為生長(zhǎng)而教，重構(gòu)另一種可能
——“分?jǐn)?shù)初步認(rèn)識(shí)（拓展）”教學(xué)嘗試與思考

□　北京市中關(guān)村第一小學(xué)　董文彬

一、課前慎思

在準(zhǔn)備“分?jǐn)?shù)初步認(rèn)識(shí)（拓展）”這節(jié)課之前，一件很有意思的事情激發(fā)了我的思考。

2017年6月，一次組內(nèi)教研會(huì)，議題是“單元質(zhì)量評(píng)價(jià)命題討論”，內(nèi)容是北師大版三年級(jí)下冊(cè)“認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)”單元。樣卷中有這樣一道題目：三年級(jí)學(xué)生已經(jīng)初步完成了對(duì)分?jǐn)?shù)意義的建構(gòu)與認(rèn)識(shí)：一個(gè)物體或圖形作為整體的分?jǐn)?shù)認(rèn)識(shí)、一群（多個(gè)）物體或圖形作為整體的分?jǐn)?shù)認(rèn)識(shí)，這里“整體”意義因得到拓展而內(nèi)涵豐富；分?jǐn)?shù)表示的是一個(gè)整體的一個(gè)部分，是整體與部分相互依存的數(shù)量關(guān)系；在用畫圖的方式表征一個(gè)分?jǐn)?shù)的意義時(shí)，積累了由面積模型到集合模型的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，包括操作的經(jīng)驗(yàn)和思維的經(jīng)驗(yàn)。

以上學(xué)習(xí)背景分析，激起了我一連串的疑問(wèn)和思考：這樣的題目真的“越界”、“超標(biāo)”了嗎？學(xué)生還沒(méi)進(jìn)一步延伸學(xué)習(xí)“分?jǐn)?shù)的意義”和“分?jǐn)?shù)乘法”就不能解決了嗎？現(xiàn)有對(duì)分?jǐn)?shù)的認(rèn)知和經(jīng)驗(yàn)?zāi)芊駧椭鷮W(xué)生解決此類問(wèn)題？如果真把這樣的問(wèn)題拋給學(xué)生，學(xué)生的接受度會(huì)如何？會(huì)有怎樣的反饋與表現(xiàn)？三年級(jí)兒童對(duì)分?jǐn)?shù)理解的生命力到底有多強(qiáng)？我想知道，我真的想知道。

第一，我思考教什么。

以這類題目作為學(xué)習(xí)素材依托，不可能延伸挖掘到五年級(jí)“分?jǐn)?shù)其它意義內(nèi)涵”，更不可能把“分?jǐn)?shù)乘法”內(nèi)容拿過(guò)來(lái)學(xué)，既不能“越界”，也不能“超標(biāo)”。再思：分?jǐn)?shù)的意義是分?jǐn)?shù)運(yùn)算的基礎(chǔ)，分?jǐn)?shù)運(yùn)算是對(duì)分?jǐn)?shù)意義的再認(rèn)識(shí)。這節(jié)課可以不挖掘分?jǐn)?shù)意義的其它維度如“比率”“商”“度量”和“運(yùn)算”，但可以通過(guò)畫圖、運(yùn)算表征問(wèn)題，對(duì)分?jǐn)?shù)“部分———整體”關(guān)系的意義作進(jìn)一步的再認(rèn)識(shí)，可以不教“分?jǐn)?shù)乘法”運(yùn)算，但可以在解決問(wèn)題的過(guò)程中溝通分?jǐn)?shù)與乘除法運(yùn)算之間的聯(lián)系，進(jìn)而貫通分?jǐn)?shù)問(wèn)題與整數(shù)混合運(yùn)算問(wèn)題之間的聯(lián)系。這節(jié)課能否讓學(xué)生感受到這幾個(gè)層面？我想嘗試一下，我想重構(gòu)另一種可能。

