利用極限的計算來探求連續(xù)函數的極值點

揭 勛

(廣東文理職業(yè)學院，廣東 廉江 524400)

利用極限和函數在某點連續(xù)以及極值點的定義，可以探求連續(xù)函數的極值點，從而系統(tǒng)全面地解決連續(xù)函數的極值求解問題，這個方法思路一致且較易理解，可作為高校講授函數極值問題的補充方法或后繼課程.

1 關于一元連續(xù)函數的極值點

1.1 關于一元連續(xù)函數的極大值點

先看看一元連續(xù)函數的極大值及極大值點的定義[1]148.

定義1設連續(xù)函數f(x)在區(qū)間(a,b) 內有定義,x0∈(a,b), 如果對于x0兩側近旁的任意點x(x≠x0)，均有f(x)

我們知道，一元連續(xù)函數的極值點必然是駐點或不可導點，但駐點或不可導點則不一定是極值點.因此，結合一元函數在某點連續(xù)的定義[2]15,[3]29,[4]29及一元連續(xù)函數的極大值的定義，可得下面的結論：

上述結論也可描述為：

設點x0是一元連續(xù)函數f(x)的駐點或不可導點，在該點處，若Δx→0,則Δy→0-,即：

該結論把一元函數在某點連續(xù)的定義、極大值的定義和極大值點處的函數圖像特征聯(lián)系了起來，便于理解和記憶，依據該結論探求極大值點的計算過程也簡單易行.

1.2 關于一元連續(xù)函數的極小值點

根據一元連續(xù)函數極大值點的上述判斷方法，可以類似地判斷一元連續(xù)函數的極小值點.

定義2設連續(xù)函數f(x) 在區(qū)間(a,b) 內有定義,x0∈(a,b), 如果對于x0兩側近旁的任意點x(x≠x0)，均有f(x)>f(x0) 成立, 則稱f(x0) 是函數f(x) 的一個極小值, 點x0稱為f(x) 的一個極小值點[5]66,[6]91.

故有下面的結論：

也可以表述為：

1.3 關于一元連續(xù)函數的非極值點

1.4 關于一元連續(xù)函數極值問題的例題分析

解：該函數的定義域為(-∞，+∞)

1)在x=1處，

2)在x=0處，

3)在x=2處，

故x=1是函數f(x)的極大值點，此時的極大值是1；x=0是f(x)的極小值點，此時的極小值為0；x=2是f(x)的極小值點，此時的極小值為0.

例2討論函數f(x)=(x2-1)3+1的極值.

解：f(x)的定義域為R，f′(x)=6x(x2-1)2

故f(x)的駐點為x=-1或x=0或x=1，沒有不可導點.

由于f″(x)=6(x2-1)(5x2-1)，

故f″(-1)=f″(1)=0,因此，若試圖根據國內現行《高等數學》教材所介紹的方法：利用函數的二階導數(即利用極值的第二充分條件[6]93)來判斷駐點x=-1和x=1是否極值點，是不可行的.但我們可按本文介紹的方法來判斷，事實上

在x=1處，

上式中，若Δx→0+，則其結果是0+；但若Δx→0-，則其結果是0-，故其結果無法一致統(tǒng)一為0+或0-，故x=1不是f(x)的極值點.同理，經過計算極限后可判斷，點x=-1處也存在類似的結論，也不是f(x)的極值點；而x=0是極小值點，極小值為0.

2 關于二元連續(xù)函數的極值點

現行高校的教材對二元連續(xù)函數極值點的判斷要借助駐點的二階偏導數值來討論[7]218(其重大缺點是不考慮不可微點)，才能判斷駐點是否極值點，這種方法不可靠(會漏掉不可微點這類極值點)，只能求解某些函數的某些極值點.

我們可以參考上述一元連續(xù)函數極值點的判斷方法，進行思路延伸，探索出二元連讀函數[7]171的極值點的方法.

