無套利“雙斜率”DNS利率期限結(jié)構(gòu)模型與實(shí)證

張 健，陳映洲

（1.交通銀行資產(chǎn)負(fù)債管理部，上海 200336；2.上海財經(jīng)大學(xué) 經(jīng)濟(jì)學(xué)院，上海 200433；3.中證指數(shù)有限公司，上海 200127）

0 引言

國外有關(guān)利率期限結(jié)構(gòu)的早期研究主要有預(yù)期理論、流動性理論與市場分割理論，這些理論可以解釋單個交易日債券收益率曲線“上升”“水平”及“下降”等形態(tài)。其中預(yù)期理論是預(yù)測利率變動、擴(kuò)展利率期限結(jié)構(gòu)模型的經(jīng)濟(jì)學(xué)基礎(chǔ)。大量文獻(xiàn)利用國債收益率、銀行間拆借利率等數(shù)據(jù)對預(yù)期理論進(jìn)行了檢驗(yàn)[1-3]。為了分析債券收益率的動態(tài)變化及其與宏觀經(jīng)濟(jì)變量的關(guān)系，出現(xiàn)動態(tài)利率期限結(jié)構(gòu)模型，主要有 Vasicek模型[4]、CIR模型[5]和仿射模型[6]。影響較大的是仿射模型[7]，仿射模型具有理論基礎(chǔ)，但預(yù)測效果甚至不如隨機(jī)游走模型。Diebold和Li（2006）[8]以Nelson-Siegel模型[9]為基礎(chǔ)，建立包含“水平”“斜率”和“曲率”狀態(tài)因子的動態(tài)模型（DNS模型），它能充分捕捉收益率曲線動態(tài)變化信息，預(yù)測能力較強(qiáng)。Christensen和Diebold[10,11]實(shí)現(xiàn)仿射模型與DNS模型的融合，構(gòu)建無套利動態(tài)Nelson-Siegel模型（AFDNS模型）。該模型繼承了仿射模型的嚴(yán)格無套利條件，又保持了DNS模型的簡約性，可以得到債券價格的解析解，并能解釋因子的經(jīng)濟(jì)意義。Niu等（2012）[12]立足仿射模型，推導(dǎo)出離散時間下的AFDNS模型。與此同時，國內(nèi)的相關(guān)研究成果也不斷豐富[13-16]。

需要指出的是，目前廣泛使用的DNS模型對短期債券利率的擬合優(yōu)度有待提高，且缺乏債券定價理論的支撐。因此，本文在無套利框架下構(gòu)造無套利“雙斜率”DNS模型，豐富無套利DNS模型的內(nèi)涵。該模型具有更強(qiáng)的樣本擬合能力，隨著樣本債券期限增加，參數(shù)估計能保持較強(qiáng)的穩(wěn)定性，為分離長短期利差做出了探索性研究。

1 無套利“雙斜率”DNS模型及其估計

1.1 DNS模型

Nelson-Siegel模型廣泛用于利率期限結(jié)構(gòu)的靜態(tài)擬合，具體形式為：

其中，yt(τ)是期限為τ的債券在t時刻的收益率。根據(jù)式(1)可以得到y(tǒng)t(∞)=β1以及yt(∞)-yt(0)=-β2，即β1為長期利率（無限期債券收益率），β2為長短期收益率之差的相反數(shù)。參數(shù)β3沒有明確的經(jīng)濟(jì)意義，但對描述收益率曲線的形態(tài)十分重要。λ為衰減參數(shù)。

由于靜態(tài)NS模型無法描述收益率曲線隨時間動態(tài)演化的過程，Diebold和Li（2006）[8]將其回歸系數(shù)β1、β2和β3設(shè)定為時變變量，并命名為水平、斜率和曲度因子，分別用Lt、St和Ct表示，對應(yīng)的1、(1-e-λτ)/λτ和 (1-e-λτ)/λτ-e-λτ為因子載荷。用一階向量自回歸描述因子的動態(tài)變化，可以得出動態(tài)NS模型（簡稱DNS）：

