混凝土人字形折板式網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)的彈性穩(wěn)定分析

楊碧超 張華剛 宋勇 吳琴 王勤征 李莉

摘 要：彈性穩(wěn)定是結(jié)構(gòu)非線性分析時(shí)考慮缺陷影響的基礎(chǔ)。對混凝土人字形折板式網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)基于對稱性作簡化分析，導(dǎo)得結(jié)構(gòu)彈性失穩(wěn)臨界荷載計(jì)算的超越方程并給出臨界荷載-肋梁剛度比曲線。采用有限元方法計(jì)算結(jié)構(gòu)的失穩(wěn)荷載，給出了低階失穩(wěn)模態(tài)；并考慮邊梁、脊線和肋剛度及矢跨比的影響計(jì)算彈性失穩(wěn)臨界荷載，上述剛度改變通過調(diào)整構(gòu)件截面高度實(shí)現(xiàn)。結(jié)果表明：結(jié)構(gòu)的低階彈性失穩(wěn)模態(tài)關(guān)于脊線對稱，其中一階模態(tài)為半波反對稱變形；矢跨比是影響彈性失穩(wěn)臨界荷載的重要因素，建議矢跨比不低于1/6；增大邊梁的截面高度并不能有效提高其抗扭剛度，因此不能顯著影響彈性失穩(wěn)臨界荷載；脊線剛度對彈性失穩(wěn)臨界荷載的影響較?。焕邉偠鹊脑黾涌梢源蠓忍岣呓Y(jié)構(gòu)彈性失穩(wěn)臨界荷載。

關(guān)鍵詞：混凝土折板式網(wǎng)殼；彈性穩(wěn)定；簡化分析；有限元法；臨界荷載

中圖分類號：TU375

文獻(xiàn)標(biāo)識碼： A

由于混凝土殼體結(jié)構(gòu)的施工較為復(fù)雜，自上世紀(jì)七十年代后，除在筒倉、冷卻塔等特種結(jié)構(gòu)中有所應(yīng)用外，國內(nèi)外較少得到修建[1-3]。滕錦光等提出的鋼殼-混凝土薄殼組合結(jié)構(gòu)，鋼殼可以作為混凝土殼的施工模板[4-5]，常玉珍等提出的組合肋殼，殼肋采用了外包鋼[6]，上述組合殼體從構(gòu)造上可以提高結(jié)構(gòu)的施工速度。張華剛等將密肋平板和折板結(jié)構(gòu)相結(jié)合，提出了混凝土折板式網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)[7]，它由若干塊密肋平板在脊（谷）線處交匯構(gòu)成，從而可將曲面施工改為折平面施工，在構(gòu)形上有效降低了混凝土殼體結(jié)構(gòu)的施工難度，并取得了較好的技術(shù)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)[8]。

當(dāng)前對混凝土人字形折板式網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)的研究主要集中在靜力性能和動(dòng)力特性等方面[8-11]。相對于混凝土普通結(jié)構(gòu)而言，由于組成結(jié)構(gòu)的密肋梁板的截面尺寸較小，加之不可避免的施工坐標(biāo)偏差及可能存在的構(gòu)件幾何、材料缺陷等影響，穩(wěn)定問題應(yīng)成為這種結(jié)構(gòu)實(shí)際應(yīng)用時(shí)控制其極限承載力的重要問題。影響結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的因素較多，當(dāng)前對結(jié)構(gòu)缺陷的引入主要有隨機(jī)缺陷模態(tài)法和一致缺陷模態(tài)法，其中一致缺陷模態(tài)法的計(jì)算工作量小、計(jì)算精度較高，它主要以結(jié)構(gòu)最低階屈曲模態(tài)來模擬結(jié)構(gòu)的初始缺陷分布[12]，因此彈性穩(wěn)定分析是一致缺陷模態(tài)法的基礎(chǔ)。本文采用有限元方法對結(jié)構(gòu)作彈性穩(wěn)定性的參數(shù)分析，考慮的影響參數(shù)主要有矢跨比、邊梁剛度、脊線剛度、密肋梁剛度，基于分析結(jié)果主要考察結(jié)構(gòu)的一階屈曲模態(tài)并獲得結(jié)構(gòu)的彈性極限承載力，可為工程應(yīng)用提供參考并為后續(xù)的幾何非線性分析奠定基礎(chǔ)。

1 結(jié)構(gòu)彈性穩(wěn)定的簡化計(jì)算

1.1 結(jié)構(gòu)形式

本文的分析對象如圖1 所示，屋蓋由兩塊密肋平板在脊線處相交構(gòu)成，并在山墻處設(shè)置空腹桁架式橫隔，屋蓋的拱向跨度為Ly。

1.2 彈性穩(wěn)定的簡化計(jì)算

在豎向荷載作用下，基于結(jié)構(gòu)主要沿拱向傳力的特點(diǎn)，并將邊梁的抗扭約束作用采用彈簧剛度 表示，則可得到圖2（a）所示的典型計(jì)算單元，再基于對稱性可獲得如圖2（b）所示的彈性穩(wěn)定計(jì)算簡圖。

