計及信號隨機延時的電力系統(tǒng)小干擾概率穩(wěn)定性分析

陳　中, 唐浩然, 袁宇波, 周　濤, 李虎成, 許　揚

(1. 東南大學電氣工程學院, 江蘇省南京市 210096; 2. 江蘇省智能電網(wǎng)技術與裝備重點實驗室, 江蘇省南京市 210096; 3. 國網(wǎng)江蘇省電力有限公司, 江蘇省南京市 211103)

0　引言

隨著計算機網(wǎng)絡通信技術的不斷發(fā)展,廣域測量系統(tǒng)(wide area measurement system,WAMS)為分析區(qū)域間低頻振蕩及其抑制提供了新的手段[1-2]。在廣域附加阻尼控制器的應用中延時的存在是不可避免的問題,延時是控制律失效、運行狀況惡化和系統(tǒng)失穩(wěn)的一種重要誘因[3]。廣域測量系統(tǒng)由多種通信媒質組成,結構復雜,傳輸裝置、傳輸媒介的不同,使得傳輸通道的通信延時具有不確定性[4]。

近年來,對固定延時下的系統(tǒng)穩(wěn)定性研究與控制器設計已有較多的研究[5],廣泛應用的方法有Smith預測方法[6]以及Pade近似方法[7]。但是受網(wǎng)絡環(huán)境變化的影響,WAMS網(wǎng)絡中的通信延時往往是隨機的。文獻[8]通過對江蘇WAMS的實測指出,傳輸過程中可變延時的大小受數(shù)據(jù)量變化的影響,并且延時范圍的概率滿足近似正態(tài)分布。文獻[9-11]采用不同的預測算法對具有延時特性的廣域信號進行補償,從而使得在一定通信延時范圍內,廣域控制器能夠獲得近似于實時的信號數(shù)據(jù)。以上方法均是從信號預測補償?shù)慕嵌瘸霭l(fā)減少隨機延時對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。文獻[12-14]從模型出發(fā),通過不同方法構造新型Lyapunov-Krasovskii泛函建立了時變時滯電力系統(tǒng)模型,并通過線性矩陣不等式(linear matrix inequalities,LMI)實現(xiàn)了系統(tǒng)最大允許時滯的求解與廣域阻尼控制器設計,如何減少判據(jù)保守性是研究難點。文獻[15]通過數(shù)學期望建模方法模擬了通信網(wǎng)絡隨機延時對廣域控制性能的影響,未進一步給出系統(tǒng)穩(wěn)定性分析方法。目前,在電力系統(tǒng)領域考慮隨機延時對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響的研究工作尚處于發(fā)展階段,因此需要深入研究WAMS系統(tǒng)中廣域信號的隨機延時特性對于電力系統(tǒng)小干擾穩(wěn)定性的影響機制。

電力系統(tǒng)概率穩(wěn)定性分析最早由Burchett和Heydt于1978年提出[16]?，F(xiàn)有研究主要考慮電力系統(tǒng)網(wǎng)絡拓撲與節(jié)點注入功率的不確定性[17],較少考慮通信系統(tǒng)的隨機性對電力系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。由于通信延時的不確定性,采用廣域測量信號的電力系統(tǒng)特征根將以一定的概率分布在某些區(qū)間內。根據(jù)延時系統(tǒng)臨界特征根的概率分布,就能近似得到整個系統(tǒng)小干擾穩(wěn)定的概率。

為研究廣域信號在通信系統(tǒng)傳輸過程中,延時的隨機分布特性對系統(tǒng)小干擾穩(wěn)定的影響,本文采用半不變量與Gram-Charlier級數(shù)相結合的方法對具有隨機延時的廣域電力系統(tǒng)進行建模,并對不同延時分布參數(shù)下的電力系統(tǒng)小干擾概率穩(wěn)定性進行了分析。進而提出了一種基于置信區(qū)間的計及廣域信號隨機分布延時的電力系統(tǒng)穩(wěn)定器(PSS)參數(shù)魯棒性設計方法。

1　計及延時的小干擾概率穩(wěn)定計算模型

1.1　半不變量和Gram-Charlier級數(shù)

文獻[18]對貴州電網(wǎng)廣域控制系統(tǒng)中的信號延時進行分析后得出,可采用正態(tài)分布估計模型對實際廣域系統(tǒng)中的信號延時進行擬合,故本文采用正態(tài)分布建立信號延時的估計模型(為不失一般性,也可隸屬于其他任意分布形式)。信號延時的概率密度函數(shù)(probabilistic density function,PDF)為:

