善用函數(shù)圖像中的“點(diǎn)線面”巧解物理問題*

吳廣國

(北京景山學(xué)?！”本?00006)

姜 珊

(北京景山學(xué)校　北京　100006；中央民族大學(xué)理學(xué)院　北京　100081)

鄒 斌

(中央民族大學(xué)理學(xué)院　北京　100081)

函數(shù)圖像能夠形象直觀地描述物理規(guī)律，在解決物理問題的過程中，可以避免復(fù)雜的運(yùn)算過程.要想熟練地運(yùn)用物理函數(shù)圖像來解決問題，首先要理解物理函數(shù)圖像所表達(dá)的物理內(nèi)涵，在認(rèn)清是研究哪兩個物理量關(guān)系的基礎(chǔ)上，理解圖像中“與坐標(biāo)軸交點(diǎn)”、“曲線斜率線”、“面”等數(shù)學(xué)概念的物理意義，并推斷出圖像表述的物理情景.將函數(shù)圖像與函數(shù)方程聯(lián)系起來，進(jìn)一步獲取有效信息，解決物理問題[1].本文中，筆者選取幾道北京近年典型高考題或模擬題，詳細(xì)闡述如何利用函數(shù)圖像中的點(diǎn)、線、面，靈活解決物理問題.

1　抓住函數(shù)圖像的關(guān)鍵“點(diǎn)”

函數(shù)圖像的核心“點(diǎn)”，主要包括圖線的拐點(diǎn)和交點(diǎn)[2].用關(guān)鍵點(diǎn)進(jìn)行解題時，首先應(yīng)了解該函數(shù)圖像橫、縱坐標(biāo)軸所代表的物理量，然后進(jìn)一步判斷其是否具有特殊的物理意義，以便利用其巧解物理問題.

【例1】某同學(xué)利用滑動變阻器分壓接法來描繪小燈泡的伏安特性曲線，該同學(xué)在獲得了小燈泡的I-U圖像如圖1(a)后，又把兩只這樣的小燈泡并聯(lián)，直接接在電動勢為4 V，內(nèi)阻為8 Ω的電源上組成閉合回路.請你利用圖像計算此時一只小燈泡的功率約為______W(結(jié)果保留2位有效數(shù)字).

圖1　題圖

解析：因小燈泡燈絲電阻率隨溫度的增加而增大，小燈泡電阻在變化.當(dāng)用電動勢為4 V，內(nèi)阻為8 Ω的電源給并聯(lián)的兩個小燈泡供電時，其形成的電路圖如圖1(b)所示.這道題目是一道常規(guī)題目的拓展與延伸.在“測量電源電動勢和內(nèi)阻”的實驗中，我們通過改變外電路滑動變阻器的阻值來改變路端電壓和電路電流，測量電源的路端電壓和電路電流(也是通過電源的電流)，可以得到電源的U-I特性函數(shù)圖像.如果同時給出非線性原件燈泡的伏安特性曲線，拿此電源給該燈泡供電的話，則同時滿足燈泡的U-I函數(shù)圖像和電源U-I特性函數(shù)圖像，也就是兩個函數(shù)圖像的“交點(diǎn)”，即為實際工作狀態(tài)點(diǎn)，簡稱工作點(diǎn).

而本題是利用該電源給兩個完全相同的已經(jīng)給出U-I特性曲線的小燈泡供電，此時我們不改變小燈泡曲線圖，仍然設(shè)小燈泡兩端電壓為U和通過小燈泡的電流為I，由全電路的歐姆定律ε=U+2Ir，可求得函數(shù)：U=-16I+4.在圖1(a)的基礎(chǔ)上，做出該函數(shù)的圖像，如圖1(c)所示.則交點(diǎn)對應(yīng)的電壓和電流就是此時小燈泡的工作點(diǎn).交點(diǎn)坐標(biāo)U=1.02 V，I=0.186 A，由此可以得到每個小燈泡的電功率約為P=UI=0.19 W.

