Copula相依序列與Copula自回歸模型探討

李述山

（山東科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，山東 青島 266590）

0 引言

時(shí)間序列分析在自然科學(xué)、管理科學(xué)和社會、經(jīng)濟(jì)、金融等領(lǐng)域具有廣泛應(yīng)用，針對平穩(wěn)時(shí)間序列，經(jīng)典的線性模型是自回歸滑動平均模型（ARMA），這些線性模型的最大優(yōu)點(diǎn)是簡單并且只要不多的參數(shù)就能很好地?cái)M合平穩(wěn)時(shí)間序列。但是這些模型只能部分地利用時(shí)間序列不同期間的線性相關(guān)性信息，而不能利用非線性相關(guān)性信息，也無法解釋金融統(tǒng)計(jì)及一般經(jīng)濟(jì)學(xué)中觀察到的“波動集聚性”、分布的“厚尾”等現(xiàn)象，不能刻畫條件異方差性，為此恩格爾等發(fā)展了條件異方差類模型[1]以解釋上述現(xiàn)象，然而，這些模型同樣無法充分地利用時(shí)間序列中蘊(yùn)含的非線性相關(guān)信息。

Copula理論[2,3]在非線性相依性分析[4]、金融風(fēng)險(xiǎn)管理[5-7]、資產(chǎn)組合優(yōu)化[8,9]、非線性回歸預(yù)測[10]等方面具有廣泛的應(yīng)用。本文通過對嚴(yán)平穩(wěn)序列有限維分布族的相關(guān)結(jié)構(gòu)的研究提出了Copula相依序列的概念，對Copula相依序列的性質(zhì)進(jìn)行了探討，研究了Copula相依序列與嚴(yán)平穩(wěn)序列之間的關(guān)系。針對Copula相依序列，以Copula與Pair-Copula為工具建立了一類新的非線性模型——Copula自回歸模型，該模型能夠更充分地利用序列中的非線性相關(guān)信息。探討了模型的參數(shù)估計(jì)方法、相依階數(shù)的確定方法，給出基于Copula自回歸模型的點(diǎn)預(yù)測、區(qū)間預(yù)測方法以及時(shí)變風(fēng)險(xiǎn)估計(jì)方法。并以實(shí)際算例說明Copula自回歸模型的有效性。

1 Copula相依序列及其性質(zhì)

1.1 Copula相依序列的定義

首先由嚴(yán)平穩(wěn)序列的定義及Copula理論可知引理1及引理2。

引理1：設(shè){Xt，t∈N}為一嚴(yán)平穩(wěn)序列，具有相同的一維分布密度 f(x)及一維分布函數(shù)F(x)，則：

（1）對任意正整數(shù)m，存在唯一的m+1元Copula函數(shù) Cm，1（相應(yīng)的 Copula密度函數(shù)為 cm，1），使得 (Xt-m，Xt-m+1，···，Xt)的聯(lián)合分布函數(shù)與聯(lián)合密度函數(shù)不依賴于t，分別為：

（2）對 任 意 正 整 數(shù) k＜m ，Cm，1(1， ···1，u1，···，

（3）在 (Xt-m，···，Xt-1)=(x1，···，xm)條件下，Xt的條件密度函數(shù)不依賴于t，且為：

（4）在 (Xt-m，···，Xt-1)=(x1，···，xm)條件下，Xt-m-1的條件密度函數(shù)不依賴于t，且為：

引理2：設(shè){Xt，t∈N}為一嚴(yán)平穩(wěn)序列，具有相同的一維分布密度 f(x)及一維分布函數(shù)F(x)，則：

（1）對任意正整數(shù)m及l(fā)，存在唯一的m+1元Copula函數(shù) Cm，-l（ cm，-l為相應(yīng)的 Copula 密度函數(shù)）使得(Xt-m-l，Xt-m，Xt-m+1，···，Xt-1)的聯(lián)合分布函數(shù)與聯(lián)合密度函數(shù)不依賴于t，分別為：

