基于橢圓的極點(diǎn)-極線性質(zhì)構(gòu)造非扭轉(zhuǎn)葉片前緣的方法研究

王 躍曹利新謝耕樵

（1.大連理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院；2.大連理工大學(xué) 電子信息與電氣工程學(xué)部）

0　引言

葉輪作為透平機(jī)械的核心零件，在航空、航天、船舶等領(lǐng)域發(fā)揮著重要作用，因?yàn)槿~片前緣的幾何形狀對(duì)進(jìn)氣端的流場(chǎng)產(chǎn)生影響，因而其對(duì)葉盤及整機(jī)的性能影響極大。為了簡(jiǎn)單便捷地進(jìn)行實(shí)體建模和數(shù)控加工，傳統(tǒng)的設(shè)計(jì)方法通常將葉片前緣形狀設(shè)計(jì)為鈍形和圓形[1]，但是近年來越來越多的實(shí)驗(yàn)和數(shù)值研究表明，采用橢圓形前緣可以明顯改善葉片的氣動(dòng)性能，而且性能提高的益處遠(yuǎn)大于加工橢圓前緣的困難。初雷哲等[2]對(duì)葉輪前緣造型分別為鈍頭、圓形、橢圓形三種結(jié)構(gòu)進(jìn)行了數(shù)值模擬研究，發(fā)現(xiàn)橢圓形前緣與鈍頭、圓形造型相比，可以使壓氣機(jī)的通流能力、壓比、效率達(dá)到最佳；同樣也有實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了橢圓形前緣可以提高葉輪性能，Goodhand和Miller[3]針對(duì)低速單級(jí)壓縮機(jī)，通過實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了葉片前緣形狀對(duì)其性能影響的研究，結(jié)果表明：在保持其他零部件幾何形狀不變的情況下，長(zhǎng)短軸比為3:1的橢圓形前緣較圓形前緣可使壓縮機(jī)減少流動(dòng)損失41%；董雷等[4]在使用數(shù)值模擬和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證中發(fā)現(xiàn)：在不同機(jī)器馬赫數(shù)（Mu）下，不同長(zhǎng)短軸比例的葉片橢圓前緣對(duì)葉片性能影響不同，達(dá)到最佳效果得視具體情況而定。

在葉片的設(shè)計(jì)階段，通常給出了壓力面與吸力面上兩端點(diǎn)處的坐標(biāo)和切矢，如何構(gòu)造葉片的橢圓形前緣使其與葉片的壓力面和吸力面光滑連接，目前相關(guān)的文獻(xiàn)討論很少。于源等[5]在分析葉片圓角構(gòu)成的基礎(chǔ)上，利用迭代法找到了各類型葉片圓角的圓心及半徑，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)了前緣的幾何造型。但工程中也有設(shè)計(jì)人員為了建模方便，利用三維建模軟件首先構(gòu)造葉片中性面，再按照葉片上各點(diǎn)的厚度對(duì)中性面進(jìn)行偏置得到壓力面與吸力面，然后直接利用面倒圓命令構(gòu)造圓形前緣。這種簡(jiǎn)單的前緣構(gòu)造方法無法滿足葉片氣動(dòng)性能的要求。鑒于上述情況，本文以非扭轉(zhuǎn)葉片前緣的構(gòu)造為例，在深入研究橢圓極點(diǎn)極線性質(zhì)的基礎(chǔ)上，提出了一種新的橢圓形前緣構(gòu)造方法。該方法可以滿足設(shè)計(jì)人員對(duì)橢圓長(zhǎng)短軸比例的要求，并可實(shí)現(xiàn)其與壓力面和吸力面的光滑連接。

1　橢圓的極點(diǎn)-極線性質(zhì)

