無刷直流電機的分數(shù)階滑模控制器設計*

劉 寧，趙鴻菲，趙志誠

（1.山西省自動化研究所，太原 030012；2.太原科技大學電子信息工程學院，太原 030024）

0 引言

無刷直流電機由于結構簡單，能量密度高，具有優(yōu)良的調速性能，維護簡單方便，工作壽命長，在現(xiàn)代工業(yè)領域有著大量的應用［1-2］。在多數(shù)應用場合中，傳統(tǒng)控制方法能夠滿足系統(tǒng)的性能要求，但考慮到BLDCM具有時變、多變量耦合等復雜特性，當系統(tǒng)受到外界擾動或系統(tǒng)參數(shù)發(fā)生變化時，傳統(tǒng)控制方法則難以實現(xiàn)對BLDCM的精確控制和滿足系統(tǒng)高性能的要求。

滑?？刂茖ο到y(tǒng)的參數(shù)變化以及外界擾動具有良好的魯棒性和完全的自適應性，因此，出現(xiàn)了多種BLDCM滑?？刂疲⊿liding model control，SMC）策略［3-7］。然而，在實際應用中，由于時間和空間滯后開關、系統(tǒng)的慣性和延遲及測量誤差等因素，使變結構控制在滑動模態(tài)下伴隨著高頻抖振，嚴重影響了系統(tǒng)的控制性能［8］。為了削弱系統(tǒng)抖振，改進的滑?？刂浦饕驶瑒幽B(tài)法［9］、干擾觀測器法、濾波法和高階滑?？刂品椒ǎ?0］等，上述方法在改善系統(tǒng)品質的同時仍然存在著不足，如準滑動模態(tài)和干擾觀測器會使系統(tǒng)存在靜態(tài)誤差，濾波方法增加了系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的難度，而高階滑模控制算法的實現(xiàn)較為復雜。

因此，本文結合分數(shù)階控制［11-14］傳遞能量緩慢，分數(shù)階微積分算子的信息記憶和遺傳特性，提出一種分數(shù)階滑模控制策略，分別從滑模面和趨近律兩方面進行分數(shù)階滑?？刂破鞯脑O計。首先對整數(shù)階滑模面的設計進行改進，通過增加分數(shù)階微積分算子，有效削弱滑?？刂频亩墩褡饔茫衷黾恿嘶Ｃ娴淖杂啥?。其次采用分數(shù)階型快速冪次趨近律來設計控制律，使系統(tǒng)在加快收斂速度的同時又進一步削弱系統(tǒng)抖振，完成分數(shù)階速度控制器的設計。利用李雅普諾夫理論和分數(shù)階系統(tǒng)穩(wěn)定性理論進行穩(wěn)定性分析，仿真結果驗證了所提方法的優(yōu)越性。

1 BLDCM的數(shù)學模型

針對兩相導通星型三相六狀態(tài)的BLDCM，在理想狀態(tài)下，假設電機的反電動勢波形為電角度的近似梯形波，不計電機損耗及電樞反應對氣隙磁場的影響，三相繞組完全對稱，則BLDCM三相繞組的電壓平衡方程可以表示為：

式中，ua、ub和 uc分別為繞組各相電壓；ia、ib和 ic分別為繞組各相電流；ea、eb和ec分別為各相反電動勢瞬時值；R為繞組相電阻，L、M分別為各相繞組自感和每兩相繞組間的互感；P為微分算子。

因三相繞組為星形聯(lián)結，故ia+ib+ic=0，將此式帶入式（1），得到相應的電壓平衡方程為：

BLDCM電磁轉矩方程為：

式中，Te為電機電磁轉矩；ω為電機轉子機械角速度。

BLDCM的運動方程為

式中，TL為負載轉矩；B為粘滯阻尼系數(shù)；J為轉動慣量，KT為轉矩系數(shù)。

將式（5）代入式（4）可得

式中，a=B/J，b=KT/J，c=TL/J。

考慮參數(shù)變化時，式（6）可表示為

式中，Δa，Δb和Δc為電機參數(shù)攝動量。

為了使系統(tǒng)輸出的ω快速且平穩(wěn)地跟蹤上設定值ω*，則需要合理地設計控制器，這里定義速度跟蹤偏差 e（t）=ω*-ω，根據(jù)式（7）可得

2 BLDCM分數(shù)階滑?？刂破髟O計

2.1 分數(shù)階滑?？刂破鞯脑O計

分數(shù)階滑?？刂破鞯脑O計分為兩部分，即分數(shù)階滑模面的選取以及控制律的設計。這里選取BLDCM的速度跟蹤偏差作為變量，設

利用分數(shù)階微積分隨時間緩慢傳遞能量及衰減的特性來削弱SMC引起的抖振，用分數(shù)階微積分算子代替整數(shù)階微積分算子，通過選擇合適的分數(shù)階階次，增大了控制系統(tǒng)的靈活性。本文選取的分數(shù)階滑模面為

式中，0和t為分數(shù)階計算過程的初始時刻與最終時刻；λ為分數(shù)階微積分階次；R（）代表λ的實部。

根據(jù)式（9）對式（10）進一步計算得

為了使系統(tǒng)的狀態(tài)盡快地收斂到滑模面上，文獻［15］提出了一種快速冪次趨近律，根據(jù)文獻［16］可知快速冪次趨近律具有二階滑模特性，結合分數(shù)階傳遞能量緩慢的特性，對符號函數(shù)進行分數(shù)階積分作用，弱化符號函數(shù)帶來的抖振，設計一種分數(shù)階型快速冪次趨近律，分數(shù)階快速冪次趨近律具體如下：