（2）在 (Xt-m，···，Xt-1)=(x1，···，xm)條件下，Xt-m-l的條件密度函數(shù)不依賴于t，且為：

在時(shí)間序列的建模中，如何充分地利用時(shí)間序列以前（t-1及其以前）的信息對將來（t及以后）進(jìn)行點(diǎn)預(yù)測、區(qū)間預(yù)測等統(tǒng)計(jì)推斷是建立時(shí)間序列模型的關(guān)鍵，如果在已知Xt的若干個(gè)滯后期的取值信息的條件下，Xt與其他滯后期無關(guān)，那么，這些滯后期包含了所有滯后期中包含的關(guān)于Xt的信息，從而利用這些滯后期的信息可以對Xt進(jìn)行優(yōu)良的統(tǒng)計(jì)推斷，為此本文提出如下Copula相依序列的概念。

定義1：設(shè){Xt，t∈N}為一隨機(jī)序列，具有相同的一維分布密度 f(x)，若存在正整數(shù)k使得：

（1）對任意的 t＞k，t∈N ，(Xt-k，Xt-k+1，···，Xt)具有相同的Copula函數(shù)；

（2）在 (Xt-k+1，···，Xt-1)已知條件下，Xt與 Xt-k不條件獨(dú)立；

（3）對任意的 l＞0，在 (Xt-k，···，Xt-1)已知條件下，Xt與Xt-k-l條件獨(dú)立，

則稱{Xt，t∈N}為 k 階Copula相依序列（CDS（k）），正整數(shù)k稱為相依階數(shù)。所有k（k≥1）階Copula相依序列統(tǒng)稱為Copula相依序列（CDS）。

由定義1可以看出，若{Xt，t∈N}為 k階Copula相依序列（CDS），則有：

（4）對任意的 t＞k，t∈N ，(Xt-k，Xt-k+1，···，Xt)具有相同分布，且不依賴t；

（5）對任意的 l＞0，在 (Xt-k，···，Xt-1)已知條件下，Xt與 (Xt-k-1，···，Xt-k-l)條件獨(dú)立。

1.2 Copula相依序列的性質(zhì)

由定義1、引理1、引理2及數(shù)學(xué)歸納法易知定理1及定理2。

定理1：若{Xt，t∈N}為嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)序列，且滿足定義1中的條件（2）及條件（3），則{Xt，t∈N}為 k階Copula相依序列。

定理2 ：{Xt，t∈N}為Copula相依序列，則{Xt，t∈N}為嚴(yán)平穩(wěn)序列。

推論1：{Xt，t∈N}為Copula相依序列，引理1及引理2中的結(jié)論全部成立。

推論2 ：{Xt，t∈N}為 k階Copula相依序列，則對任意的l≥1，在 (Xt-k-l,···,Xt-k,···,Xt-1)=(y1,···,yl,x1,···,xk)條件下與 (Xt-k,···,Xt-1)=(x1,···,xk)條件下 Xt的條件密度函數(shù)相同且不依賴于 t，且為 gk，1(y|x1，x2，···，xk)。

推論3：{Xt，t∈N}為k階Copula相依序列，且二階矩存在，則在 (Xt-k，···，Xt-1)條件下 Xt的條件數(shù)學(xué)期望及條件方差分別為：

推論3表明，Copula相依序列可以刻畫分布的條件異方差性。

1.3 相依階數(shù)的確定

根據(jù)定義1，一個(gè)Copula相依序列為k階Copula相依序列的充要條件為:在 (Xt-k+1，···，Xt-1)已知條件下，Xt與 Xt-k不條件獨(dú)立，而對任意的 l＞0 ，在 (Xt-k，···，Xt-1)已知條件下，Xt與Xt-k-l條件獨(dú)立。要解決這一問題，首先要確定相應(yīng)的聯(lián)合分布及條件分布，為此根據(jù)Pair-Copula理論給出引理3。

