利用向量解決中學(xué)數(shù)學(xué)中的若干問題

尚瑤瑤　趙院娥

摘要：向量知識是普通中學(xué)教學(xué)中不可或缺的一項重要內(nèi)容，向量的概念以及其中所引入的新的思想方法，在一定程度上擴充了中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的容量，同時由于向量是基于一種新的研究和思考方法，不僅拓寬了中學(xué)生的視野，而且使得數(shù)學(xué)知識進一步變得有趣生動起來，大大提高了中學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性。

關(guān)鍵詞：向量；數(shù)學(xué)教學(xué)；向量教學(xué)；知識整合

一、 中學(xué)數(shù)學(xué)向量知識概述

（一） 向量的基本概念

我們把既有大小又有方向的量統(tǒng)稱為向量；長度（也稱模）為零的向量統(tǒng)稱為零向量，記0或0；長度為一的向量統(tǒng)稱為單位向量；向量可用黑體小寫字母a、b、c…或書寫a，b，c…來表示，也可表示為向量AB、向量 BC、向量CD等；向量也稱自由向量，即與起始點無關(guān)，僅由大小和方向決定。

（二） 向量的運算

向量的加法、減法和實數(shù)與向量積的綜合運算，通常叫做向量的線性運算（或線性組合）。向量的運算包括平面向量的運算以及空間向量的運算。以向量的加法、減法以及數(shù)乘運算為主。

1. 向量運算的概念

向量的加（減）法：

如圖，已知向量a，b，則有a+b=c，c-a=b。此方法稱為向量的三角形法則。

同樣的，如圖，得a+b=c，c-a=b。此方法稱為向量的平行四邊形法則。

2. 向量運算的性質(zhì)

加（減）法的性質(zhì)：

a+b=b+a

（a+b）+c=a+（b+c）

a=λ1e1+λ2e2（其中e1，e2為不共線向量，且稱為平面內(nèi)一組基底）

數(shù)乘的運算性質(zhì)：

λ（a+b）=λa+λb

（λ+μ）a=λa+μa

λa=aλ，其中兩向量共線的充要條件是a=λb

|a|=a·a

二、 利用向量解決中學(xué)數(shù)學(xué)中的若干問題

向量的價值在于它的廣泛應(yīng)用性，向量集數(shù)和形一身，連接了幾何、代數(shù)以及三角函數(shù)等方面的數(shù)學(xué)問題。向量以其直觀性和可運算性為解決和溝通數(shù)學(xué)問題提供了極大的便利，如推理約簡，方位確定及形狀確定等。雖然向量里概念較多，但其實一大部分有其物理上的背景來源。物理學(xué)中有兩種基本量：標量和矢量。物理中的矢量包括力、加速度、位移、動量、速度等，矢量與向量雖然相似，但并不完全相同，比如物理學(xué)中的矢量力，除過大小和方向外，還有作用點，而向量沒有。但其之間微小的差異并不影響向量在物理學(xué)中的應(yīng)用。不僅僅是物理學(xué)，下面我列舉幾種關(guān)于向量法在各類型題中的應(yīng)用，從中可以更直觀地看出向量知識的廣泛應(yīng)用性及其存在的重要性。

（一） 用向量的方法解決平面幾何的相關(guān)問題

學(xué)習(xí)平面向量之后，那么很多我們在初中所學(xué)過的基本定理或定義都可以用向量的方法做簡單的證明。

【例1】在三角形ABC中，M，N分別是AB、AC的中點。用向量法證明：線段MN是底邊BC的一半。

證明：設(shè)△ABC兩邊 AB、AC 之中點分別為 M、N，那么

MN=AN-AM=12AC-12AB=12（AC-AB）

所以MN∥BC，且MN=12BC。

平面幾何問題中的向量作用便是把形化成數(shù)的運算，通過平面直角坐標系，使得復(fù)雜問題變得清晰簡潔，易于與其他知識融合，這里主要體現(xiàn)出向量的工具性及雙重性。所以向量知識作為工具在平面幾何問題上有著很好的運用。

（二） 用向量的方法解決立體幾何的相關(guān)問題

向量在立體幾何中的應(yīng)用最為常見，結(jié)合空間向量的坐標運算，可以解決共線、線段共面、線線（線面、面面）平行、線線（線面、面面）垂直、長度（模）、距離 及兩點間距離公式等諸多空間幾何問題。

【例2】在長、寬、高分別為1、1、1.5的長方體ABCD-A1B1C1D1中，O是底面中心，求A1O與B1C的距離。

解：如圖，建立空間直角坐標系D-ACD1，則 O12，12，0，A11，1，32，C（0，1，0）

所以A1O=-12，12，-32，B1C=-1，0，-32，A1B1=0，1，0。

設(shè)A1O與B1C的公共法向量為n=x，y，12，則n⊥A1On⊥B1Cx，y，12·-12，12，-32=0x，y，12·-4，0，-32=0-x+y-32=0-x-32=0x=-34y=34