(1)

式中:μτ和στ分別為信號延時的均值和標準差。

針對式(1)所描述的信號延時,可通過Gram-Charlier級數(shù)展開的方法,獲得廣域控制系統(tǒng)臨界特征根的概率密度函數(shù),進而得出系統(tǒng)的小干擾概率穩(wěn)定性,具體步驟如下。

1)計算隨機變量的階距與半不變量

隨機變量延時可表示為τ=τ0+Δτ,其中τ0為隨機變量的期望值,Δτ為隨機擾動,其期望的表達式為:

E(Δτ)=E(τ-τ0)=E(τ)-E(τ0)=0

(2)

Δτ的一階原點矩(期望值)為零,從而得出:

E(Δτ-E(Δτ))k=E(Δτ)k=E(τ-τ0)k=

E(τ-E(τ))k

(3)

式(3)表明Δτ的各階原點矩都等于其中心距,而且等于τ的中心距。因而只要求出τ的各階中心距,就是Δτ的各階中心距。

半不變量γk是通過對隨機變量的特征函數(shù)取對數(shù)而得到的[19],可得到:

(4)

式中:αk和βk分別為隨機變量x的k階原點矩和k階中心距,其中k=1,2,…。

假設系統(tǒng)的特征根為λ=ξ±jω,則可得到式(5)所示的線性關系:

(5)

由概率論可知,隨機變量a倍的k階半不變量等于該變量的k階半不變量的ak倍。因此，根據(jù)式(5)可得出特征根實部隨機變化量Δξ的第k階半不變量:

(6)

Δξ的第k階中心距βk,Δξ可由其半不變量求得:

(7)

2)按Gram-Charlier級數(shù)展開確定特征根實部的概率密度函數(shù)

(8)

其中系數(shù)ci表示如下:

(9)

(10)

由于Δξ=ξ-ξ0,因此ξ的概率密度為:

fξ(x)=fΔξ(x-ξ0)

(11)

最后,可得到計及隨機通信延時的電力系統(tǒng)小干擾穩(wěn)定概率為:

(12)

1.2　基于阻尼轉矩分析法的延時靈敏度計算

計算出式(6)中的參數(shù)?λ/?τ,即特征根對延時的靈敏度,是獲得fξ(x)的難點與關鍵。本文將利用阻尼分析法與Pade近似相結合的方法計算出該靈敏度參數(shù)。

輸入信號中含有延時的廣域阻尼控制器線性化方程為:

Δu=G(s)Δyτ

(13)

(14)

式中:Δyτ為含有延時的廣域阻尼控制器的輸入信號;G(s)為PSS的傳遞函數(shù)；K為放大環(huán)節(jié)的放大倍數(shù)；Ts為復位環(huán)節(jié)系數(shù)；T1和T2為相位補償環(huán)節(jié)系數(shù);Δu為輸出信號。

設PSS輸入信號Δyτ由L個廣域信號組成,則Δyτ可表示為:

(15)

式中:Xi為系統(tǒng)具體的第i個廣域信號;Ci為廣域信號的權重;τi為第i個廣域信號的延時。

對于同一控制器不同輸入信號Xi,經(jīng)過WAMS所需要的傳輸時間各不相同,即延時各不一樣,但早到的信號需要等待同一時標的所有信號到達,故可認為Δyτ的延時由最后到達的廣域信號的延時τmax決定,可表示為:

τmax=max(τi)i=1,2,…,L

(16)

(17)

將式(17)從時域變換到頻域可得:

(18)

因此,可將輸出信號Δu表示為:

(19)

(20)

式中:Gτ(s)為計及延時的控制器傳遞函數(shù),表明可將延時環(huán)節(jié)移動到控制器傳遞函數(shù)中;Δy為不含延時的控制器輸入信號。

由式(19)和式(20)可知,此時控制器傳遞函數(shù)改變,但輸入信號中已不包含延時信息,故可采用標準的阻尼轉矩分析法(damping torque analysis,DTA)計算得到系統(tǒng)的阻尼轉矩系數(shù),進一步得到特征根相對于延時的靈敏度指標,具體推導過程如下。

阻尼轉矩分析法指標的定義和計算公式為[20]:

(21)

