基于卡爾曼濾波的快時(shí)變稀疏信道估計(jì)新技術(shù)

袁偉娜,　王嘉璇

(華東理工大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院, 上海 200237)

OFDM (orthogonal frequency division multiple-xing)技術(shù)具有高頻譜利用率和抗多徑干擾能力,目前在3GPP(3rd generation partnership project)、4G LTE (long term evolution)等多種無(wú)線通信標(biāo)準(zhǔn)中得到了廣泛應(yīng)用.隨著無(wú)線通信技術(shù)的發(fā)展,人們對(duì)許多從前未被重視的應(yīng)用場(chǎng)景下的通信質(zhì)量需求提高,比如:信道具有稀疏特性的偏遠(yuǎn)空曠的郊外山區(qū),或信道具有快速變化的高速鐵路等場(chǎng)景.信道估計(jì)的性能是衡量通信系統(tǒng)性能的主要標(biāo)準(zhǔn),因此對(duì)于復(fù)雜多樣化信道估計(jì)技術(shù)的研究具有重要的意義[1-3].

在郊區(qū)山區(qū)等呈現(xiàn)稀疏特性的信道環(huán)境下,信道多徑時(shí)延分布是零散的,即由幾個(gè)具有明顯響應(yīng)的主徑,以及大部分低于一定閾值近似為0的徑組成.如果仍假設(shè)主徑連續(xù)集中在前幾徑,誤差將大大增加,而如果對(duì)最大時(shí)延內(nèi)所有徑數(shù)進(jìn)行估計(jì),估計(jì)數(shù)量也將增加.壓縮感知(compress sensing, CS)的提出對(duì)稀疏信道估計(jì)問(wèn)題提供了很大的幫助,文獻(xiàn)[4-6]基于CS算法分別研究了單天線和多天線OFDM系統(tǒng)時(shí)不變稀疏信道估計(jì),文獻(xiàn)[7-9]基于CS算法和傳統(tǒng)估計(jì)算法研究了時(shí)變稀疏信道估計(jì),文獻(xiàn)[10]采用卡爾曼濾波算法(Kalman filter, KF)與CS相結(jié)合的算法研究慢時(shí)變稀疏信道估計(jì),此處的慢時(shí)變指單個(gè)符號(hào)內(nèi)信道響應(yīng)不變而相鄰符號(hào)間是變化的,該算法不適合用于快時(shí)變信道的估計(jì).

在高鐵等信道環(huán)境中,由于多普勒效應(yīng)的存在,信道在一個(gè)符號(hào)周期內(nèi)快速變化,稱其為快時(shí)變信道,此時(shí),待估計(jì)的信道參數(shù)數(shù)量大大增加.文獻(xiàn)[11-12]采用基擴(kuò)展模型(basic expansion model, BEM)對(duì)每一個(gè)OFDM符號(hào)塊對(duì)應(yīng)的快時(shí)變信道建模,該模型可以對(duì)快時(shí)變信道特性進(jìn)行較好的擬合,同時(shí)也可以降低估計(jì)參數(shù)數(shù)量,然后采用LS(least square)、 LMMSE(linear minimum mean square error)和ML(maximum likelihood)對(duì)BEM系數(shù)進(jìn)行估計(jì),沒(méi)有考慮相鄰符號(hào)塊間信道參數(shù)的關(guān)系.文獻(xiàn)[13]考慮了相鄰符號(hào)塊信道參數(shù)的關(guān)系,采用KF算法對(duì)相鄰符號(hào)對(duì)應(yīng)的BEM信道模型系數(shù)進(jìn)行估計(jì),從而獲得信道估計(jì),但研究的是非稀疏信道,將該算法應(yīng)用于稀疏信道估計(jì)時(shí),性能較差.目前,尚未查閱到考慮相鄰符號(hào)塊間信道參數(shù)關(guān)系的快時(shí)變且稀疏的信道估計(jì)算法.

本文提出一種新的快時(shí)變稀疏信道估計(jì)方法.該方法基于快時(shí)變稀疏信道的BEM模型,采用CS算法進(jìn)行主徑估計(jì),再結(jié)合KF算法估計(jì)BEM系數(shù),進(jìn)而獲得信道估計(jì)值.同時(shí),實(shí)驗(yàn)仿真表明,本文提出的方法有效地減小了信道估計(jì)的誤差.