為構(gòu)造橢圓前緣，首先需要得到橢圓弧，一般繪制橢圓有兩種方式[6]：間接法和直接法。間接法是通過二次曲線對(duì)數(shù)據(jù)點(diǎn)的無約束線性擬合，當(dāng)二次曲線方程的參數(shù)符合橢圓的約束條件時(shí)，即可通過二次曲線方程化簡(jiǎn)得到橢圓的各個(gè)參數(shù)；直接法是通過橢圓方程對(duì)數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行非線性求解，得到橢圓的特征參數(shù)：橢圓中心坐標(biāo)（x0，y0）、長(zhǎng)短軸半徑a、短軸半徑b、長(zhǎng)軸與x軸的夾角θ。上述兩種方法都有局限性，如所需數(shù)據(jù)點(diǎn)比較多、間接法因噪聲和失真干擾得到曲線不是橢圓、直接法存在解的收斂性問題等，因此這兩種方法都不適用于葉片橢圓前緣的構(gòu)造?？紤]到構(gòu)造葉片前緣條件的特殊性，本文采用橢圓極點(diǎn)-極線性質(zhì)來反求橢圓。

參考圖1，若P，Q和K為橢圓上的任意三點(diǎn)，橢圓在這三點(diǎn)處的切線分別交于A，B，C三點(diǎn)，弦PQ稱作A點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線，A點(diǎn)稱作PQ對(duì)應(yīng)的極點(diǎn)，三角形APQ為橢圓的極三角形。同理弦PK，QK分別稱作B點(diǎn)、C點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的極線，B點(diǎn)、C點(diǎn)分別稱作弦PK，QK的極點(diǎn)，三角形BPK，CQK同樣為橢圓的極三角形。

圖1　橢圓的極點(diǎn)-極線性質(zhì)Fig.1　Pole and polar properties of ellipse

二次曲線可以用極點(diǎn)和極線表示[7]，參考文獻(xiàn)[6]中楊忠根通過推導(dǎo)給出橢圓（特殊二次曲線）的極點(diǎn)-極線性質(zhì)如下：

性質(zhì)如圖1所示，極點(diǎn)A、極線PQ的中點(diǎn)E和橢圓中心O共線，同理3個(gè)極三角形APQ，BPK和CQK的極線邊PQ，QK和KP上的中線延長(zhǎng)線必共點(diǎn)于橢圓中心O。

由上述性質(zhì)可知，三個(gè)點(diǎn)及過三個(gè)點(diǎn)的三條切線即可唯一確定一個(gè)橢圓。在構(gòu)造非扭轉(zhuǎn)葉片前緣時(shí)，通常只知道壓力面與吸力面上葉片曲線兩端點(diǎn)處的坐標(biāo)及其切矢，若想利用橢圓的極點(diǎn)-極線性質(zhì)構(gòu)造橢圓弧，還缺少橢圓上一個(gè)點(diǎn)及該點(diǎn)處的切矢。另外，葉片設(shè)計(jì)人員通常希望通過橢圓的長(zhǎng)短軸比例來控制橢圓的形狀，下面討論此種情況下橢圓弧的構(gòu)造方法。

2　已知橢圓上兩點(diǎn)及對(duì)應(yīng)點(diǎn)切線構(gòu)造橢圓弧的方法

葉片因其在工業(yè)領(lǐng)域的重要地位，眾多學(xué)者對(duì)葉片模型構(gòu)造、結(jié)構(gòu)優(yōu)化、加工工藝、結(jié)構(gòu)強(qiáng)度、氣動(dòng)性能等方面進(jìn)行了深入研究[8-11]，從而為建立葉片前緣奠定詳實(shí)理論基礎(chǔ)。在實(shí)際的葉片前緣建模過程中，遇到的情況通常是已知葉片壓力面與吸力面上葉片曲線兩端點(diǎn)處的坐標(biāo)和切矢。對(duì)于非扭轉(zhuǎn)型葉片，壓力面與吸力面上葉片曲線兩端點(diǎn)處的切矢共面，可以利用第2節(jié)中橢圓的極點(diǎn)極線性質(zhì)推導(dǎo)該類葉片前緣的構(gòu)造方法。