引理3：{Xt，t∈N}為 k 階Copula相依序列，具有相同的一維分布密度 f(x)及一維分布函數(shù)F(x)，{xt，t∈N}為序列的一個(gè)實(shí)現(xiàn)，記分別為在條件下(Xi，Xj)的條件Copula密度函數(shù)與條件Copula分布函數(shù)條件下 Xi的條件分布函數(shù)，則對任意的t＞k，t∈N 有：

（1）(Xt-k，Xt-k+1，···，Xt)的聯(lián)合分布不依賴 t，具有相同的Pair-Copula分解

其中等式右端的xk+1=y。

（2）對任意的 t，在 (Xt-k，···，Xt-1)=(x1，···，xk)條件下，Xt的條件密度函數(shù)不依賴t，且為：

（3）對任意的 t，在 (Xt-k，···，Xt-1)=(x1，···，xk)條件下，Xt-k-l的條件密度函數(shù)不依賴t，且為:

其中等式右端的xk+1=y。

引理4：(Xt-k，···，Xt-1)已知條件下 Xt與 Xt-k-l條件獨(dú) 立 的 充 要 條 件 為 Gk，1(Xt|Xt-k，···，Xt-1) 與Gk，-l(Xt-k-l|Xt-k，···，Xt-1) 獨(dú)立。其中 Gk，1與 Gk，-l分別為 gk，1與 gk，-l相應(yīng)的條件分布函數(shù)，可由條件Copula公式獲得[3]。

因此階數(shù)是否為k的檢驗(yàn)問題可以轉(zhuǎn)化為如下的假設(shè)H01與H02同時(shí)為真的檢驗(yàn)問題：

H01∶ Gk-1，1(Xt|Xt-k+1， ···，Xt-1) 與 Gk-1，-1(Xt-k|Xt-k+1，···，Xt-1)不獨(dú)立；

H02∶ Gk，1(Xt|Xt-k，···，Xt-1) 與 Gk，-l(Xt-k-l|Xt-k，···，Xt-1)獨(dú)立，l≥1；

引理 5：設(shè) (X，Y)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，(xi，yi)，i=1，2，···n 為樣本觀察值，記(yi-yj)，則在原假設(shè)“H0∶ X與Y獨(dú)立”成立時(shí)有：

由引理5，對于Copula相依序列{xt，t=1，2，···，T}，針對假設(shè) H01的檢驗(yàn)問題 ，可 以以 (Gk-1，1(xt|xt-k+1，···，xt-1)，Gk-1，-1(xt-k|xt-k+1，···，xt-1))，t=k+1，···，T 為樣本對其 進(jìn) 行 檢 驗(yàn) ，而 以 (Gk，1(Xt|Xt-k， ···，Xt-1)，Gk，-l(Xt-k-l|Xt-k，···，Xt-1))，l≥1，t=k+l+1，···，T 為樣本對假設(shè) H02進(jìn)行檢驗(yàn)。

2 Copula自回歸模型

2.1 Copula自回歸模型的建立

設(shè) {Xt，t∈N}為 k 階 Copula相依序列（CDS（k）），{xt，t=1，2，···，T}是長度為 T 的時(shí)間，由定理2可知，在t-1及其以前的信息已知的條件下，xt僅與 xt-1···xt-k相關(guān)，而與 xt-k+1，xt-k+2···無關(guān)，因此，如果僅僅利用時(shí)間序列t-1及其以前的信息對序列t時(shí)刻的取值進(jìn)行預(yù)測，那么通過建立以xt為因變量，以xt-1···xt-k為自變量的回歸模型就可以達(dá)到最優(yōu)預(yù)測，相應(yīng)的回歸函數(shù)：

其中 gk，1(xt|xt-k，xt-k+1，···，xt-1)由式（9）給出。

于是建立如下k階自回歸模型：

由于回歸函數(shù)通過Copula理論獲得，故稱模型（13）為k階Copula自回歸模型（CAR(k)模型）。

2.2 參數(shù)估計(jì)