1　基于BEM的快時(shí)變信道模型

OFDM系統(tǒng)的時(shí)域接收信號(hào)模型為

(1)

式中:x、y分別為發(fā)送與接收的OFDM符號(hào);

h(n,l)為一個(gè)OFDM符號(hào)周期內(nèi)第l徑第n個(gè)采樣點(diǎn)的信道響應(yīng);

N為一個(gè)符號(hào)周期總采樣點(diǎn)數(shù);

(·)N表示模為N的循環(huán)移位;

L為最大時(shí)延內(nèi)總徑數(shù);

w(n)是第n個(gè)采樣點(diǎn)的均值為0、方差為σ2的加性高斯白噪.

BEM采用一組基函數(shù)的線性組合,可以較好地?cái)M合快時(shí)變信道的信道響應(yīng),表示如式(2).

(2)

式中:n=0,1,…,N-1;

l=0,1,…,L-1;

bq(n)、gq(l)和Q分別為BEM的基函數(shù)、系數(shù)和階數(shù).

通常假定在一個(gè)OFDM符號(hào)內(nèi),BEM系數(shù)保持不變,而基函數(shù)是一組固定的正交基,因此采用BEM可以將待估計(jì)的信道參數(shù)由NL個(gè)降到(Q+1)L個(gè),大大減少了估計(jì)數(shù)量.得到BEM系數(shù)估計(jì)值后,再經(jīng)過(guò)BEM模型即可獲得信道響應(yīng).

常用的BEM基函數(shù)有:復(fù)指數(shù)基擴(kuò)展模型(complex exponential BEM, CE-BEM)、過(guò)采樣復(fù)指數(shù)基擴(kuò)展模型(generalized complex exponential BEM, GCE-BEM)、多項(xiàng)式基擴(kuò)展模型(polynomial BEM, P-BEM)、離散卡-洛基擴(kuò)展模型(discreteKarhuen-loève BEM, DKL-BEM)和離散橢圓基擴(kuò)展模型(discrete prolate spheroidal BEM, DPS-BEM).

式(2)寫成矩陣形式為

(3)

式中:bq=(bq(0),bq(1),…,bq(N-1))T;

Gq為N×N維的Toeplitz循環(huán)矩陣;

h為N×N維的時(shí)域信道矩陣.

Gq和h表示如式(4)～(5).

(4)

(5)

式(1)寫成矩陣形式為

y=hx+w,

(6)

式中:y=(y(0),y(1),…,y(N-1))T;

x=(x(0),x(1),…,x(N-1))T;

w=(w(0),w(1),…,w(N-1))T.

則相應(yīng)的頻域接收信號(hào)為

Y=FhFHX+W=HX+W,

(7)

式中:Y=Fy;

X為OFDM符號(hào),

X=(FH)-1x;

F為N點(diǎn)傅里葉變換矩陣,

F=(Fij),i,j=0,1,…,N-1,

H為一個(gè)N×N大小的頻域信道矩陣;

W為頻域的噪聲.

將式(3)代入后可表示為

Y=FhFHX+W=

(8)

gq=(gq(0),gq(1),…,gq(L-1))T.

令A(yù)=Fdiag(bq)FH,式(8)可以表示為

(9)

Y=AΔg+W,

(10)

再令S=AΔ,則頻域接收信號(hào)最終可表示為

Y=Sg+W.

(11)

基于梳狀導(dǎo)頻輔助的估計(jì)方法,式(7)中導(dǎo)頻處的接收信號(hào)可表示為

YP=SPgP+Sdgd+WP,

(12)

式中:WP為導(dǎo)頻處的噪聲;

SPgP為有效接收數(shù)據(jù)，p=1,2,…,P，P∈N；

Sdgd為數(shù)據(jù)子載波對(duì)導(dǎo)頻子載波的干擾,令d=Sdgd,則有

YP=SPgP+d+WP.

