“仿真物理實(shí)驗(yàn)”在物理問(wèn)題研究中的應(yīng)用
——以“尋找?guī)щ娦∏蛟趶?fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡”為例

陳璽君

(丹陽(yáng)市呂叔湘中學(xué)　江蘇 丹陽(yáng)　212300；廣西師范大學(xué)教師教育學(xué)院　廣西 桂林　541004)

1　問(wèn)題場(chǎng)景

【問(wèn)題】如圖1所示，范圍足夠大的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向垂直紙面平面向里，同時(shí)在紙面平面內(nèi)有一勻強(qiáng)電場(chǎng)，大小為E，方向水平向右.質(zhì)量為m，電荷量為q的帶正電小球從圖中某一位置P出發(fā)，與水平方向成45°斜向右上方射入場(chǎng)區(qū)，小球所受電場(chǎng)力與其重力大小相等，試分析小球所有可能的運(yùn)動(dòng)軌跡.

圖1　題圖

2　初步理論研究分析

首先從理論上簡(jiǎn)單分析：為了便于研究該問(wèn)題，可以以帶電小球出發(fā)點(diǎn)P為坐標(biāo)原點(diǎn)，v0方向?yàn)閤軸，建立如圖2所示平面直角坐標(biāo)系.

圖2　建立有角坐標(biāo)系

鑒于v0與v的大小關(guān)系不明確，這時(shí)顯然有必要分兩種情況討論.

2.1　當(dāng)0≤v0

如圖3所示，帶電小球的受力分析圖.

圖3　受力分析

如圖4所示，易知，小球一邊從初始位置開(kāi)始以速度大小為v-v0逆時(shí)針?lè)较蜃鰟蛩賵A周運(yùn)動(dòng)，一邊以速度v沿x軸正方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)，勻速圓周運(yùn)動(dòng)軌跡在坐標(biāo)系xOy的x軸的下方

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

圖4　運(yùn)動(dòng)分解

經(jīng)過(guò)時(shí)間t,小球位置在沿x軸正方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)的新坐標(biāo)系x′O′y′中的坐標(biāo)為

x′=-Rsinωt

(6)

y′=Rcosωt

(7)

因此換算到xOy坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為

x=vt+x′=vt-Rsinωt

(8)

y=-(R-y′)=y′-R=Rcosωt-R

(9)

整理可得

(10)

(11)

2.2　當(dāng)v0>v時(shí)

如圖5所示，帶電小球的受力分析圖.

圖5　受力分析

如圖6所示，此時(shí)可認(rèn)為小球一邊從初始位置開(kāi)始以速度大小為v0-v逆時(shí)針?lè)较蜃鰟蛩賵A周運(yùn)動(dòng)，一邊以速度v沿x軸正方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)，勻速圓周運(yùn)動(dòng)軌跡在坐標(biāo)系xOy的x軸的上方，半徑

(12)

在坐標(biāo)系x′O′y′中小球的坐標(biāo)為

x′=Rsinωt

(13)

y′=-Rcosωt

(14)

圖6　運(yùn)動(dòng)分解

因此小球在坐標(biāo)系xOy中的坐標(biāo)為

x=vt+x′=vt-Rsinωt

(15)

y=y′+R=-Rcosωt+R

(16)

整理可得

(17)

(18)

由以上分析可知，兩種情況下小球的軌跡的參數(shù)方程的形式完全相同．

從上面的軌跡參數(shù)方程可以看出，軌跡形狀顯然與v0的取值是有關(guān)聯(lián)的．如圖7所示，在“仿真物理實(shí)驗(yàn)室”軟件中設(shè)置好如下參數(shù)： 小球質(zhì)量m=0.5 kg,小球電荷量Q=1 C，勻強(qiáng)電場(chǎng)電場(chǎng)強(qiáng)度E=5 N/C，勻強(qiáng)磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度B=1 T，重力場(chǎng)：g=10 m/s2，小球初始坐標(biāo)(10 m,10 m)．

圖7　設(shè)置參數(shù)

3　“仿真物理實(shí)驗(yàn)”嘗試

在0≤v0

3.1　嘗試1

取特殊值v0=0，運(yùn)行實(shí)驗(yàn)，結(jié)果軌跡如圖8所示.

圖8　取v0=0時(shí)運(yùn)行結(jié)果

這顯然是圓滾線(又稱(chēng)旋輪線、擺線)．

理論研究釋疑：

如圖9所示，小球在軌跡的最低點(diǎn)具有沿x軸正方向最大速度2v，最低點(diǎn)軌跡切線沿x軸正方向；小球在軌跡的最高點(diǎn)速度為零，軌跡切線的斜率k不存在或不唯一，最高點(diǎn)為極大值點(diǎn)，最高點(diǎn)不光滑應(yīng)為尖點(diǎn)．

圖9　v0=0運(yùn)動(dòng)分析

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

由軌跡方程的二階導(dǎo)數(shù)知

(25)

當(dāng)v0=0時(shí)代入

(26)

因此除軌跡的最高點(diǎn)vx=0外， 其余點(diǎn)由于vx>0，則在該運(yùn)動(dòng)區(qū)間

(27)