Copula自回歸模型（13）包括兩部分參數(shù)，一部分為相關(guān)結(jié)構(gòu)參數(shù)，即Copula函數(shù)及條件Copula函數(shù)參數(shù)，另一部分為一維分布參數(shù)，因此，其參數(shù)估計(jì)可以借鑒Pair-Copula的參數(shù)估計(jì)方法，比如極大似然估計(jì)法、擬極大似然估計(jì)法、分步估計(jì)（IFM估計(jì)）、參數(shù)法以及半?yún)?shù)法等[1，2]。其中極大似然估計(jì)的似然函數(shù)為：

其中θ為式（2）涉及的所有參數(shù)組成的參數(shù)向量。

本文采用兩步法。第一步估計(jì)邊緣分布的參數(shù)；第二步確定相關(guān)的Copula參數(shù)，采用極大似然估計(jì)法，其似然函數(shù)為：

3 Copula自回歸模型的應(yīng)用

3.1 基于Copula自回歸模型的點(diǎn)預(yù)測

由于點(diǎn)預(yù)測值為Copula自回歸模型相應(yīng)的回歸函數(shù)，是分布 gk(xt|xt-k，xt-k+1，···，xt-1)的數(shù)學(xué)期望，因此可采用數(shù)值積分法或隨機(jī)模擬法進(jìn)行估計(jì)。本文借鑒文獻(xiàn)[10]的思想建立下列不用產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的隨機(jī)模擬法。

由于 xi，i=1，2，···，T 可以視為隨機(jī)變量 xt的樣本，由大數(shù)定律知在t時(shí)刻序列的預(yù)測值Eh(Xt|xt-k，xt-k+1，···，xt-1)近似為：

3.2 基于Copula自回歸模型的區(qū)間預(yù)測

同結(jié)論 1，以 h(xj|xt-k，xt-k+1，···，xt-1)，j=1，2，···，T為樣本，記mα2與m1-α/2分別為該組樣本的α 2與1-α/2樣本（下）分位數(shù)，則t(t＞k)時(shí)刻變量均值的置信度為1-α的區(qū)間預(yù)測近似為式（17），可以作為t(t＞k)時(shí)刻變量取值的置信度為1-α的近似置信區(qū)間。

3.3 基于Copula自回歸模型的時(shí)變VaR估計(jì)

若序列{Xt，t=1，2，···，T}為 k 階Copula相依序列，且在t時(shí)刻的值Xt表示某金融資產(chǎn)在t時(shí)刻的收益，則-Xt為對應(yīng)的損失。可以以樣本 h(xj|xt-k，xt-k+1，···，xt-1)，j=1，2，···，T 的α（下）分位點(diǎn)mα作為t(t＞k)時(shí)刻變量均值的置信度為1-α的單側(cè)置信下限的估計(jì)，其負(fù)值-mα作為t(t＞k)時(shí)刻置信水平1-α下的時(shí)變風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值VaRt(1-α)的估計(jì)。即：

4 實(shí)例

4.1 樣本選取

本例選取1996年1月2日至2016年6月15日共4955個(gè)交易日上證綜指的每日收盤數(shù)據(jù) pt，t=0，1，···，4954 ，以對數(shù)收益率序列 xt=lnpt-lnpt-1，t=1，2， ···，4954為研究對象。數(shù)據(jù)處理采用Matlab軟件。

4.2 邊際分布的確定與參數(shù)估計(jì)

首先，由ADF檢驗(yàn)法易知序列為平穩(wěn)序列。

其次，經(jīng)計(jì)算序列的偏度與峰度分別為-0.0453及7.6851，因此邊際分布為有偏的，且具有顯著的尖峰厚尾特征。鑒于帶位置參數(shù)及尺度參數(shù)的有偏t-分布與帶位置參數(shù)及尺度參數(shù)的有偏廣義誤差分布都能在一定程度上刻畫上述特征，因此本文采用這兩種分布的混合分布來擬合邊際分布。