(13)

2　基于壓縮感知的稀疏信道時(shí)延估計(jì)

在稀疏信道的環(huán)境下,不需要完整地估計(jì)最大時(shí)延內(nèi)所有徑數(shù)的增益,只需對(duì)有明顯增益的主要時(shí)延處Ldelay徑進(jìn)行估計(jì).因此,要在信道增益估計(jì)前先在L中找出主徑的位置Ldelay.

壓縮感知理論的提出,給處理稀疏信號(hào)提供了一種思路.壓縮感知是一種在稀疏條件下尋找欠定線性系統(tǒng)解的算法,可以用低于奈奎斯特采樣頻率去高度重建信號(hào).對(duì)于一個(gè)未知的信號(hào)X∈CN,X中只有K個(gè)非零元素(K?N),即信號(hào)X的稀疏度為K.選擇一個(gè)觀測(cè)矩陣Φ∈CM×N對(duì)X進(jìn)行測(cè)量,觀測(cè)過(guò)程表示為

Y=ΦX+V,

(14)

式中:V為噪聲.

得到觀測(cè)信號(hào)Y∈CM,其中M

正交匹配追蹤(orthogonal matching pursuit, OMP)[14]算法是一種常見(jiàn)的基于貪婪迭代的壓縮感知重構(gòu)算法,其基本思想是初始化殘差跟原始索引集,每次迭代通過(guò)計(jì)算內(nèi)積,不斷地找到與殘差相關(guān)度最高的原子,并更新索引集,最后逐步逼近系數(shù)向量.利用OMP進(jìn)行時(shí)延估計(jì)的過(guò)程如下:

步驟1初始化索引集T0=?.

步驟2計(jì)算

式中:φt為Φ中的列;

Γλ為Φ中所有列數(shù).

步驟3更新索引集

Tn={Tn-1,φt},

LS估計(jì)

步驟4計(jì)算殘差

rn=Y-TnXn,

并更新

步驟5重復(fù)步驟3、4,直到殘差小于閾值或Tn的列數(shù)達(dá)到設(shè)定值K.

為了在稀疏信道估計(jì)中應(yīng)用上述理論,需要構(gòu)建稀疏信號(hào)和觀測(cè)矩陣.假設(shè)發(fā)送端的所有導(dǎo)頻信號(hào)為XP,則對(duì)應(yīng)位置的接收端信號(hào)YP表示為

YP=HPXP+WP,

(15)

式中:XP、YP均為NP×1維向量;

WP為NP×1維導(dǎo)頻處噪聲;

HP為NP×NP維頻域信道響應(yīng),其對(duì)角元素為第p個(gè)導(dǎo)頻位置處的頻響,表示為

(16)

又由于導(dǎo)頻處的多徑信道頻響表示為

(17)

Pp為第p個(gè)導(dǎo)頻在子載波中對(duì)應(yīng)的位置.

在快時(shí)變環(huán)境下,每徑信道響應(yīng)在1個(gè)符號(hào)周期內(nèi)每個(gè)采樣點(diǎn)處都不同,但其平均值也可以表示總體的稀疏性.則可將1個(gè)符號(hào)周期內(nèi)所有導(dǎo)頻符號(hào)處對(duì)應(yīng)的頻響表示為

(18)

式中:HP=(H0,H1,…,HNP-1)T;

Φ=(Φpl),

3　基于卡爾曼濾波的信道估計(jì)

建立好上述快時(shí)變稀疏信道模型后,可應(yīng)用信道估計(jì)算法對(duì)BEM系數(shù)g進(jìn)行估計(jì).傳統(tǒng)的信道估計(jì)算法通常為L(zhǎng)S和LMMSE.

(19)

則可解得g的LS估計(jì)值為

(20)

LS算法不需要信道和噪聲的統(tǒng)計(jì)信息,因而復(fù)雜度較低.但同時(shí)也限制了性能的進(jìn)一步提升,在干擾比較大或是信噪比較差的時(shí)候,信道估計(jì)的性能可能不夠理想.

(21)

則可解得LMMSE估計(jì)值為

(22)

式中:Rg、Rd和RW分別為BEM系數(shù)、發(fā)送數(shù)據(jù)和噪聲的自相關(guān)矩陣.