其中桿的實(shí)際長度為l=L/（2cosα）， L和α分別為屋蓋跨度和傾角。將屋蓋的豎向荷載沿桿軸向和垂直于桿軸向分解，其中垂直于桿軸向的分力引起結(jié)構(gòu)跨中恒定的豎向位移，本文忽略其對結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的影響，并將桿的軸向壓力累加至B支座，即軸向壓力為

結(jié)合式（1），可知豎向荷載的臨界值還和結(jié)構(gòu)矢跨比有關(guān)。式（8）和式（9）可作為一定矢跨比下結(jié)構(gòu)彈性失穩(wěn)時(shí)臨界荷載的上、下限值。

2 結(jié)構(gòu)彈性穩(wěn)定的有限元分析

2.1 計(jì)算原理

考慮軸力對結(jié)構(gòu)側(cè)向變形的影響，由勢能駐值原理可得結(jié)構(gòu)平衡方程為[15]

其中[K]為不考慮軸向力影響的結(jié)構(gòu)彈性剛度矩陣，[S]為縱向力影響下的結(jié)構(gòu)幾何剛度矩陣，即縱向力P隱含在[S]中；{Δ}為結(jié)點(diǎn)位移向量，[F]為結(jié)點(diǎn)的荷載向量。在穩(wěn)定平衡狀態(tài)下，結(jié)構(gòu)勢能的變分應(yīng)為零，即有

式中包含荷載P的代數(shù)方程，P的最小值為臨界荷載。求解時(shí)，因?yàn)閺椥詣偠染仃嘯K]是已知的，而幾何剛度矩陣[S]中的P未知，因此可以任意假設(shè)一組外荷載{P0}，此時(shí)與其對應(yīng)的幾何剛度矩陣為[S0]，并假定彈性失穩(wěn)的荷載為{P0}的λ倍，這樣失穩(wěn)時(shí)的幾何剛度矩陣變?yōu)棣薣S0]，特征方程變?yōu)?/p>

求出各階特征值λ1后，即可得描述結(jié)構(gòu)變形形狀（模態(tài)）的特征向量{Δi}，臨界荷載為λi{P0}。

2.2 有限元計(jì)算模型

結(jié)構(gòu)平面尺寸為17.4 m×16.8 m，如圖4（a）所示。結(jié)構(gòu)跨度為17.4 m，橫隔上下弦截面尺寸為400 mm×600 mm，中弦截面尺寸為250 mm×350 mm，腹桿截面尺寸為350 mm×350 mm，上述尺寸為本文全部有限元算例的通用尺寸。

除屋面板采用板殼單元外，其余構(gòu)件均采用梁單元，單元?jiǎng)澐志醋匀唤Y(jié)點(diǎn)劃分為一個(gè)單元，有限元模型如圖4（b）。圖4（a）中，A#軸上的矩形框僅示意約束位置。材料彈性模量Ec=3×104 N/mm2，泊松比ν=0.2。有限元計(jì)算時(shí)與式（11）對應(yīng)的荷載為結(jié)點(diǎn)單位集中力。

3 彈性失穩(wěn)的模態(tài)及失穩(wěn)荷載

為了解結(jié)構(gòu)的彈性失穩(wěn)模態(tài)，取矢跨比為1/4，邊梁截面尺寸為0.4 m×0.6 m、密肋梁截面尺寸為0.25 m×0.35 m、橫隔上弦截面尺寸為0.4 m×0.6 m、脊線截面尺寸為0.25 m×0.6 m計(jì)算，前六階失穩(wěn)荷載的計(jì)算結(jié)果見表1，對應(yīng)失穩(wěn)模態(tài)如圖5所示?？梢娗傲A屈曲模態(tài)均關(guān)于脊線對稱，反應(yīng)了這種結(jié)構(gòu)特有的變形性質(zhì)，其中第1階模態(tài)關(guān)于脊線半波反對稱，第2階是關(guān)于脊線反對稱的2個(gè)

半波模態(tài)，第3階模態(tài)關(guān)于脊線半波正對稱，第5階為關(guān)于脊線的兩個(gè)半波正對稱模態(tài)，第4階和第6階模態(tài)為多波模態(tài)。

4 彈性穩(wěn)定的參數(shù)化分析

4.1 算例情況

基于前節(jié)的有限元模型，通過改變結(jié)構(gòu)矢高和邊梁剛度、脊線剛度、肋剛度及屋面板厚度進(jìn)行計(jì)算，以了解上述因素對結(jié)構(gòu)彈性失穩(wěn)臨界荷載的影響，算例分別為：

（1）僅調(diào)整矢跨比計(jì)算了6個(gè)算例，矢跨比為1/3、1/4、1/5、1/6、1/8和1/10。

（2）僅改變邊梁的截面高度分析了5個(gè)算例，邊梁截面高度分別取0.5 m、0.6 m、0.7 m、0.8 m和0.9 m。

（3）僅將脊線截面高度從0.5 m開始按0.1 m的差值增大到0.9 m，共計(jì)算了5個(gè)算例。

（4）僅改變肋的截面高度計(jì)算了5個(gè)算例，肋截面高度分別為0.25 m、0.3 m、0.35 m、0.4 m和0.45 m。

上述因素僅會影響結(jié)構(gòu)的一階彈性失穩(wěn)模態(tài)坐標(biāo)，而不會從本質(zhì)上改變其一階模態(tài)，因此計(jì)算結(jié)果僅考察臨界荷載。