第二，我思考怎么教。

從情感態(tài)度來(lái)說(shuō)，我希望學(xué)生親近數(shù)學(xué)、喜歡數(shù)學(xué)、喜歡思考，因此我想讓學(xué)生在本節(jié)課經(jīng)歷不斷嘗試、不斷發(fā)現(xiàn)、不斷質(zhì)疑、不斷收獲的學(xué)習(xí)過(guò)程；從思維路徑來(lái)說(shuō)，我希望學(xué)生探討的問(wèn)題“由此及彼”、“層層剝繭”、“大道至簡(jiǎn)”、“由簡(jiǎn)馭繁”；從思想方法來(lái)說(shuō)，我希望學(xué)生基于對(duì)分?jǐn)?shù)核心概念的進(jìn)一步再認(rèn)識(shí)的同時(shí)，能夠自主發(fā)現(xiàn)、構(gòu)建和表達(dá)對(duì)數(shù)學(xué)必要的聯(lián)系；從學(xué)習(xí)方式來(lái)說(shuō)，我努力篤行在思維工具撬動(dòng)、小組合作學(xué)習(xí)中，生生互動(dòng)，分享交流，變“一言堂”為“群言堂”，在以“學(xué)”為中心的現(xiàn)場(chǎng)關(guān)注學(xué)生的實(shí)際獲得，發(fā)現(xiàn)兒童數(shù)學(xué)生長(zhǎng)的美好，讓深度學(xué)習(xí)真正發(fā)生。

就這樣，在不斷審視與重建的思考中，“分?jǐn)?shù)初步認(rèn)識(shí)（拓展）”這節(jié)課已基本成型了！

二、課中踐行

1、回顧舊知，喚醒經(jīng)驗(yàn)

師：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了分?jǐn)?shù)，說(shuō)說(shuō)到目前為止你對(duì)分?jǐn)?shù)已經(jīng)有了哪些認(rèn)識(shí)？

生：我知道分?jǐn)?shù)是分東西“分”出來(lái)的，比如兩個(gè)人一個(gè)蘋果，平均每個(gè)人得到的就是這個(gè)蘋果的一半，也就是。

生：我補(bǔ)充，為了公平，分的時(shí)候不能瞎分，一定要平均分，每份要分的一樣多才行。

生：對(duì)，分?jǐn)?shù)必須要“平均分”，分得“不平均”，不能用分?jǐn)?shù)表示。

生：我知道分?jǐn)?shù)各部分的名稱，比如，這是分?jǐn)?shù)線，4是分母，3是分子，讀作四分之三。

師：那這個(gè)分?jǐn)?shù)表示什么意思呢？解釋解釋。

生：就是把一個(gè)整體，比如說(shuō)一塊月餅，把它給平均分成4份，取其中的3份。4表示平均分的總份數(shù)，3表示取的份數(shù)。

師：嗯，整體在這里指分的是一塊月餅、一個(gè)物體，還可以分———

生：很多塊月餅、一群東西。

師：下面請(qǐng)自己寫一個(gè)分?jǐn)?shù)，并用你喜歡的方式表示出這個(gè)分?jǐn)?shù)的意思。

（生在學(xué)習(xí)單上寫、畫。）

展示交流學(xué)生作品如下（略）。

（注：有學(xué)生在圖中標(biāo)注“△”，是為表示分的每份一樣多，這是我所教班級(jí)學(xué)生特有的圖示“密碼”。下同。）

【思考：通過(guò)回顧前期對(duì)分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)，特別是自主舉例，用自己的方式表示分?jǐn)?shù)的意思，喚醒學(xué)生已有的知識(shí)、思維經(jīng)驗(yàn)，也為后面解決問(wèn)題、探究發(fā)現(xiàn)積累圖形表征的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。需要說(shuō)明的是，“平均分”一個(gè)單獨(dú)圖形或物體的學(xué)生還是占絕大多數(shù)，只有少數(shù)學(xué)生想到了“平均分”一個(gè)“群體”來(lái)表示分?jǐn)?shù)意義，這是三年級(jí)學(xué)生的現(xiàn)實(shí)情況。既體現(xiàn)了本節(jié)課設(shè)計(jì)的重要價(jià)值，也說(shuō)明了五年級(jí)再次認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)時(shí)“平均分的對(duì)象主要是群體”的延伸的必要性。】