LMMSE算法考慮了噪聲和信道的統(tǒng)計(jì)信息,因此性能優(yōu)于LS.但同時(shí)復(fù)雜度也較高,而且要獲取信道的統(tǒng)計(jì)信息也非常困難,如果得到的統(tǒng)計(jì)信息和實(shí)際信道不匹配,將會(huì)帶來(lái)較大的誤差.通常采用特定的信道,如本文采用的是Jakes模型信道[15],以方便計(jì)算信道的統(tǒng)計(jì)信息.

上述方法(LS或LMMSE)均是在對(duì)每一個(gè)OFDM符號(hào)塊對(duì)應(yīng)的信道參數(shù)分別進(jìn)行BEM建模的基礎(chǔ)上進(jìn)行估計(jì)的,相鄰符號(hào)塊的參數(shù)之間并無(wú)相關(guān).然而,在實(shí)際情況中,相鄰OFDM符號(hào)之間對(duì)應(yīng)的信道參數(shù)是隨時(shí)間平滑漸進(jìn)變化的[13].因此,考慮到這種情況,可以用自回歸(autoregression, AR)模型[16]來(lái)描述和刻畫相鄰符號(hào)間對(duì)應(yīng)的信道增益的這種動(dòng)態(tài)變化,為了降低復(fù)雜度,這里選用一階AR模型,如式(23).

hml=Ahlh(m-1)l+uml,

(23)

式中:hml為第m個(gè)OFDM符號(hào)第l徑的信道響應(yīng)向量;

Ahl為信道系數(shù)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣;

uml為模型誤差,是協(xié)方差為Ul的復(fù)高斯向量.

由于hml的BEM模型可寫作

hml=Bgml,

(24)

式中:hml=(hm(0,l),hm(1,l),…,hm(N-1,l))T;

gml=(g0(l),g1(l),…,gQ(l))T;

B=(b0,b1,…,bQ)為BEM基函數(shù)矩陣.

所以,經(jīng)過(guò)BEM模型轉(zhuǎn)換后的基系數(shù)可建立相似的AR模型,如式(25).

gml=Aglg(m-1)l+uml,

(25)

式中:Agl為BEM基系數(shù)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣.

AR模型參數(shù)可通過(guò)尤爾-沃克(Yule-Walker)方程解得

(26)

因?yàn)锽EM系數(shù)是零均值的相關(guān)復(fù)高斯變量,其相關(guān)矩陣為

(27)

式中:s為相關(guān)移位的大小.

又由于本文采用的是Jakes模型信道[15],則

(28)

fmax為最大多普勒頻移;

Ts采樣周期;

Ns=N+NCP為添加了CP的OFDM符號(hào)采樣點(diǎn)數(shù),NCP為循環(huán)前綴的長(zhǎng)度;

J0(·)為第1類零階Bessel函數(shù).

將各徑的AR模型結(jié)合表示為

gm=Aggm-1+um,

(29)

Ag=diag{Ag0,Ag1,…,Ag(L-1}為L(zhǎng)(Q+1)×L(Q+1)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣;

在本文中,將式(29)看作KF算法的狀態(tài)方程,將第m個(gè)符號(hào)對(duì)應(yīng)頻域接收信號(hào)看作KF測(cè)量方程,表示如式(30).

(30)

采用KF算法估計(jì)多個(gè)OFDM符號(hào)對(duì)應(yīng)的BEM系數(shù)[13],具體步驟如下所示:

步驟1初始化

g0=0L(Q+1)×1,

P0=Rg(0),

Rg(s)=diag{Rg0(s),Rg1(s),…,Rg(L-1)(s)}.

步驟2時(shí)間更新方程

gm|m-1=Aggm-1,

步驟3測(cè)量更新方程

gm=gm|m-1+Km(Ym-Smgm|m-1),

Pm=Pm|m-1-KmSmPm|m-1.

上述步驟中:gm|m-1、gm、Pm和Pm|m-1分別為第m個(gè)符號(hào)的參數(shù)預(yù)測(cè)值、參數(shù)估計(jì)值、估計(jì)誤差協(xié)方差矩陣和預(yù)測(cè)估計(jì)誤差協(xié)方差矩陣;

IN為N階單位方陣.