由高等數(shù)學(xué)可知，圖像無(wú)拐點(diǎn)，且曲線軌跡向上凹，與仿真物理實(shí)驗(yàn)結(jié)果很吻合．

3.2　嘗試2

圖10　取v0=3 m/s時(shí)運(yùn)行結(jié)果

這種軌跡顯然與嘗試1不同．

理論研究釋疑：

如圖11所示，小球在軌跡的最低點(diǎn)速度為2v-v0，方向沿x軸正方向，最低點(diǎn)軌跡切線水平；小球在軌跡的最高點(diǎn)速度為v0，方向也沿x軸正方向，最高點(diǎn)軌跡切線自然也水平．故這種情況軌跡可能存在拐點(diǎn)．

圖11　0

(28)

(29)

因?yàn)関x>0

(30)

(31)

可得

(32)

(33)

(34)

(35)

容易得到，在拐點(diǎn)的左側(cè)

(36)

曲線軌跡向下凹；

在拐點(diǎn)的右側(cè)

(37)

曲線軌跡向上凹；與仿真物理實(shí)驗(yàn)得到的軌跡吻合．

接下來(lái)在v>v0范圍內(nèi)，分多種情況嘗試.

3.3　嘗試3

圖12　取v0=11 m/s時(shí)運(yùn)行結(jié)果

明顯該曲線軌跡與上面嘗試1、嘗試2情況均不相同，是一種新的運(yùn)動(dòng)軌跡．

理論研究釋疑：

如圖13所示，小球在軌跡的最低點(diǎn)速度為v0，方向沿x軸正方向，最低點(diǎn)軌跡切線水平；小球在軌跡的最高點(diǎn)速度為2v-v0，方向也沿x軸正方向，最高點(diǎn)軌跡切線自然也水平．故這種情況軌跡仍然可能存在拐點(diǎn)．

圖13　v

(38)

(39)

因?yàn)関x>0

(40)

(41)

(42)

(43)

(44)

(45)

容易得到，在拐點(diǎn)的左側(cè)

(46)

曲線軌跡向上凹；

在拐點(diǎn)的右側(cè)

(47)

曲線軌跡向下凹；與仿真物理實(shí)驗(yàn)軌跡吻合．

3.4　嘗試4

圖14　取時(shí)運(yùn)行結(jié)果

明顯這個(gè)曲線在嘗試1，嘗試2，嘗試3這3種情況中也未曾出現(xiàn)，也是一種新的運(yùn)動(dòng)軌跡．

理論研究釋疑：

如圖15所示，小球在軌跡的最低點(diǎn)具有沿x軸正方向最大速度v0=2v，最低點(diǎn)軌跡切線沿x軸正方向；小球在軌跡的最高點(diǎn)速度也出現(xiàn)為零，軌跡切線的斜率k不存在或不唯一，最高點(diǎn)為極大值點(diǎn)，最高點(diǎn)不光滑出現(xiàn)尖點(diǎn)．這時(shí)因?yàn)関x>0，當(dāng)

v0=2v

(48)

時(shí)，代入得

(49)

圖15　v0=2v運(yùn)動(dòng)分析

因此除軌跡的最高點(diǎn)vx=0外，其余點(diǎn)由于vx>0，則在該運(yùn)動(dòng)區(qū)間有

(50)

由高等數(shù)學(xué)可知，圖像無(wú)拐點(diǎn)，且曲線軌跡向上凹，與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合．

3.5　嘗試5

當(dāng)v0>2v時(shí)，取v0=20 m/s代入“仿真物理實(shí)驗(yàn)室”運(yùn)行，結(jié)果軌跡如圖16所示.

圖16　取v0=20 m/s時(shí)運(yùn)行結(jié)果

明顯這個(gè)曲線在嘗試1，嘗試2，嘗試3，嘗試4種情況中均未出現(xiàn)，也是一種新的運(yùn)動(dòng)軌跡．

理論研究釋疑：

如圖17所示，可知，小球在軌跡的最低點(diǎn)速度為v0，方向沿x軸正方向，最低點(diǎn)軌跡切線水平；小球在軌跡的最高點(diǎn)速度為v0-2v，方向沿x軸負(fù)方向，最高點(diǎn)軌跡切線自然也水平．這種情況小球有段時(shí)間向x軸正方向運(yùn)動(dòng)，有段時(shí)間向x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，在軌跡的最高點(diǎn)下方存在x軸分速度為零而y軸分速度不為零的特殊點(diǎn)，在這些點(diǎn)軌跡的切線沿y軸正或者負(fù)方向．

圖17　v0>2v時(shí)運(yùn)動(dòng)分析

(51)

容易得到，若vx>0時(shí)

(52)

曲線軌跡向上凹；

在拐點(diǎn)的右側(cè)，

(53)

曲線軌跡向下凹,與仿真物理實(shí)驗(yàn)軌跡吻合．

最后可以隨便賦予小球任意速度，理論和仿真實(shí)驗(yàn)均表明無(wú)更多可能軌跡．下面將5種實(shí)驗(yàn)嘗試情況下的5個(gè)相同小球賦值以上討論的5個(gè)不同速度，一起運(yùn)行試驗(yàn)得到所有可能的軌跡如圖18所示.

圖18　5種實(shí)驗(yàn)嘗試情況下運(yùn)行結(jié)果

4　結(jié)束語(yǔ)

在有些復(fù)雜的物理問(wèn)題研究中，人腦的想象空間是非常有限的，借助“仿真物理實(shí)驗(yàn)”，先對(duì)未知領(lǐng)域進(jìn)行嘗試，獲得感性的認(rèn)知，然后借助理論研究尋找形成原因，這種方法可以幫助解決一些疑難問(wèn)題，對(duì)于物理問(wèn)題的研究未嘗不是一個(gè)行之有效的策略.

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