其中，μL、μS和μC為常數(shù)自回歸模型均值，A為自回歸系數(shù)矩陣，ηt為誤差向量，觀測方差中的誤差項與因子本身以及轉(zhuǎn)移方程中的誤差項均不相關(guān)。DNS模型中的水平因子可以刻畫收益率曲線的整體變化，斜率因子則捕捉了收益率曲線近端的動態(tài)變化。

1.2 無套利“雙斜率”DNS模型

參考Duffie和Kan（1996）[6]提出的仿射模型，在風(fēng)險中性測度下，狀態(tài)因子滿足：

因此，零息債券收益率y。 通 過 設(shè) 定B1(t，T)，B2(t，T)，B3(t，T)，B4(t，T)，使y(t，T)具有近似“雙斜率”DNS模型的特征。

因此，零息債券的價格為：

其中,B1(t，T)，B2(t，T)，B3(t，T)，B4(t，T)，A(t，T)滿足微分方程(8)，邊界條件為A(T，T)=B1(T，T)=B2(T，T)=B3(T，T)=B4(T，T)=0。

根據(jù) Christensen 和 Diebold（2009，2011）[10，11]的研究，為了識別模型，令θQ=0，Σ為下三角四階方陣，可以得出：。 風(fēng) 險 中性測度下，債券價格是因子的自仿射函數(shù)[17]，那么關(guān)于動態(tài)因子的微分方程在物理測度P下仍然具有自仿射結(jié)構(gòu)?？紤]到市場數(shù)據(jù)存在觀測誤差，在觀測方程中加入白噪聲擾動項后的無套利“雙斜率”DNS模型簡記為：

已有研究表明，相對于因子存在相關(guān)結(jié)構(gòu)的模型,獨(dú)立因子無套利模型對中長期收益率的預(yù)測效果更佳。本文令KP，Σ為對角矩陣，構(gòu)建獨(dú)立的無套利“雙斜率”DNS模型，簡記為 AFDNS（I4）。而 Christensen 和 Diebold（2009）[10]令具有近似 DNS 的特征，簡記為AFDNS模型。為了估計無套利“雙斜率”DNS模型（式(9)）中的參數(shù)，對因子向量Xt的動態(tài)演變過程進(jìn)行離散化，選Δt=1/12，無套利“雙斜率”DNS模型可以表示為線性狀態(tài)空間模型：

2 參數(shù)估計與實(shí)證分析

2.1 樣本選取

銀行間市場國債交易數(shù)據(jù)信息含量豐富，適合實(shí)證研究，本文選取2006年3月至2015年6月總共112個月度數(shù)據(jù)作為樣本。考慮到我國國債發(fā)行特點(diǎn)與交易特征，樣本債券期限跨越區(qū)間較大，既有短期債券，又有中長期債券，分別為0.25、0.5、0.75、1、1.5、2～10年（間隔為1年）、12、14、15年期國債。在進(jìn)行參數(shù)估計穩(wěn)定性分析時，增加了期限為16、18、20、25、30年的超長期國債。

2.2 模型參數(shù)估計與結(jié)果分析

為了兼顧模型的一般性、估計可行性與預(yù)測能力，本文參考談?wù)_(dá)等（2012）[15]的研究，對模型做出如下約束：DNS模型中，A、Q為對角形式，模型記為DNS（I3）；無套利DNS模型中，KP、Σ為對角矩陣，模型分別記為AFDNS（I3）和AFDNS（I4）。為了降低模型的非線性程度，無套利DNS模型中的衰減參數(shù)λ與無套利“雙斜率”DNS模型中的衰減參數(shù)λ1、λ2均為對應(yīng)DNS模型中衰減參數(shù)的估計值。利用0.25～15年期國債的收益率數(shù)據(jù)作為樣本得到的估計結(jié)果如表1所示。

