值得舉一反三的一維階梯勢問題*

陸愛江　楊沁玉

(東華大學(xué)理學(xué)院物理系　上海　201620)

在《量子力學(xué)》課程中一維定態(tài)問題是一個教學(xué)的重點．它是學(xué)習(xí)量子化概念的基礎(chǔ)，也是學(xué)生初次接觸薛定諤方程，對量子概念有所體會的生動范例．我們在課堂上對很多基本的一維勢阱、勢壘問題做出了細致的講解和計算，也有很多同仁對這些問題進行討論[1，2]．而對這一類問題——一維階梯勢問題[3，4],我們卻較少關(guān)注．此類問題在習(xí)題中、考研試卷中偶爾出現(xiàn)[5，6],考查學(xué)生求解一維薛定諤方程的基本技能．一維階梯勢的問題不是一個特殊的問題,但是在與學(xué)生的討論和教學(xué)中我們發(fā)現(xiàn),這是一個值得認真研究的問題．

1　高于零點的階梯勢 且粒子能量E>V0

1.1　粒子從左側(cè)入射

首先我們來看看教材中的習(xí)題設(shè)計[7]．首先,一維階梯勢的勢分布以分段函數(shù)形式給出 ，如圖1所示.

圖1　高于零點的一維階梯勢分布

(1)

假設(shè)粒子(能量E>V0)從左側(cè)入射,求解反射系數(shù)和透射系數(shù).

規(guī)范的求解步驟如下.

(1)寫出薛定諤方程

(2)

(2)對不同區(qū)域求解

I區(qū)

(3)

ψI=Aeikx+Re-ikx

(4)

II區(qū)

(5)

ψII=Teik′x

(6)

(7)

進而得到反射系數(shù)為

(8)

對這個結(jié)果我們可以討論兩種極限的情況．β≈0時(幾乎沒有階梯或者粒子能量遠大于階梯勢的高度)，反射系數(shù)趨近于零,粒子完全通過；β≈1時(粒子能量與階梯平齊)，反射系數(shù)趨近于1,粒子被完全反射,即粒子沒有機會進入到右側(cè)區(qū)域(Ⅱ)．

1.2　粒子從右側(cè)入射

如果粒子(能量E>V0)從右側(cè)入射,情況會不會不同呢?

(9)

ψⅡ=Ae-ikx+Reikx

(10)

(11)

ψⅠ=Te-ik′x

(12)

(13)

反射系數(shù)為

(14)

仔細觀察，上述結(jié)果式(14)與粒子從左側(cè)入射的結(jié)果式(8)完全相同．這個結(jié)果是不是令人感到驚奇？

可能很多同學(xué)在求解1.2問題之前,會想當(dāng)然地認為,從左側(cè)入射的情況反射系數(shù)應(yīng)該大于從右側(cè)入射的反射系數(shù)．這實際上是一個宏觀的印象——人在行走中上下臺階的困難程度是不同的．而實際上嚴格的求解告訴我們,在量子的范疇,階梯勢對粒子的反射幾率是同一的,不論粒子從哪一側(cè)入射．這一結(jié)果恰恰體現(xiàn)了量子世界的與眾不同．通過對這個題目的詳細求解應(yīng)該會讓同學(xué)們對量子力學(xué)這門課程的獨特之處有一個更直接的體會．

2　高于零點的階梯勢 且粒子能量E

細心的同學(xué)會注意到,我們在解決上面問題時要求粒子的能量E>V0,那么如果粒子能量不滿足這個條件,其結(jié)果又會怎樣呢?我們假設(shè)粒子從左側(cè)入射,V0>E>0,薛定諤方程可以寫為

(15)

ψⅠ=Aeikx+Re-ikx

(16)

(17)

ψⅡ=Te-k′x

(18)

零點處連續(xù),所以

解得

反射系數(shù)為1．

3　低于零點的階梯勢

我們還看到很多習(xí)題中的一維階梯勢是這么給出的

(19)

如圖2所示.

圖2　低于零點的一維階梯勢分布

假設(shè)粒子(能量E>0)仍然從左側(cè)入射,求透射系數(shù)和反射系數(shù)．

(20)

ψⅠ=Aeikx+Re-ikx

(21)

(22)

ψⅡ=Teik′x

(23)

所以連續(xù)性條件給出

反射系數(shù)為

(24)

如果V0=βE(0<β<1)，反射系數(shù)即為

(25)

當(dāng)β≈0時(幾乎沒有階梯或者粒子能量遠大于階梯勢高度)，反射系數(shù)趨近于零,粒子完全通過；E≈0時(相當(dāng)于β→∞)，反射系數(shù)趨近于1,粒子被完全反射,即粒子沒有機會進入到右側(cè)區(qū)域(Ⅱ)．實際上，當(dāng)能量E<0，粒子都將被完全反射，情況與2中的例子相同．

有的同學(xué)可能會對這一結(jié)果產(chǎn)生疑問．坐標(biāo)的選擇完全是人為的呀，為什么我們把坐標(biāo)軸向上移動了V0而已，反射系數(shù)的表達式就有所不同了．粒子能量與勢的關(guān)系均為V0=βE，其散射結(jié)果難道不應(yīng)該是相同的嗎？這里可能大家忽略了一個細節(jié)——考慮兩種不同情況下粒子以相同能量E入射：從經(jīng)典的觀點考慮，當(dāng)階梯勢高于零點，粒子的動能在x>0的區(qū)域為E-V0，而在x<0的區(qū)域為E；而當(dāng)階梯勢與零點平齊，粒子的動能在x>0的區(qū)域為E，在x<0的區(qū)域為E-(-V0)=E+V0．也就是說以相同能量入射的粒子，在這兩種勢分布下，在x>0的區(qū)域其動能分別為E-V0和E，在x<0的區(qū)域，其動能分別為E和E+V0．所以，從能量零點選取的角度考慮，一種情況下入射能量為E對應(yīng)另一種情況下入射能量為E-V0的情況．當(dāng)入射粒子能量與階梯勢的相對關(guān)系一致時，所得的結(jié)果才會相同．

由一道簡單的一維階梯勢的問題，我們竟然可以得到這么多有趣的結(jié)果．這也啟發(fā)我們對很多《量子力學(xué)》中的問題需要舉一反三．我們傳統(tǒng)的課堂講授內(nèi)容可能更偏向于橫向的比較，比如一維無限深勢阱、一維有限深勢阱、一維諧振子……而對問題的縱向延伸做得不夠．這樣做的結(jié)果是，同學(xué)們對老師課堂講的例題能聽懂，但是自己做習(xí)題就完全無從下手．此文中這樣的舉一反三既可以增加一點課程的趣味性，也能夠激勵學(xué)生思考，對學(xué)過的內(nèi)容提出新的問題，這就是培養(yǎng)學(xué)生研究能力的一個有益模式．

IssueofOneDimensionalStaircasePotentialWorthyofInferingOtherThingsfromOneFact

Lu AijiangYang Qinyu

(Science College,Donghua University,Shanghai201620)

Abstract:Based on the quantum mechanics problem with one dimensional (1D) step-like potential, many an interesting results have been obtained.The moving directions of the injected particles and the position of the step-like potential are attributed to the main facets of this problem.It is a good exercise about 1D stationary state,and is a typical problem to show the specialty of quantum mechanics.

Keywords:step-like potential；potential function；transmission coefficient；reflectance

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