定義3設二元連續(xù)函數z=f(x,y)在點(x0,y0)的某鄰域內有定義，若對于該鄰域中任何不同于(x0,y0)的點(x,y)，成立不等式f(x,y)≤f(x0,y0) (或f(x,y)≥f(x0,y0))，則稱函數f(x,y)在點(x0,y0)處取得極大(或極小)值，點(x0,y0)稱為函數f(x,y)的極大(或極小)值點.

我們知道，若二元函數z=f(x,y)在某區(qū)域內連續(xù)，則其圖像一般是空間直角坐標系下的一個連續(xù)曲面，其極值點必然是駐點或一階偏導數不全(或全不)存在的不可微點，反之，駐點或一階偏導數不全(或全不)存在的不可微點不一定是極值點.在每個極大值點的某個鄰域，函數z=f(x,y)的圖像會從任意方向向極大值點處擠逼，形成圖像在極大值點處向上突起的現象，該極大值點處的函數值為該鄰域內函數的最大值；在每個極小值點的某個鄰域內，函數的圖像會從任意方向向極小值點處擠逼，形成圖像在極小值點處向下凹陷的現象，可以形象地理解到，該極小值點處的函數值為該鄰域內函數的最小值.若函數的某個駐點或一階偏導數不全(或全不)存在的不可微點處不具有上述圖像特征，則該駐點或不可微點必非極值點；若函數的某個駐點或一階偏導數不全(或全不)存在的不可微點處具有上述圖像特征，則該駐點或不可微點就是極值點.

受二元連續(xù)函數極值點處的圖像特征及受二元連續(xù)函數極值點的定義[8]68啟發(fā)，我們可以得出下列結論:

上述結論也可表述為：

同理，該結論也可表達為：

例3討論函數z=f(x,y)=-x2+y3+6x-12y+10的極值點.

解：借助函數的一階偏導數，可求得兩個駐點(3,2)和(3,-2)，它們是該函數所有的可能極值點.

1)在點(3,2)處，

顯然，上式的結果可能是0+，也可能是0-，故點(3,2)不是該函數的極值點.

2)在點(3,-2)處，

故點(3,-2)是該函數的極大值點，可求得極大值為35.

3 關于三元連續(xù)函數的極值點問題

這類問題，國內現行教材沒有提及.依照前述探討一元、二元連續(xù)函數極值問題的思路，可以得出求解三元連續(xù)函數極值的方法，以之作為相關知識的補充，可使學生的知識面得到系統(tǒng)性的加強.

根據三元函數在某點連續(xù)的定義及三元連續(xù)函數極值點的定義，得：

解：借助f(x,y,z)的一階偏導數，可知點(0,0,0)是一階偏導數全不存在的點，該點是函數唯一的可能極值點.在點(0,0,0)處，

故點(0,0,0)是f(x,y,z)的極小值點，易求得極小值是0.

4 關于n元連續(xù)函數的極值點問題

更有意義的是，利用極限和n元函數在某點連續(xù)的定義及極值點的定義，可以探求n元連續(xù)函數的極值點，可以系統(tǒng)全面地解決多元連續(xù)函數的極值求解問題，并為相關學科的相關計算提供可行的理論方法.這個方法思路一致且較易理解，可作為高校講涭函數極值問題的補充方法或后繼課程.

5 結語

極值是連續(xù)函數的重要性質之一，生產和科學實踐中常遇到的最優(yōu)化問題，就與函數的極值有著密切的關系.極值問題是高職院校《高等數學》和《經濟數學》的教學重點和難點，但現行教材并沒有全面系統(tǒng)地介紹多元連續(xù)函數極值的求解方法.本文論述的方法是：利用導數求出連續(xù)函數可能的極值點后，根據連續(xù)函數的特征及極值點的定義，借助極限的計算判斷出連續(xù)函數的全部極值點并求得所有的極值，為相關問題的計算提供了可行的方法，且對一元及多元連續(xù)函數的極值求解具有思維方法上及計算方法上的一致性，容易強化知識點之間的聯(lián)系，加強了學生對極值問題的系統(tǒng)性理解及發(fā)散性思維的培養(yǎng)，可以作為現行教材相關知識的必要補充或后繼內容.