式中，k1＞0，k2＞0，是分數(shù)階微積分算子，其中-1＜ξ＜0，0＜α＜1，sgn（·）為符號函數(shù)，其定義如下：

圖1 符號函數(shù)的分數(shù)階形式

當系統(tǒng)狀態(tài)遠離滑模面時，指數(shù)項-k2S起主要作用，加快收斂速度；而在接近滑模面時，項起主要作用。由于對符號函數(shù)進行分數(shù)階作用，弱化了由于符號函數(shù)帶來的不連續(xù)作用引起的抖振，且由圖1可知，的階次ξ越高，分數(shù)階對符號函數(shù)的作用越強。

由式（12）和式（13）可得

再結合式（8）和式（9）可以設計出分數(shù)階滑?？刂破鞯目刂坡蔀?/p>

3 控制性能分析

SMC的系統(tǒng)狀態(tài)包括到達段和滑模段兩部分，因此，系統(tǒng)性能的分析也包括兩方面內容：一是滑模逼近條件；二是滑模存在條件。

3.1 滑模逼近條件

采用李雅普諾夫定理來證明分數(shù)階滑模控制器的穩(wěn)定性，定義李雅普諾夫函數(shù)為

對式（17）求導，可得

若滿足條件 k1＞0，k2＞0，則

故根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性理論，對于任意的S≠0，恒有V˙＜0，系統(tǒng)能由任意初始狀態(tài)在有限時間內到達滑模面。

3.2 滑模存在條件

當系統(tǒng)進入滑模段時，系統(tǒng)狀態(tài)滿足下列等式：

根據(jù)分數(shù)階系統(tǒng)穩(wěn)定性理論［18］，只要滿足條件C＞0，則BLDCM分數(shù)階滑?？刂葡到y(tǒng)就是漸近穩(wěn)定的，且求解式（20）得：

4 仿真結果與分析

為了驗證本文所提分數(shù)階滑?？刂品椒ǖ挠行?，將所提控制策略運用到無刷直流電機的調速系統(tǒng)中，利用Matlab軟件進行仿真分析，并與傳統(tǒng)整數(shù)階滑?？刂七M行性能比較。無刷直流電機調速系統(tǒng)結構如圖2所示，電機的主要參數(shù)如表1所示。

圖2 BLDCM分數(shù)階滑模控制調速系統(tǒng)結構圖

表1 BLDCM參數(shù)

首先，進行所提控制策略的抗干擾能力的驗證，選用ITAE和超調量σ%作為系統(tǒng)性能，一般情況下，兩種性能指標值較小表示性能較好。在給定轉速nr=1 000 r/min情況下，在t=0.1 s時，施加負載TL=0.1 N·m，在分數(shù)階滑?？刂品椒ㄏ潞驼麛?shù)階滑模控制方法下的系統(tǒng)轉速響應曲線如圖3所示，分數(shù)階滑?？刂破鞯姆謹?shù)階階次為=0.04，ξ=-0.42，得到的系統(tǒng)性能指標如表2所示。從圖3可知，相比于整數(shù)階滑模控制，在分數(shù)階滑模控制下無刷直流電機的轉速無超調，對于外部干擾具有較強的抗干擾能力，突加負載后，動態(tài)偏差很小，而且分數(shù)階滑?？刂瓶梢垣@得更優(yōu)異的動態(tài)響應速度。

圖3 分數(shù)階及整數(shù)階滑?？刂频乃俣软憫€

為了驗證電機參數(shù)發(fā)生攝動情況下系統(tǒng)的魯棒性，考慮電機的轉動慣量J攝動+30%時，給定轉速nr=1 000 r/min，在 t=0.1 s時，施加負載 TL=0.1 N·m，此時得到分數(shù)階滑?？刂坪驼麛?shù)階滑?？刂频南到y(tǒng)轉速響應曲線如圖4所示，系統(tǒng)的性能指標如表2所示。由圖4可知，在電機參數(shù)發(fā)生攝動后，整數(shù)階滑?？刂葡碌臒o刷直流電機轉速的超調量變大；而同樣在電機參數(shù)攝動下，對于分數(shù)階滑?？刂葡碌臒o刷直流電機的轉速仍無超調，表2中的性能指標參數(shù)同樣表明了分數(shù)階控制具有較好的魯棒性。

表2 系統(tǒng)性能指標

圖4 參數(shù)攝動下的速度響應曲線

仿真結果驗證了與整數(shù)階滑模控制相比，分數(shù)階滑?？刂浦饕匦员憩F(xiàn)在良好的抗干擾性、強魯棒性、控制高精度性［20］，可以實現(xiàn)暫態(tài)過程中無超調，具有優(yōu)良的綜合控制性能。

5 結論

本文提出了一種無刷直流電機調速系統(tǒng)分數(shù)階滑?？刂撇呗裕謩e從滑模面和趨近律兩方面進行分數(shù)階滑?？刂破鞯脑O計，削弱了整數(shù)階滑?？刂茙硐到y(tǒng)抖振的同時提高了系統(tǒng)的控制精度。將所設計的分數(shù)階滑模控制器運用到無刷直流電機調速控制系統(tǒng)當中，通過仿真驗證了分數(shù)階滑?？刂破骶哂休^好的抗負載擾動性能以及對參數(shù)攝動具有較強的魯棒性。