2、解決問(wèn)題，融通生長(zhǎng)

①初步感受。

出示“問(wèn)題 1”：

師：已知哪些信息？要解決什么問(wèn)題？

師：你覺(jué)得哪個(gè)信息特別關(guān)鍵？

師：這個(gè)信息怎么理解，這里的是什么意思？

生：這盒巧克力中有白色的，還有其它顏色，但白色占了這盒巧克力總塊數(shù)。

生：就是把這盒巧克力6塊看成一個(gè)整體，把它平均分成3份，其中的1份就是白巧克力。

師：不著急列式，請(qǐng)你先在學(xué)習(xí)單上畫一畫、分一分，畫圖描述問(wèn)題表達(dá)清楚你的思考過(guò)程，再想想可以怎樣列算式解決。

（生在學(xué)習(xí)單上畫、分、寫，師巡視指導(dǎo)。之后展示交流學(xué)生作品。）

陳企：我是這樣想的（指下圖），用小方形代表一塊巧克力，一盒巧克力總共有6塊，我就畫出了6個(gè)小方形，這些小方形看成一個(gè)整體，先平均分成3份，每份是2個(gè)。白色巧克力占了一盒，也就是3份中的1份，1份是2塊，那白巧克力就是2塊。

生：我同意你的想法，你的思路也很清晰，可是你沒(méi)有列算式呀？

陳企：從圖中就可以直接看出結(jié)果了，我圈出來(lái)的1份是2塊就是白巧克力的塊數(shù)，我就沒(méi)列算式。

師：如果畫圖已經(jīng)清晰地表達(dá)出了思考的過(guò)程和結(jié)果，完全可以不列算式。其實(shí)這里是有算式的，也有同學(xué)寫出來(lái)了，誰(shuí)來(lái)分享一下？

馬敏程：我寫的算式是6÷3＝2（塊），畫圖后我發(fā)現(xiàn)其實(shí)我們要解決的問(wèn)題就是把6塊巧克力平均分成3份，求1份是多少，用除法計(jì)算。

生：同意，我也是這樣寫的算式。

師：列了算式的同學(xué)還有誰(shuí)也是這樣算的？

（全班45人有42名同學(xué)舉手。）

師：我們?cè)賮?lái)分享幾個(gè)典型的解答。

師：你能讀懂嗎？有什么感受？

郭簡(jiǎn)寧：他們畫的圖不一樣，第一個(gè)是用一個(gè)大圓表示一盒巧克力，第2個(gè)是用6個(gè)小圓表示一盒巧克力，第3個(gè)是用一條線段表示1盒巧克力。

張明浩：雖然他們畫的圖不一樣，但都表示出了這個(gè)分?jǐn)?shù)，都是把一盒巧克力看成一個(gè)整體平均分成3份，求其中的1份是多少，都是用除法算式6÷3來(lái)解決。

師：真好！掌聲送給以上同學(xué)！

【思考：從簡(jiǎn)單的分?jǐn)?shù)問(wèn)題開始，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)畫圖描述問(wèn)題、表達(dá)思考過(guò)程，學(xué)生畫圖表征的過(guò)程，其實(shí)就是在進(jìn)一步理解分?jǐn)?shù)，是對(duì)分?jǐn)?shù)意義的再認(rèn)識(shí)。畫圖后用算式解決，是為了讓學(xué)生初步感受在解決問(wèn)題中分?jǐn)?shù)與整數(shù)除法運(yùn)算之間的聯(lián)系?！?/p>