此類問題在高中物理問題中較為常見，比如用已知電源給某一定值電阻R供電，用已知電源給某一已知U-I特性曲線的小燈泡或者二極管供電，此時通過以上辦法作出函數(shù)圖像的交點(diǎn)即為工作點(diǎn).然后再按照題目要求進(jìn)行計算，模型清晰、直觀，易于解決和處理復(fù)雜物理問題.

2　巧用函數(shù)圖像的常見“線”

截距是圖線與兩坐標(biāo)軸交點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)，所代表的坐標(biāo)數(shù)值表示當(dāng)一個物理量為零時，另一個物理量的數(shù)值是多少，也就是說明確表明了研究對象的某種特定狀態(tài).圖像中的直線或者曲線的切線，其斜率通常也具有明確的物理意義.物理圖像的斜率代表兩個物理量增量之比，其大小有可能是另一個物理量值[3].可見，深入理解“截距”、“斜率”的物理意義，對于圖像法解決物理問題，具有事半功倍的效果.

【例2】(2014年高考北京卷第21題)利用電流表和電壓表測定一節(jié)干電池的電動勢和內(nèi)電阻.要求盡量減少誤差，選取如圖2(a)所示電路圖.由考題中的題設(shè)給出U-I曲線如圖2(b)所示，可以得出干電池的電動勢E=______V，內(nèi)電阻r=______Ω.

圖2　例2題圖

U=-rI+ε

再由函數(shù)關(guān)系式可知斜率

k=-r=-0.83

所以

r=0.83 Ωε=1.50 V

誤差分析：考慮在實際情況下，電路中電壓表分流將導(dǎo)致電流表的示數(shù)小于通過電源的電流.設(shè)電壓表內(nèi)阻為RV，根據(jù)閉合電路歐姆定律得

化簡得

3　善用函數(shù)圖像的各種“面”

物理圖像上的“面”是指函數(shù)圖像與橫坐標(biāo)軸所圍成的“面積”，其對應(yīng)著一個新的物理量，這個新的物理量是縱坐標(biāo)物理量與橫坐標(biāo)物理量的乘積.比如在v-t圖像中“面積”代表位移；在F-S圖像中“面積”表示功；在F-t圖像中“面積”代表力F的沖量；在I-t圖像中“面積”代表電荷量等.

【例3】(2015年高考北京卷第23題)如圖3所示，彈簧的一端固定，另一端連接一個物塊，彈簧質(zhì)量不計.物塊(可視為質(zhì)點(diǎn))的質(zhì)量為m，在水平桌面上沿x軸運(yùn)動，與桌面間的動摩擦因數(shù)為μ.以彈簧原長時物塊的位置為坐標(biāo)原點(diǎn)O，當(dāng)彈簧的伸長量為x時，物塊所受彈力大小F=κx，κ為常量.

(1)請畫出F隨x變化的示意圖；并根據(jù)F-x圖像求物塊沿x軸從O點(diǎn)運(yùn)動到位置x的過程中彈力所做的功.

(2)物塊由x1向右運(yùn)動到x3，然后由x3返回到x2，在這個過程中，求彈力所做的功，并據(jù)此求彈性勢能的變化量.

圖3　水平面彈簧彈力做功示意圖

解析：

(1)問題明確指出畫出F隨x變化的示意圖，而這樣的問題自身就包含著一些線索和信息，這種來自問題自身且對于搜索進(jìn)程具有控制引導(dǎo)作用的信息，稱為啟發(fā)信息.由數(shù)量關(guān)系條件：F=κx，可以畫出彈力隨x變化的一次函數(shù)圖像[4]，如圖4(a)所示.物體由點(diǎn)O運(yùn)動到位置x的過程中，彈簧彈力做負(fù)功，做功的多少等于圖中陰影部分面積

(2)因為彈簧彈力是保守力，保守力做功與路徑無關(guān)，物塊由x1向右運(yùn)動到x3，然后由x3返回到x2，在這個過程中，彈力所做的功與物塊直接從x1處移到x2處相同，且彈簧彈力做負(fù)功，仍用函數(shù)圖像面積即為彈力所做的功，如圖4(b)中陰影部分面積所示.即