4　實(shí)驗(yàn)仿真

通過(guò)Matlab仿真結(jié)果對(duì)算法性能進(jìn)行驗(yàn)證.仿真參數(shù)參考文獻(xiàn)[17]設(shè)置,如表1所示,仿真中采用QPSK (quadrature phase shift keying)調(diào)制,梳狀導(dǎo)頻,瑞利多徑信道模型,GCE-BEM(Q=2).參考指標(biāo)歸一化多普勒頻移表示為

(31)

式中:v為移動(dòng)速度;

c為光速;

fc為載波頻率.

表1　仿真參數(shù)表Tab.1　Simulation parameters

圖1為信噪比(SNR)為20 dB時(shí),隨著fnd逐漸增大(fnd=0.1,0.2,0.3分別對(duì)應(yīng)于速度v=150,300,450 km/h),各方法的信道估計(jì)NMSE(normalized MSE).其中,KF曲線對(duì)應(yīng)于未采用CS時(shí)延估計(jì)(即認(rèn)為主徑連續(xù)集中在前5徑且只估計(jì)前5徑)[13]時(shí)的估計(jì)誤差,其他3條曲線分別對(duì)應(yīng)于采用OMP與LS、LMMSE和KF 3種方法的結(jié)合.

圖2為fnd=0.2時(shí),隨著信噪比SNR增加,各方法的信道估計(jì)NMSE.

圖1　SNR為20 dB,fnd增大時(shí),各方法的NMSE對(duì)比Fig.1　NMSE vs. fnd for SNR is 20 dB

圖2　fnd=0.2,SNR增大時(shí),各方法的NMSE對(duì)比Fig.2　NMSE vs. SNR for fnd=0.2

圖1和圖2中：OMP-KF (orthogonal matching pursuit-KF)曲線為本文算法;OMP-LS和OMP-LMMSE曲線分別為將OMP與LS和LMMSE相結(jié)合的算法，這兩種算法未考慮相鄰符號(hào)塊信道參數(shù)的變化關(guān)系；KF曲線為文獻(xiàn)[13]中算法.

從圖1中可以看出,fnd增大時(shí)各方法的估計(jì)誤差都有所增加.其中,OMP-KF算法與只使用KF相比,由于應(yīng)用了OMP進(jìn)行稀疏信道環(huán)境下的時(shí)延估計(jì),故誤差遠(yuǎn)低于直接使用KF[13]的算法;而同時(shí)進(jìn)行了時(shí)延估計(jì)的情況下,OMP-LMMSE算法考慮了噪聲和信道的統(tǒng)計(jì)信息,因此誤差低于OMP-LS,而OMP-KF算法由于考慮了相鄰符號(hào)之間的平滑關(guān)系,其誤差更低于OMP-LMMSE.

從圖2中可以看出,與圖1趨勢(shì)相同,進(jìn)行了時(shí)延估計(jì)的OMP-KF算法誤差低于直接使用KF[13]的算法;而同樣進(jìn)行了時(shí)延估計(jì)時(shí),在SNR較低時(shí),OMP-KF算法的NMSE低于OMP-LS和OMP-LMMSE,SNR增加時(shí),OMP-KF算法優(yōu)勢(shì)也增大,在SNR達(dá)到20 dB以后,誤差變化趨于平緩.

5　結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)快時(shí)變稀疏環(huán)境下OFDM系統(tǒng)的信道估計(jì)問(wèn)題,本文基于快時(shí)變信道的BEM模型,采用壓縮感知算法進(jìn)行稀疏環(huán)境的時(shí)延估計(jì),再采用卡爾曼濾波對(duì)BEM系數(shù)進(jìn)行估計(jì),從而得到信道增益.由于該算法綜合考慮了快時(shí)變、稀疏信道以及連續(xù)符號(hào)間的信道參數(shù)的平滑特性,相對(duì)于只考慮慢時(shí)變或非稀疏信道的算法,一定程度上提升了信道估計(jì)性能,最后通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了驗(yàn)證.