采用EM算法進(jìn)行估計(jì)得到：帶位置參數(shù)及尺度參數(shù)的有偏t-分布、帶位置參數(shù)及尺度參數(shù)的有偏廣義誤差分布的權(quán)重分別為0.5415與0.4585，兩個(gè)分布的分布參數(shù)分別為(0.0001,0.0070,4.1132,0.9591),(0.0001,0.0041,1.2487)。（注：第1、2、4分量分別為位置參數(shù)、尺度參數(shù)及偏度系數(shù)，第3分量為t-分布的自由度或廣義誤差分布參數(shù)）

4.3 相依階數(shù)的確定與Copula參數(shù)估計(jì)

4.3.1 Copula函數(shù)形式的確定

由于所涉及的變量間的非線性相關(guān)性較弱，而BB1 Copula[1]能夠較好地刻畫非對稱的尾部相關(guān)性，因此本文統(tǒng)一選用獨(dú)立Copula[1]與BB1 Copula[1]的混合Copula對涉及的Copula及條件Copula進(jìn)行擬合。由于該混合Copula只能刻畫正相關(guān)性，因此采用結(jié)論2進(jìn)行轉(zhuǎn)換，其參數(shù)估計(jì)采用EM算法。

結(jié)論2：CX，Y(u，v)=u-CX，-Y(u，1-v)，其中CX，Y(u，v)與CX，-Y(u，v)分別為(X，Y)與(X，-Y)的Copula函數(shù)。4.3.2 相依階數(shù)的確定及Copula參數(shù)估計(jì)

采用上文給出的方法，在檢驗(yàn)水平0.05下，結(jié)合上文給出的參數(shù)估計(jì)方法確定相依階數(shù)為k=12，同時(shí)得到式（9）所涉及混合Copula的權(quán)重及BB1 Copula中參數(shù)，結(jié)果列于表1(為方便遞推，變量順序?yàn)?12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1,13)。

表1 Copula參數(shù)估計(jì)表

4.4 點(diǎn)預(yù)測與區(qū)間預(yù)測

由于相依階數(shù)為12，故建立12階Copula自回歸模型（CAR(12)），采用式（16）對序列在時(shí)刻13及以后的點(diǎn)預(yù)測值，圖1給出了最后500個(gè)時(shí)刻點(diǎn)上預(yù)測值與實(shí)際值的散點(diǎn)圖。為了顯示點(diǎn)預(yù)測的效果，本文將點(diǎn)預(yù)測結(jié)果與12階平穩(wěn)自回歸模型的點(diǎn)預(yù)測結(jié)果進(jìn)行對比，比較指標(biāo)為平均絕對誤差與最大絕對誤差，結(jié)果如表2所示。

圖1 預(yù)測值與實(shí)際值的散點(diǎn)圖

表2 基于Copula自回歸模型與基于平穩(wěn)自回歸模型的點(diǎn)預(yù)測比較

由式（17）給出時(shí)刻13及以后的序列的置信度為95%區(qū)間估計(jì)與置信度為90%的區(qū)間估計(jì)，圖2給出了最后500個(gè)時(shí)刻點(diǎn)上95%區(qū)間估計(jì)曲線及序列值散點(diǎn)的圖形。

圖2 95%置信區(qū)間曲線圖及實(shí)際值的散點(diǎn)圖

同樣為了顯示點(diǎn)預(yù)測的效果，將所得區(qū)間估計(jì)結(jié)果與12階平穩(wěn)自回歸相應(yīng)結(jié)果進(jìn)行對比，比較指標(biāo)為置信區(qū)間的平均長度與序列值落入置信區(qū)間的比例，比較結(jié)果列于表3。

表3 基于Copula自回歸模型與基于平穩(wěn)自回歸模型的區(qū)間估計(jì)比較

從表2與表3可以看出，基于Copula自回歸模型的點(diǎn)預(yù)測比平穩(wěn)自回歸模型的點(diǎn)預(yù)測效果好，表現(xiàn)在平均絕對誤差小，最大絕對誤差基本相當(dāng)；區(qū)間預(yù)測比平穩(wěn)自回歸模型的區(qū)間預(yù)測顯著優(yōu)，表現(xiàn)在置信度90%的平均預(yù)測區(qū)間長度顯著小，且預(yù)測區(qū)間包含實(shí)際值的頻率更接近置信水平，而置信度95%的平均預(yù)測區(qū)間長度雖然稍大，但預(yù)測區(qū)間包含實(shí)際值的頻率更接近置信水平。從圖1與圖2可以看出，基于Copula自回歸模型的點(diǎn)預(yù)測與區(qū)間預(yù)測顯示出了顯著的時(shí)變性。