又因彈簧彈力是保守力，彈簧彈力做負(fù)功，彈性勢能增加，反之亦然.即

圖4　2015年高考北京卷第23題解析圖

4　巧用函數(shù)圖像的點(diǎn)、線、面 突破高考模擬壓軸題

2017年北京市東城區(qū)高三物理一模試題中最后一道計算題，是典型的利用“點(diǎn)”、“線”、“面積”來解決問題的習(xí)題.在題目中，用到了v-t圖像所圍成的面積求足球滾動的距離；同時還用到了電容放電過程中，電路中電阻兩端的電壓U隨放電時間t變化的函數(shù)圖像，將v-t圖轉(zhuǎn)化為I-t圖像，則即可根據(jù)I-t圖像所圍成的面積求電容在整個過程中釋放的電荷量.

【例4】小明以6 m/s的初速度將足球水平踢出，足球在草坪上滾動直到停下來的全過程中的速度-時間圖像如圖5所示.圖中圖線與坐標(biāo)軸所圍的面積等于12個小方格的面積.

(1)請你判斷：足球在滾動過程中受到的阻力大小是變大、變小還是不變？

(2)求足球滾動了多遠(yuǎn)才停下來？

圖5　例4題圖

解析：(1)由圖5足球滾動v-t圖像的斜率逐漸減小，可知足球滾動的足球在滾動過程中做減速運(yùn)動的加速度大小逐漸減小，所以足球受到的阻力變小.

(2)圖5中圖線與坐標(biāo)軸所圍的面積即為足球滾動距離，足球滾動12 m才停下來.

【例5】用如圖6(a)所示的電路研究電容器的放電過程，其中電壓傳感器相當(dāng)于一個理想電壓表，可以顯示電阻箱兩端電壓隨時間的變化關(guān)系.實驗時將電阻箱R的阻值調(diào)至2 000 Ω，將開關(guān)S撥到a端，電源向電容器充電，待電路穩(wěn)定后，將電壓傳感器打開，再將開關(guān)S撥到b端，電容器通過電阻箱放電.以S撥到b端時為t=0時刻，電壓傳感器測得的電壓U隨時間t變化圖像如圖6(b)所示.忽略導(dǎo)線及開關(guān)的電阻，且不考慮電路的輻射問題.

(1)求電容器所帶電荷量的最大值.

(2)在圖6(c)上定量畫出放電過程中電容器兩端電壓U隨電荷量Q變化的關(guān)系圖像，并據(jù)此求出在電容器充電過程中電源內(nèi)部產(chǎn)生的熱量.

圖6

解析：

(2)電容器所帶電荷量Q與其兩端電壓U成正比，且由圖6(b)知電容器所帶電荷量最大時，電容器兩端電壓U=6 V.電源電動勢E=6 V.放電過程中電容器兩端電壓U隨電荷量Q變化的關(guān)系圖像如圖6(c)所示，電容器放電過程中任意瞬時釋放的電勢能ΔEC=UΔQ.U-Q圖線與Q軸所圍面積為電容器放電過程中釋放的總電勢能EC，也是電容器在充電時獲得的總電勢能.即EC=18 mJ.電容器充電過程中，非靜電力做功提供的總能量E總=EQ=36 mJ.電容器充電過程中電源內(nèi)部產(chǎn)生的熱量Qr=E總-EC=18 mJ.

5　小結(jié)

利用函數(shù)圖像解決高中物理問題是一種非常重要的解題方法，學(xué)會靈活運(yùn)用函數(shù)圖像的“截距”、“斜率”或“面積”進(jìn)行解題，可以有效地簡化物理問題，更加高效、正確地開展對復(fù)雜問題的學(xué)習(xí)和研究.

在學(xué)生學(xué)習(xí)和教師教學(xué)過程中，應(yīng)當(dāng)有目的性地訓(xùn)練綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)工具解決物理問題的能力，加強(qiáng)抽象思維能力和模型構(gòu)建能力的培養(yǎng)，提高物理核心素養(yǎng)中的學(xué)科融合素質(zhì).