式中:λi為加入廣域PSS后的第i個系統(tǒng)特征根;Δλi為第i個特征根的變化量;ΔGk(λi)為第k臺PSS的傳遞函數(shù)的變化量;Sij為第i個特征根對第j號發(fā)電機的機電振蕩回路提供的阻尼轉矩的靈敏度;Hij∠φij為廣域PSS對第j號發(fā)電機的機電振蕩提供的阻尼轉矩。

由式(20)和式(21)可得到:

(22)

進一步,可以得到第i個特征根λi關于延時τmax的靈敏度:

(23)

由式(23)可知,由于延時環(huán)節(jié)e-sτmax的存在,系統(tǒng)的特征方程變?yōu)橐粋€含有超越項的方程。本文采用Pade近似的方法將延時環(huán)節(jié)變化成一個高階多項式,從而將具有超越項的延時微分方程變?yōu)槠胀ǖ奈⒎帧鷶?shù)方程。文獻[21]指出采用2階Pade近似即可有較高的準確性以及較快的計算速度,故本文對延時環(huán)節(jié)采用2階Pade近似模型,式(23)變換為:

(24)

由式(6)、式(8)、式(10)、式(11)、式(12)以及式(24)共同組成了計及延時隨機特性的電力系統(tǒng)小干擾穩(wěn)定計算模型。

2　計及隨機延時的PSS魯棒性設計

不同延時模型下,系統(tǒng)特征根實部具有不同的統(tǒng)計特性。概率特征根的統(tǒng)計特性可用相應的均值、方差描述,并可由Gram-Charlier級數(shù)展開計算確定。

考慮到PSS參數(shù)的限制,可定義參數(shù)優(yōu)化問題為:

(25)

T表示控制器中超前校正環(huán)節(jié)的時間常數(shù)T1至T4。PSS的增益環(huán)節(jié)設計與勵磁系統(tǒng)相同,故僅需對補償角度進行參數(shù)設計,使得PSS能夠向系統(tǒng)提供最大的阻尼。對本文采用基于模擬退火的粒子群優(yōu)化 (simulated annealing particle swarm optimization,SAPSO)算法對PSS控制器參數(shù)進行優(yōu)化,模擬退火算法在搜索過程中具有概率突跳的能力,可在粒子搜索過程中克服標準粒子群算法容易陷入局部最優(yōu)這一缺點。

3　算例分析

3.1　計及隨機延時的小干擾概率穩(wěn)定計算方法驗證

兩區(qū)四機系統(tǒng)是由兩個區(qū)域經(jīng)長距離輸電線路相互連接構成的一個弱互聯(lián)系統(tǒng)[22]。其中含有WAMS的系統(tǒng)模型圖見附錄A圖A1,系統(tǒng)詳細參數(shù)見附錄A表A1至表A6。該系統(tǒng)的振蕩模式中既包含了區(qū)域間振蕩模式,也存在局部振蕩模式。

以PSS安裝在G1,相量測量單元(phasor measurement unit,PMU)安裝在G1和G3,PMU將發(fā)電機轉子信號傳輸?shù)较嗔繑?shù)據(jù)集中器(phasor data concentrator,PDC)后,取反饋信號Δω1-Δω3傳輸?shù)綇V域PSS用以抑制系統(tǒng)區(qū)域間振蕩。取控制器參數(shù)K=10,T2=T4=0.05,T1=T3=0.2。由于信號延時估計模型的參數(shù)可通過實測獲得,本文以τ～N(0.1,0.052)為例,其中N(0.1,0.052)表示均值為0.1、標準差為0.05的正態(tài)分布,下同。

當τ=0.1時,經(jīng)過確定性計算可知本系統(tǒng)共有3對反映系統(tǒng)低頻振蕩的復數(shù)根。采用式(24)計算特征根相對于延時的靈敏度,結果見表1。

表1　特征根與延時靈敏度Table 1　Eigenvalues and time delay sensitivities

由表1可知,反映局部振蕩的特征根1和特征根2對延時的靈敏度指標遠小于反映區(qū)域間振蕩的特征根3對延時的靈敏度指標。表明在延時波動時,特征根3將發(fā)生較大的變化,故將特征根3認為是系統(tǒng)的臨界特征根,其在隨機延時下實部的分布概率可近似地表達整個系統(tǒng)的穩(wěn)定程度。