4.5 時(shí)變VaR的估計(jì)與檢驗(yàn)

由式（18）分別給出置信水平分別為0.99、0.975、0.95及0.90的時(shí)變VaR的估計(jì)，散點(diǎn)圖見下頁圖3。并采用Kupic檢驗(yàn)法進(jìn)行檢驗(yàn)，表4列出了在4個(gè)置信水平下突破時(shí)變VaR的比率及Kupic檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值。

圖3 99%、97,5%、95%、90%的時(shí)變VaR曲線及實(shí)際損失的散點(diǎn)圖

表4 時(shí)變VaR估計(jì)及Kupic檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量值

從表4及圖3可以看出，VaR估計(jì)具有顯著的時(shí)變性，且在4種不同置信水平下的時(shí)變VaR估計(jì)的Kupic檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量值非常小，說明基于Copula自回歸模型的時(shí)變VaR估計(jì)具有很高的準(zhǔn)確性，顯示了基于Copula自回歸模型的時(shí)變VaR估計(jì)方法的有效性。

5 結(jié)論

（1）本文通過對嚴(yán)平穩(wěn)序列及其相依性質(zhì)的研究提出了Copula相依序列（CDS）的概念，探討了Copula相依序列的部分性質(zhì)以及與嚴(yán)平穩(wěn)序列之間的關(guān)系；給出了Copula相依序列的條件分布，在此基礎(chǔ)上，給出了Copula相依序列相依階數(shù)的確定方法、條件均值及條件方差的表達(dá)式，說明了Copula相依序列具有一定的刻畫條件異方差性的能力。

（2）基于Copula相依序列建立了非線性自回歸模型——Copula自回歸模型(CAR)，給出了相應(yīng)的參數(shù)估計(jì)方法。基于Copula自回歸模型，給出了一種不用產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的隨機(jī)模擬點(diǎn)預(yù)測方法、區(qū)間預(yù)測方法以及時(shí)變VaR的估計(jì)方法。

（3）采用1996年1月4日至2016年6月15日共4954個(gè)對數(shù)收益率數(shù)據(jù)構(gòu)成的序列建立了Copula自回歸模型，進(jìn)行了點(diǎn)預(yù)測、區(qū)間預(yù)測及時(shí)變VaR估計(jì)，實(shí)際計(jì)算結(jié)果說明了Copula自回歸模型及相關(guān)方法是有效的。并且通過采用更適合的邊際分布及更適合的混合Copula函數(shù)還可以提高預(yù)測及估計(jì)得精確度。

（4）Copula自回歸模型是平穩(wěn)時(shí)間序列的一種特殊的非線性模型，模型通過變量與其若干個(gè)滯后期變量間的相關(guān)結(jié)構(gòu)確定，構(gòu)造簡單、直觀；Copula自回歸模型相比傳統(tǒng)的時(shí)間序列模型（線性及非線性模型），具有嚴(yán)格的理論依據(jù)，以Copula相依序列為理論基礎(chǔ)，能夠充分利用相關(guān)信息；但Copula自回歸模型需要較大的序列長度，且計(jì)算量大。

對于Copula自回歸模型尚有一些值得探討的問題：

（1）在理論上，任一個(gè)嚴(yán)平穩(wěn)序列是否一定是一個(gè)Copula相依序列？或者是否任一嚴(yán)平穩(wěn)序列可以由一個(gè)Copula相依序列進(jìn)行近似？

（2）探索Copula相依序列相依階數(shù)的簡易判別方法；

（3）基于Copula回歸模型與Copula自回歸模型，解決其他問題，比如研究時(shí)間序列變量間的非線性因果關(guān)系等問題。