所以n=-34，34，12，所以A1O與B1C的距離為

d=|A1B1·n||n|=32222。

當把平面向量推廣到空間，與立體幾何知識緊密聯(lián)系起來，就能在很大程度上強化學(xué)生的空間思維模式，并且能在立體幾何問題的解決中進一步掌握加強掌握向量知識，兩者的柔和可謂是相輔相成。在這類型的應(yīng)用上，可以解決很多長度，距離等空間問題，大大提高中學(xué)生解立體幾何題的效率。

（三） 用向量的方法解決解析幾何的相關(guān)問題

解析幾何的基本思想是用代數(shù)的方法來研究幾何，為了把代數(shù)運算運用到幾何中來，最基礎(chǔ)的方法就是把空間幾何的構(gòu)造有系統(tǒng)的數(shù)量化，代數(shù)化。所以我們首先在這里引入向量法以及向量的相關(guān)運算方法，而且可以通過向量來建立空間直角坐標系，使得很多解析幾何問題更簡便快捷的得到解決。

【例3】已知三角形三頂點為P1（x1，y1，z1），P2（x2，y2，z3），P3（x3，y3，z3）。求△P1P2P3的重心（三角形三條中線的公共點）的坐標。

解：如圖

設(shè)△P1P2P3的三條中線為P1M1，P2M2，P3M3。三中線的公共點為G（x，y，z）

因此有P1G=2GM1。即重心G將中線分為三等分。

因為M1為P2P3的中點，所以得M1的坐標為M1x2+x32，y2+y32，z2+z32

再由公式得

x=x1+x2+x33，y=y1+y2+y33，z=z1+z2+z33。

所以△P1P2P3的重心坐標為Gx1+x2+x33，y1+y2+y33，z1+z2+z33。

在這一問題上，利用向量的線性運算，就可以解決集合中的與共面、共線、定比分點等有關(guān)的仿射性質(zhì)的幾何問題。為了解決幾何中常見的長度。交角等有關(guān)的度量問題，又要使用到向量的數(shù)量積，即內(nèi)積。我們把幾何問題轉(zhuǎn)化為以向量的運算規(guī)律為基礎(chǔ)的代數(shù)的演算，這樣，代數(shù)的方法也就引入到幾何中來了。

（四） 用向量的方法解決代數(shù)的相關(guān)問題

通常情況下，可以先把已知條件轉(zhuǎn)化成向量的表達式，然后進行向量的相關(guān)運算，最后把運算得出的結(jié)果轉(zhuǎn)化成求證的結(jié)論。

向量是代數(shù)研究很重要的對象之一。它具有大小和方向，可以進行加減運算，可以與實數(shù)結(jié)合進行數(shù)乘運算，也可以進行內(nèi)積等運算。這些運算都是重要的幾何性質(zhì)，利用這些性質(zhì)可以幫助我們計算角度、長度、面積等幾何度量問題并且可以幫助我們刻畫幾何圖形（直線、平面等），以及判斷它們的位置關(guān)系。在以后的學(xué)習(xí)中我們還可以學(xué)到更多關(guān)于向量的其他運算。

【例4】已知函數(shù)f（x）=9+x2+（4-x）2+4，求函數(shù)的最小值。

解：構(gòu)造向量p=（3，x），q=（4-x，2），則

p+q=（7-x，2+x）。

那么顯然

f（x）=9+x2+（4-x）2+4=|p|+|q|≥|p+q|=（7-x）2+（2+x）2，

當且僅當向量p=（3，x），q=（7-x，2）共線且方向相同時等號成立，

則此時x=4。

在代數(shù)問題里，主要是構(gòu)造向量求最值問題，以向量的不等式為基礎(chǔ)性質(zhì)，對原函數(shù)進行化簡計算，即可得到最大值（或最小值）。其次，因為運算很多，所以一定要掌握向量的數(shù)量積，向量積的定義及數(shù)量積的性質(zhì)，掌握其計算方法。

參考文獻：

[1]Fulvia Furinghetti. Teacher education through the history of mathematics[J]. Education studies in Mathematics，2007，Vol.66（2）：131-142.

[2]林延勝.向量應(yīng)用的拓展教學(xué)[J].課程·教材·教法，2015，07（5）：20-23.

[3]數(shù)學(xué)必修四[M].北京：北京師范大學(xué)出版社數(shù)學(xué)必修四，2004.

[4]孫慶華，包芳勛.向量在中國的傳播[N].太原理工大學(xué)學(xué)報，2006，13（2）：69-71.

[5]呂林根，許子道.解析幾何[M].江蘇：高等教育出版社，1982.

[6]鐘善基.數(shù)學(xué)教育文選[M].北京：人民教育出版社，2004.

[7]鄭平基.例談向量數(shù)量積的代數(shù)應(yīng)用[J].科技信息，2009，02（17）：7-8.

作者簡介：

尚瑤瑤，趙院娥（導(dǎo)師），陜西省延安市，延安大學(xué)。