②拾級(jí)而上。

課件出示“問(wèn)題2”：

師：已知哪些信息？要解決什么問(wèn)題？

生：巧克力換規(guī)格了，已知這種巧克力一盒有9塊，要把這盒巧克力給奇思。求奇思能分得多少塊巧克力。

生：就是把這盒巧克力9塊看成一個(gè)整體，把它平均分成3份，其中的2份給奇思。

師：能解決嗎？獨(dú)立嘗試一下。同樣，先畫圖描述、分析問(wèn)題的意思，把你的思考過(guò)程表示清楚。再想想可以怎樣計(jì)算解決。

（生獨(dú)立解決，師巡視指導(dǎo)。之后展示交流。）

王岳洲：我是這樣想的，用一個(gè)三角代表一塊巧克力，一盒有9塊，我就畫9個(gè)三角。然后把它們看成一個(gè)整體平均分成3份，每份就是這盒巧克力，奇思分，也就是分得其中的2份。要求2份是多少就要先算1份是多少，列式是9÷3＝3（塊），再用1份乘2就是2份的塊數(shù)，列式是2×3＝6（塊），所以奇思共分得6塊巧克力。

生：圖畫得很好，思路很清晰！

生：王岳洲是分步列式，我是用綜合算式9÷3×2，最后結(jié)果也得6塊。

生：我也列的綜合算式2×（9÷3），計(jì)算完也是6塊。

師：我們?cè)賮?lái)看幾個(gè)同學(xué)的作品。

師：他們的解答怎么樣？評(píng)價(jià)評(píng)價(jià)。

生：他們畫的圖不一樣，但解答方法都是一樣的。

生：列算式的思路也一樣，都是先用除法算式9÷3算出1份是3塊，再用乘法算式3×2求出2份是6塊。

師：你們數(shù)學(xué)的眼光很敏銳！還有問(wèn)題嗎？

姚博元：我還有不同想法。

師：快和大家分享一下。

姚博元：（指下圖）我同時(shí)畫了2個(gè)圖，和前面同學(xué)的意思都差不多。但我列出了兩個(gè)綜合算式，第一個(gè)也和剛才大家探討的一樣，但第二個(gè)我列的是9－9÷3，9÷3算的是1這盒巧克力3份里的1份是3塊，通過(guò)畫圖能看出，奇思分走后還剩下，也就是說(shuō)剩下的巧克力也占1份，所以只要用這盒巧克力的總塊數(shù)減去剩下的1份就行了。

生（齊）：哦——

（教室里自發(fā)地響起掌聲）

王雅祺：這個(gè)思路也很好。但我認(rèn)為無(wú)論哪種方法關(guān)鍵都要先算出1份是多少才行。

生：有道理！

師：真是一針見血！再次把掌聲也送給雅祺！

【思考：“問(wèn)題2”比“問(wèn)題1”要稍復(fù)雜一些，求的不再是“1份”，而是其中的“2份”，所以算式也要多一步。順著思維的臺(tái)階拾級(jí)而上，讓學(xué)生在解決問(wèn)題中再次理解這個(gè)分?jǐn)?shù)的意義，進(jìn)而感受分?jǐn)?shù)與除法、整數(shù)混合運(yùn)算之間的聯(lián)系，同時(shí)體會(huì)解決問(wèn)題時(shí)思維路徑的多樣性?！?/p>

③層層深入。

師：接下來(lái)這個(gè)問(wèn)題有點(diǎn)復(fù)雜，還敢挑戰(zhàn)嗎？

生（齊）：敢！

課件出示“問(wèn)題3”：

師：說(shuō)說(shuō)信息、問(wèn)題分別是什么？

生：奇思剛剛分到了6塊巧克力，笑笑告訴他說(shuō)，你分到的塊數(shù)占現(xiàn)在這盒巧克力的。求現(xiàn)在這盒巧克力有多少塊。

出示“學(xué)習(xí)建議”：

1、獨(dú)立思考：畫圖描述、分析問(wèn)題的意思，把你的思考過(guò)程表示清楚。再想想可以怎樣計(jì)算解決。

3、小組分享：結(jié)合圖與算式，說(shuō)清楚你分析問(wèn)題的思路、想法。

（生畫圖、思考、組內(nèi)交流，師巡視指導(dǎo)，之后展示小組學(xué)習(xí)成果全班交流。）

展示王逸飛組成果（小組2人接力匯報(bào)）：

王逸飛：我們組的想法是這樣的，我們用一個(gè)圓圈代表一塊巧克力，奇思吃了6塊，就先畫出6個(gè)圓圈，涂上陰影表示吃的。奇思分到的占這盒巧克力的，意思就是把這盒巧克力平均分成4份，奇思分到了其中的3份，那就是說(shuō)還剩1份。

