化，更加抽象，因此符號語言也是三種語言中最難掌握的一種。它對于幾何學習的初學者的邏輯推理能力要求相對較高。因此教育工作者在教學過程中，要抓住時機針對學生對這三種語言相互轉(zhuǎn)化方面的意識和能力進行訓練和提升。

在幾何學習中什么是證明？經(jīng)過分析推理出一個命題的正確性，這個邏輯推理的過程也就是我們所說的證明。那“推理過程”又是什么呢？解決具體問題時我們又該如何引導學生進行“推

理”呢？

正所謂“授之以魚，不如授之以漁”，教師所能教授的只是理論，只有學生自己擁有清晰的解題思路，掌握解題方法，才能做到舉一反三，游刃有余地解決問題。因此教師要講解尋找證明思路的方法。幾何學習中比較常用的解題方法是分析綜合法。也就是把所學證明方法進行綜合運用來論證命題的一種思維方式。從不同角度出發(fā)考慮問題，在解決較難問題時，會收到事半功倍的

效果。

幾何作為一門嚴謹?shù)膶W科。首先在學習態(tài)度上就要端正。幾何推理證明能力的養(yǎng)成是很漫長、很艱難的過程。不論是老師或是學生都不要操之過急，要有計劃性、有針對性地去學習。從簡單到復雜，由淺入深，使學生由被動學習變成主動學習。針對一些重難點，例如中點、重心、中位線等，要更加注重教學模式的改革，為學生打好基礎。

參考文獻：

張順燕.數(shù)學的源與流[M].北京：高等教育出版社，2004.

？誗編輯 李博寧