采用本文所提方法對考慮隨機延時的廣域系統(tǒng)臨界特征根的概率密度進行計算。具體半不變量與階距參數(shù)以及Gram-Charlier級數(shù)的系數(shù)見附錄B。為了驗證計算結果的正確性,提高仿真結果的可信度,本文在搭建的信息物理融合電網(wǎng)系統(tǒng)(cyber-physical power system,CPPS)仿真平臺上使用蒙特卡洛模擬進行檢驗。本文在通信網(wǎng)絡仿真軟件OPENT中搭建兩區(qū)四機通信系統(tǒng)模型(見附錄A圖A2),在其中的廣域網(wǎng)絡模塊中設定通信延時τ～N(0.1,0.052),在MATLAB中搭建對應的電力系統(tǒng)模型并設定蒙特卡洛模擬次數(shù)為5 000,從而對通信環(huán)節(jié)中具有隨機延時的電力信息融合系統(tǒng)進行模擬仿真。在聯(lián)合仿真過程中,為了避免不同軟件接口傳輸延時對仿真計算結果的影響,本文在OPNET與MATLAB仿真程序之間采用完全同步的方式進行聯(lián)合仿真。采用完全同步的仿真方式時,當MATLAB仿真過程中處于需要獲得廣域信號延時信息的階段時向OPNET發(fā)送通信請求,此時MATLAB暫停在當前仿真時刻,OPNET開始執(zhí)行仿真計算,當OPNET獲得該次傳輸數(shù)據(jù)的延時信息并將所有信息傳輸給OPNET自帶的ESYS接口后,暫停OPNET仿真在當前時刻。ESYS向MATLAB發(fā)起通信請求,MATLAB從ESYS的發(fā)送結果中獲得數(shù)據(jù)的延時信息后,完成當次計算。保存結果并繼續(xù)運行到下一次需要用到數(shù)據(jù)延時信息的時刻,直到結束5 000次蒙特卡洛模擬。

基于Gram-Charlier級數(shù)展開的計算方法和采用OPNET-MATLAB聯(lián)合仿真平臺進行5 000次蒙特卡洛模擬仿真,所獲得的系統(tǒng)臨界特征根實部的概率密度曲線結果如圖1所示。

圖1　特征根實部的概率密度函數(shù)曲線Fig.1　Probabilistic density function curves of real part of eigenvalue

圖1顯示,使用Gram-Charlier級數(shù)展開方法得到的臨界特征根實部的概率密度函數(shù)曲線和蒙特卡洛模擬得到的結果較為吻合,驗證了本文所提計算方法的正確性。

3.2　不同延時特性對小干擾穩(wěn)定的影響分析

應用本文所提方法對具有不同延時特性的采用廣域阻尼控制器的兩區(qū)四機系統(tǒng)進行小干擾概率穩(wěn)定計算,得到臨界特征根實部的累積分布函數(shù)(cumulative distribution function,CDF)的圖像,進而分析不同延時特性對系統(tǒng)小干擾穩(wěn)定的影響。

延時服從正態(tài)分布時,不同均值、方差下,系統(tǒng)臨界特征根實部的概率累積分布曲線的關系分別如圖2(a)和(b)所示。延時服從均勻分布時,不同分布參數(shù)下的概率累積分布曲線見附錄C圖C1。延時服從正態(tài)分布(方差為0.05)時,小干擾穩(wěn)定概率隨正態(tài)分布均值變化的曲線如圖3所示。對圖中的結果進行分析后可得到如下結論。

圖3　不同延時均值下系統(tǒng)小干擾穩(wěn)定概率Fig.3　Probability of system small-signal stability with different time delay mean values

1)延時均值對系統(tǒng)臨界特征根實部的概率分布有較大影響,且延時均值越大,系統(tǒng)小干擾穩(wěn)定概率越低,與常規(guī)物理理解一致。

2)延時模型的方差變化主要影響了概率累積分布曲線的斜率,即表明當通信延時的波動程度越大時,系統(tǒng)臨界特征根實部的分布范圍越廣,對系統(tǒng)的小干擾穩(wěn)定越不利。

3)當通信系統(tǒng)隨機延時的均值與方差增大時系統(tǒng)的小干擾穩(wěn)定概率(P(ξ<0))降低,由圖3可知,當延時均值為0.735 s時P(ξ<0)=0,此時系統(tǒng)已完全失去小干擾穩(wěn)定。