陳一元：3份是6塊，那1份就是2塊。因?yàn)槠嫠挤值搅?塊后還剩1份，只要在6個(gè)圓圈后面再畫2個(gè)就行了，所以這盒巧克力一共有8塊。

生：我明白了，你們的想法就是用奇思分到的6塊加上剩下的，而剩下的正好是4份里的1份，也就是2塊，就得出這盒巧克力的總塊數(shù)了。

生：我覺(jué)得他們組圖畫得非常好，通過(guò)圖就能一眼看出其中的一些關(guān)系了。

師：嗯，不錯(cuò)！通過(guò)畫圖描述、分析，一目了然！還有不同解決方法嗎？

李宇涵：我們組是這樣畫的（指下圖）。我們是用一個(gè)長(zhǎng)條表示這盒巧克力，把它平均分成4份，其中這3份就是奇思分到的6塊。我們要求的是整盒巧克力是多少，就是求圖中的4份是多少。

薛言渡：要求4份是多少，就得知道1份是多少，1份是6÷3，算4份再用1份的乘4，列算式就是6÷3×4＝8（塊），這樣就求出了這盒巧克力總共有8塊。

生：你們組是把這盒巧克力分了之后，先求出1份是多少，再求4份也就是1盒是多少。

生：李宇涵她們與前面那個(gè)組，方法不同，但都得先求出1份是多少塊。

生：其實(shí)不管王逸飛他們組還是李宇涵組，都畫出了問(wèn)題中“1份”的意思，通過(guò)他們畫的圖就能很清楚地看到淘氣分到的、剩下的、和整盒巧克力之間的關(guān)系。

師：的確是這樣。通過(guò)畫圖描述問(wèn)題的意思，把分?jǐn)?shù)按照理解畫出來(lái)，再分析其中的數(shù)量關(guān)系，問(wèn)題就迎刃而解了。為你們的分享和交流點(diǎn)贊！

【思考：“問(wèn)題 3”比“問(wèn)題 1”和“問(wèn)題 2”還要稍復(fù)雜一些，是本次設(shè)計(jì)“問(wèn)題鏈”的最頂端。相比前面的已知“整體”求“部分”，這個(gè)問(wèn)題是已知“部分”求“整體”，思維路徑不同，但解決問(wèn)題的關(guān)鍵都是在理解分?jǐn)?shù)意義的基礎(chǔ)上先求“1份是多少”。同時(shí)多一個(gè)問(wèn)題角度豐富對(duì)分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識(shí)，并再次感受分?jǐn)?shù)與除法、整數(shù)混合運(yùn)算之間的聯(lián)系。】

4、溝通關(guān)聯(lián)，建立新知

師：剛才我們探究了有關(guān)分?jǐn)?shù)的問(wèn)題，回想一下解決這三個(gè)問(wèn)題的過(guò)程，有沒(méi)有共同之處？

生：都是畫圖分析的。

生：都要先明白問(wèn)題中那個(gè)分?jǐn)?shù)的意思，才能把圖畫對(duì)，也才能分析對(duì)。

生：我發(fā)現(xiàn)原來(lái)都是分?jǐn)?shù)問(wèn)題，可最后我們列出的算式都是整數(shù)的算式。

師：沒(méi)錯(cuò)，其實(shí)今天我們探討的分?jǐn)?shù)問(wèn)題的解決思路，其實(shí)以前就認(rèn)識(shí)過(guò)。比如本學(xué)期第一單元就解決過(guò)類似的問(wèn)題。