如圖2所示，假設(shè)P，Q兩點(diǎn)為壓力面與吸力面上偏置蓋盤曲線的兩個(gè)端點(diǎn)，直線AB，AC為P，Q點(diǎn)處相應(yīng)偏置蓋盤曲線的切線（兩切線共面），現(xiàn)要構(gòu)造一個(gè)通過P，Q兩點(diǎn)且與AB，AC相切的橢圓，同時(shí)橢圓的長(zhǎng)短軸比例可控。

圖2　根據(jù)橢圓上兩點(diǎn)構(gòu)造橢圓弧Fig.2　Constructing elliptical arc according to two given points

以直線AB和AC的交點(diǎn)A作為待構(gòu)造橢圓的一個(gè)極點(diǎn)，PQ為A點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線。以直線PQ為X軸、PQ中點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn)O1，按照右手定則建立如圖2的平面坐標(biāo)系{O1XY}。因此點(diǎn)P，Q坐標(biāo)分別為（-d，0)，(d，0），d為線段PQ長(zhǎng)度的一半；同時(shí)考慮到葉片前緣的特點(diǎn)和構(gòu)造方便，令橢圓的另一條切線BC平行于X軸，切線BC距X軸的距離為c。設(shè)直線AC，AB的斜率分別為k1，k2，且k2≠-k1，那么直線AB，AC，BC直線方程可以分別表示為：

求 解 式（1）可 得 極 點(diǎn)A，B，C的 坐 標(biāo) 為，若設(shè)橢圓的第三個(gè)切點(diǎn)K的坐標(biāo)為(x1,-c)，G，F(xiàn)分別為極線PK和QK的中點(diǎn)，則中線AO1，BG，CF的方程可表示為：

由橢圓的極點(diǎn)-極線性質(zhì)可知AO1，BG，CF三條直線有共同交點(diǎn)O，求解式（2）可得橢圓中心O(x0，y0)的坐標(biāo)為同時(shí)可得K點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即K點(diǎn)為直線AO1的延長(zhǎng)線與直線BC的交點(diǎn)，利用該性質(zhì)可以快速得到求解橢圓所需三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，這就是使直線BC平行于直線PQ的原因。

下面來求解橢圓的方程，由于橢圓中心O(x0，y0)坐標(biāo)上面已求得，平面上任意位置的橢圓的方程[7]可以表示為：

u，v，w為待定系數(shù)，將P，Q，K三點(diǎn)的坐標(biāo)帶入式（3）即可求出u，v，w三個(gè)變量，它們均為k1,k2,d,c四個(gè)參數(shù)的函數(shù)。將式（3）改寫為一般二次曲線的形式：

式中：

文獻(xiàn)[8]給出了一般二次曲線的系數(shù)與橢圓特征參數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，其中本文只涉及到橢圓的長(zhǎng)半軸a、短半軸b、長(zhǎng)軸與x軸的夾角θ，即：

將式（5）代入式（6）、（7）可得橢圓長(zhǎng)短軸的比例為：

由于u，v，w均為參數(shù)k1，k2，d，c的函數(shù)，故橢圓長(zhǎng)短軸的比例也僅取決于k1，k2，d，c四個(gè)參數(shù)。實(shí)際構(gòu)造葉片前緣時(shí)k1，k2，d為已知參數(shù)，因此只需根據(jù)設(shè)計(jì)給定的橢圓長(zhǎng)短軸比例式（8）求解參數(shù)c即可獲得橢圓造型所需全部特征參數(shù)：橢圓中心坐標(biāo)（x0，y0），長(zhǎng)短軸半徑a，短軸半徑b，長(zhǎng)軸與x軸的夾角θ。