3.3　計及隨機延時的PSS魯棒性設計方法驗證

使用本文提出的計及隨機延時的PSS魯棒性設計的方法對兩區(qū)四機系統(tǒng)的廣域阻尼控制器進行參數(shù)設計。SAPSO優(yōu)化計算過程中取群落大小為30,學習因子均設置為2.05,退火常數(shù)和迭代次數(shù)分別取0.5和100。當網(wǎng)絡環(huán)境處于τ～N(0.15,0.052)的情況下,阻尼控制器的參數(shù)設計考慮延時隨機特性時,優(yōu)化目標函數(shù)為式(25),求解得到J=-0.062 5,此時控制器參數(shù)為T1=T3=0.763 2,T2=T4=0.246 9。如果控制器設計僅考慮延時的均值,即SAPSO的優(yōu)化目標函數(shù)為固定延時(延時為正態(tài)分布的均值)下系統(tǒng)的臨界特征根具有最小的實部,計算得到控制器參數(shù)為T1=T3=0.853 6,T2=T4=0.274 8。若控制器的設計不考慮延時,即SAPSO的優(yōu)化目標函數(shù)傳輸延時為0時,系統(tǒng)的臨界特征根具有最小的實部,此時控制器參數(shù)為T1=T3=0.420 2,T2=T4=0.081。

上述3種情況臨界特征根實部的概率密度函數(shù)曲線和累積分布函數(shù)曲線分別如圖4和圖5所示。

圖4　臨界特征根實部的概率密度函數(shù)曲線Fig.4　Probabilistic density function curves of real part of critical eigenvalue

圖5　臨界特征根實部的累積分布曲線Fig.5　Cumulative distribution function curves of real part of critical eigenvalue

由圖5可得,在輸入信號具有隨機延時的情況下,控制器參數(shù)設計不考慮延時,系統(tǒng)臨界特征根實部為負的概率為71.88%,系統(tǒng)有28.12%的概率失去小干擾穩(wěn)定。如果控制器參數(shù)僅考慮固定延時,系統(tǒng)臨界特征根實部為負的概率為94.1%,系統(tǒng)有5.9%的概率失去小干擾穩(wěn)定。由此可知,在隨機延時情況下,控制器參數(shù)設計僅考慮信號固定延時相比于完全不考慮延時,系統(tǒng)小干擾穩(wěn)定概率已經(jīng)有較大幅度的提升。進一步,采用本節(jié)提出的考慮隨機延時的控制器設計方法后,相比于僅考慮固定延時的設計方法,系統(tǒng)的臨界特征根實部的均值增大,即此時系統(tǒng)阻尼有所下降,但方差大幅度減小,使得系統(tǒng)臨界特征根實部均位于左半平面,此時可認為系統(tǒng)小干擾穩(wěn)定的概率為100%。這證明了本文提出的計及隨機延時的PSS魯棒性設計方法有效地提高了具有隨機延時的電力系統(tǒng)的小干擾穩(wěn)定性。

4　結語

本文研究了傳輸延時的隨機性對系統(tǒng)小干擾概率穩(wěn)定的影響,基于阻尼轉矩分析法推導了特征根對廣域信號延時的靈敏度計算方法,并利用Gram-Charlier級數(shù)的方法計算出了系統(tǒng)臨界特征根實部的概率密度函數(shù)。在獲得特征根概率密度函數(shù)的基礎上,對隨機延時下系統(tǒng)的小干擾概率穩(wěn)定進行了分析。結果表明,當廣域信號隨機延時具有較大的均值和方差時對系統(tǒng)的穩(wěn)定性極為不利。最后,對廣域阻尼控制器的參數(shù)進行了魯棒性設計,從而提升了系統(tǒng)在隨機延時下保持小干擾穩(wěn)定的概率。在大規(guī)?；ヂ?lián)電網(wǎng)中應用廣域阻尼控制器抑制區(qū)域間低頻振蕩時,采用本文提出的考慮隨機分布延時影響的系統(tǒng)小干擾概率穩(wěn)定性分析方法,可以快速計算出系統(tǒng)小干擾穩(wěn)定概率,相比于蒙特卡洛模擬具有更好的適用性。

本文研究過程中未考慮多個廣域信號的傳輸延時,也尚未考慮電網(wǎng)拓撲以及運行方式的不確定性。如何利用半不變量的可加性,同時考慮多個相互獨立的不確定單元對系統(tǒng)小干擾穩(wěn)定的影響,以及設計出更好的廣域阻尼控制器,都值得進一步研究。

感謝國網(wǎng)江蘇省電力有限公司科技項目(J2016015)對本研究的支持與資助。

附錄見本刊網(wǎng)絡版(http://www.aeps-info.com/aeps/ch/index.aspx)。