課件出示下圖：

生（齊）：哦——

生：混合運(yùn)算問(wèn)題，以前學(xué)過(guò)。

生：都要先求1份是多少！

生：對(duì)，都要先用除法算出1份是多少，再用乘法算出幾份是多少，這和我們這節(jié)課解決的后兩個(gè)問(wèn)題一樣。

生：這節(jié)課解決的第一個(gè)問(wèn)題其實(shí)也學(xué)過(guò)，就是簡(jiǎn)單的除法問(wèn)題。

生：可是又不完全一樣，以前學(xué)的是整數(shù)除法、混合運(yùn)算，今天解決的是分?jǐn)?shù)問(wèn)題。

生：可是我們不是通過(guò)分析把分?jǐn)?shù)問(wèn)題變成了整數(shù)除法和混合運(yùn)算嗎？一樣！

師：看來(lái)，我們今天探討的分?jǐn)?shù)問(wèn)題和以前學(xué)過(guò)的除法問(wèn)題、混合運(yùn)算問(wèn)題聯(lián)系很大。想想為什么會(huì)有這樣的聯(lián)系？

生：我知道了，都是平均分東西！你看啊，平均分的問(wèn)題就用除法解決，而分?jǐn)?shù)也是平均分東西分出來(lái)的，都和平均分有關(guān)，分?jǐn)?shù)的問(wèn)題就可以變成除法運(yùn)算問(wèn)題了。

生：哦——有道理。

（教室里自發(fā)地響起掌聲）

師：好棒！能找到知識(shí)方法之間的聯(lián)系，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的最高境界！課雖然結(jié)束了，但我們對(duì)分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)、對(duì)問(wèn)題的探索永無(wú)止境。

【思考：通過(guò)對(duì)解決問(wèn)題學(xué)習(xí)過(guò)程的反思和回顧，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)之間的關(guān)聯(lián)：溝通新知與舊知之間的聯(lián)系，分?jǐn)?shù)問(wèn)題與整數(shù)運(yùn)算問(wèn)題之間的聯(lián)系，分?jǐn)?shù)與除法之間的聯(lián)系。以及為什么會(huì)有這樣的聯(lián)系，讓學(xué)生知其然也知其所以然，最終對(duì)分?jǐn)?shù)建立和形成新的認(rèn)識(shí)。這是分?jǐn)?shù)認(rèn)識(shí)角度的另一種可能，在這個(gè)意義上我們能夠看到學(xué)生的另一重?cái)?shù)學(xué)生長(zhǎng)?！?/p>

三、課后明辨

關(guān)于這節(jié)課，我確實(shí)考慮了很多。以至于在開始的研究中，我總想帶著學(xué)生反思回顧，總結(jié)收獲，拓展提升?，F(xiàn)在的課上，我舍掉了。我舍得對(duì)嗎？對(duì)，我的直覺(jué)告訴我對(duì)。課上到最后，已經(jīng)不需要總結(jié)了，通過(guò)學(xué)生之間的生生互動(dòng)、交流思辨就可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在這堂課上收獲了怎樣的成果，那是一種深度的自然生長(zhǎng)，一種別開生面的生長(zhǎng)。學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)重新打開了一個(gè)角度，分?jǐn)?shù)與除法之間的聯(lián)系，分?jǐn)?shù)問(wèn)題與除法運(yùn)算問(wèn)題之間的聯(lián)系。我只是幫助學(xué)生學(xué)生提供了一座橋，課堂上實(shí)現(xiàn)了另一種可能，而這種可能是由學(xué)生建構(gòu)的、創(chuàng)造的。

鄭毓信教授說(shuō)：“數(shù)學(xué)課中我們所希望看到的是學(xué)生能養(yǎng)成一種新的精神，它并非與生俱來(lái)，而是后天養(yǎng)成的理性精神。”而這種理性精神的培育主要來(lái)自于兒童在課堂中的數(shù)學(xué)生長(zhǎng)，我們的數(shù)學(xué)教育應(yīng)該為兒童的生長(zhǎng)而教，生長(zhǎng)會(huì)創(chuàng)造新的可能性，而構(gòu)建數(shù)學(xué)聯(lián)系又是數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)、數(shù)學(xué)生長(zhǎng)的核心一環(huán)。

審視———重建！

關(guān)聯(lián)——重塑！

生長(zhǎng)——可能！

我想，下節(jié)課，我有了篤行的新方向！