從上面構(gòu)造橢圓弧的方法可以看出，由于將橢圓的第三條切線選取在與葉片曲線前緣兩端點(diǎn)的連線方向上，為橢圓弧的設(shè)計(jì)帶來了極大的方便。此時(shí)的橢圓弧除了保證與葉片曲線前緣兩端點(diǎn)相切外，僅需給定橢圓的長(zhǎng)短軸的比例即可確定橢圓的形狀與大小，方法簡(jiǎn)單，便于工程應(yīng)用。

3　算例驗(yàn)證

本節(jié)通過兩組數(shù)值算例驗(yàn)證前面所討論算法的正確性，即檢驗(yàn)反求出滿足一定長(zhǎng)短軸比例的橢圓是否與已知直線AB，AC切于點(diǎn)P，Q。在MATLAB軟件中進(jìn)行編程求解，思路為首先輸入k1，k2，d，長(zhǎng)短軸比例四個(gè)參數(shù)，利用公式（9）首先求出c的值，再通過P，Q，K三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)求出平面任意橢圓方程的參數(shù)u，v，w，最后表示出橢圓的5個(gè)特征參數(shù)：橢圓中心坐標(biāo)（x0，y0），長(zhǎng)短軸半徑a，短軸半徑b，長(zhǎng)軸與x軸的夾角θ。

當(dāng)k1=-5，k2=8，d=2時(shí)，得到長(zhǎng)短軸比例分別為4:1，3:1的相切橢圓特征參數(shù)如表1所示；同樣計(jì)算當(dāng)-k1=k2=4.949 6，d=1.25時(shí)，與之相切的長(zhǎng)短軸比例分別為4:1、3:1的橢圓特征參數(shù)如表2所示。對(duì)表1，2的數(shù)據(jù)進(jìn)行繪圖處理得到對(duì)應(yīng)圖3和圖4，從下圖可驗(yàn)證所求出橢圓均切于兩條相交直線的特定點(diǎn)P，Q，因此證明上述推導(dǎo)理論的正確性，所以該方法可用來求解非扭轉(zhuǎn)葉片前緣的橢圓方程。

表1　-k1≠k2時(shí)不同長(zhǎng)短軸比例橢圓弧參數(shù)Tab.1　The parameters of the elliptical arc with different axial ratio of ellipse when-k1≠k2

表2　-k1=k2時(shí)不同長(zhǎng)短軸比例橢圓弧參數(shù)Tab.2　The parameters of the elliptical arc with different axial ratio of ellipse when-k1=k2

圖3　-k1≠k2時(shí)橢圓長(zhǎng)短軸比例分別為4:1，3:1Fig.3　Axial ratio of ellipse as 4:1,3:1 when-k1≠k2

圖4　-k1=k2時(shí)橢圓長(zhǎng)短軸比例分別為4:1，3:1Fig.4　Axial ratio of ellipse as 4:1,3:1 when-k1=k2

4　結(jié)論

針對(duì)非扭轉(zhuǎn)葉片的橢圓形前緣構(gòu)造問題，在深入研究橢圓極點(diǎn)-極線性質(zhì)的基礎(chǔ)上，提出了一種與葉片壓力面和吸力面光滑連接的橢圓形前緣構(gòu)造方法。該方法能保證所構(gòu)造的橢圓弧與葉片壓力面和吸力面上葉片曲線兩端點(diǎn)相切，通過將橢圓的第三條切線選取在與葉片曲線前緣兩端點(diǎn)的連線方向上，使得橢圓的形狀僅取決于第三條切線的位置；進(jìn)而利用橢圓的一般方程與橢圓特征參數(shù)間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，獲得了影響橢圓形狀的唯一設(shè)計(jì)參數(shù)，即橢圓的長(zhǎng)短軸的比例。該方法原理簡(jiǎn)單、計(jì)算量小，在保證橢圓形前緣與吸力面和壓力面一階連續(xù)的同時(shí)，橢圓長(zhǎng)短軸的比例還可以根據(jù)葉片氣動(dòng)性能的需要任意改變。