4.2 計(jì)算結(jié)果及分析

4.2.1 矢跨比對臨界荷載的影響

不同矢跨比下臨界荷載的計(jì)算結(jié)果如圖6所示。結(jié)構(gòu)的臨界荷載隨矢跨比的增加而增加，且?guī)缀醭删€性關(guān)系，當(dāng)矢跨比為1/10時(shí)，臨界荷載為32.0 kN，當(dāng)矢跨比為1/3時(shí)，臨界荷載為68.9 kN，臨界荷載增加了115.3%，因此矢跨比是影響結(jié)構(gòu)彈性穩(wěn)定臨界荷載的重要因素，且矢跨比低于1/6后，臨界荷載具有明顯的變化梯度，結(jié)合結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性分析[11，13]，建議結(jié)構(gòu)矢跨比不低于1/6。

4.2.2 邊梁剛度對臨界荷載的影響

改變邊梁剛度后，彈性失穩(wěn)臨界荷載的計(jì)算結(jié)果如圖7所示。臨界荷載隨著邊梁截面高度的增加而增加，但增幅較緩，當(dāng)邊梁截面高度取0.5 m時(shí)，臨界荷載為59.0 kN，當(dāng)邊梁高度增大到0.9 m時(shí)，臨界荷載為64.1 kN，僅增大了8.6%。前述分析已表明，失穩(wěn)的臨界荷載受邊梁抗扭剛度影響，僅提高邊梁截面高度是有利于其抗彎剛度增強(qiáng)的，但對抗扭剛度的提高作用有限，對于本算例，當(dāng)邊梁截面高度由0.5 m增加至0.9 m時(shí)，其抗扭剛度僅增加了2.52倍，可見增加邊梁截面高度不是提高結(jié)構(gòu)臨界荷載的有效措施。

4.2.3 脊線剛度對臨界荷載的影響

由于密肋平板在脊線處交匯，有必要討論脊線剛度的變化對屋蓋臨界荷載的影響。僅改變脊線截面高度后，臨界荷載的計(jì)算結(jié)果如圖8所示。臨界荷載隨脊線剛度的增大近似線性增大，當(dāng)脊線截面高度取0.5 m時(shí)，臨界荷載為59.9 kN；當(dāng)脊線截面高度增大到0.9 m時(shí)，臨界荷載為64.9 kN，增幅為8.3%。屋蓋在對稱豎向荷載作用下，脊線事實(shí)上為密肋平板的定向滑動(dòng)支承邊，因此不會明顯影響結(jié)構(gòu)彈性失穩(wěn)的臨界荷載。

4.2.4 肋剛度對臨界荷載的影響

增加肋剛度后，臨界荷載的計(jì)算結(jié)果如圖9所示?？梢娎邉偠葘εR界荷載的影響較為明顯，當(dāng)肋截面高度為0.25 m時(shí)，彈性失穩(wěn)臨界荷載為31.1 kN，而肋的截面高度增大到0.45 m時(shí)，臨界荷載為103.3 kN，截面高度增大1.8倍后，臨界荷載可增大3.32倍。因此提高肋剛度是增大結(jié)構(gòu)臨界荷載的有效措施。

5 結(jié)論

（1）在本文的簡化假定下，結(jié)構(gòu)彈性失穩(wěn)的臨界荷載與肋-邊梁的剛度比有關(guān)，本文提供的彈性失穩(wěn)臨界荷載-剛度比曲線可供結(jié)構(gòu)彈性穩(wěn)定分析時(shí)采用。

（2）結(jié)構(gòu)的低階彈性失穩(wěn)模態(tài)以脊線為對稱軸，反應(yīng)了這類結(jié)構(gòu)特有的變形性質(zhì)，其中一階彈性失穩(wěn)模態(tài)關(guān)于脊線半波反對稱，是結(jié)構(gòu)失穩(wěn)時(shí)潛在的變形趨勢。

（3）結(jié)構(gòu)矢跨比是影響彈性失穩(wěn)臨界荷載的重要因素，建議矢跨比不低于1/6。

（4）邊梁作為人字拱的主要傳力和約束構(gòu)件，增大邊梁的截面高度并不能有效提高其抗扭剛度，因此邊梁截面高度的改變不能顯著影響彈性失穩(wěn)臨界荷載。

（5）屋蓋受對稱豎向荷載作用時(shí)，可認(rèn)為脊線是密肋平板的定向滑動(dòng)支承邊，因此脊線剛度對彈性失穩(wěn)臨界荷載的影響較小。

（6）肋剛度的增加可以大幅度提高結(jié)構(gòu)彈性失穩(wěn)臨界荷載。

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（責(zé)任編輯：周曉南）