根據(jù)研究顯示,微生態(tài)制劑能夠?qū)π憾喾N感染性和非感染性腸道菌群失調(diào)進(jìn)行調(diào)節(jié),對腸道微生態(tài)群進(jìn)行重建,利用微生物屏障來治療小兒腹瀉。微生態(tài)制劑增加了腸道的有益菌,減少了有害菌,患者的腸道微生態(tài)發(fā)生了改變,腹瀉減少。①微生態(tài)制劑可以在腸道表面定值,對毒素和致病菌的粘附進(jìn)行阻止;②微生態(tài)制劑能夠產(chǎn)生細(xì)菌毒素、有機(jī)酸和過氧化氫物質(zhì),阻斷和殺滅腐生菌以及致病菌生長繁殖;③微生態(tài)制劑在機(jī)體代謝中發(fā)揮了作用。所以,小兒腹瀉需要使用微生態(tài)制劑進(jìn)行治療,能夠讓腸道菌群恢復(fù)正常,抑制病原菌侵襲,建立天然生物屏障。

表1 模型參數(shù)估計結(jié)果對比分析

從似然函數(shù)值與參數(shù)估計值來看，三因子DNS與AFDNS（I3）模型差異不大，表明他們對數(shù)據(jù)的擬合能力相當(dāng)。由于無套利“雙斜率”DNS嵌套了無套利DNS模型，對兩類模型進(jìn)行似然比檢驗(yàn)，檢驗(yàn)值為：LR=-2(logl(AFDNS(I3))-logl(AFDNS(I4)))=685.38～χ2(m)。其中m代表兩模型參數(shù)數(shù)量的差額，似然比檢驗(yàn)拒絕原假設(shè)，表明無套利“雙斜率”DNS模型比無套利DNS模型具有更好的數(shù)據(jù)擬合能力。

2.2.1 因子載荷分析

利用相同樣本數(shù)據(jù)得到的模型因子載荷圖顯示，三類模型的曲率因子載荷均在5年左右達(dá)到最大值，這基本符合我國國債發(fā)行特征，即1、3、5、7、9、10年期國債是主要發(fā)行品種。另外，由于斜率因子載荷隨著期限的增加遞減，新增一個斜率因子將促使模型對短期限收益率數(shù)據(jù)的擬合能力更強(qiáng)。

2.2.2 因子分析

圖1展示了不同模型的因子時間序列。

圖1 DNS模型、AFDNS模型（I3）與AFDNS（I4）因子對圖比

各模型水平因子的整體變動趨勢基本一致，但DNS模型水平因子的波動性最強(qiáng)，AFDNS（I4）水平因子波動性最弱。已有研究均表明水平因子可以視為長期收益率水平的代理變量，反映整個實(shí)體經(jīng)濟(jì)的發(fā)展趨勢，波動性應(yīng)該較低。DNS模型為了擬合數(shù)據(jù)，使其水平因子的波動增加，與現(xiàn)有研究結(jié)論略有不同。本文提出的AFDNS（I4）模型在引入新的斜率因子后，可以合理分流水平因子的影響，有效降低水平因子波動性，從而可以更加準(zhǔn)確地反映長期利率水平。另外，從斜率因子的時間序列圖來看，各模型差異較小，一方面反映出新斜率因子能夠分擔(dān)原來水平因子的波動，另一方面說明新斜率因子可以在原模型殘差中提取相應(yīng)的信息。

2.2.3 調(diào)整項分析

圖2分別給出模型AFDNS（I3）和AFDNS（I4）對應(yīng)調(diào)整項-A(t，T)/(T-t)的變化情況，包括水平調(diào)整項、斜率調(diào)整項、曲率調(diào)整項以及總體調(diào)整項。兩類模型的總體調(diào)整項均向下傾斜，調(diào)整力度隨著期限的增加而增加，調(diào)整力度均為10-3數(shù)量級。但AFDNS（I4）模型在長期限國債收益率上的調(diào)整力度比AFDNS（I3）更強(qiáng)，有利于提升其對長期收益率的擬合能力。兩類模型水平因子與曲率因子調(diào)整項的變化趨勢基本一致，但新斜率因子的加入顯然會加大新模型的斜率調(diào)整項，提高其擬合能力，尤其是對短期收益率的擬合。

圖2 AFDNS（I3）與AFDNS（I4）模型收益率調(diào)整項與各分項圖

2.3 模型擬合能力比較分析

模型的樣本擬合效果可以采用擬合均方誤差平方根（RMSE）和擬合誤差均值（MAE）進(jìn)行衡量。期限τ的債券收益率樣本期內(nèi)的擬合均方誤差和擬合誤差均值定義分別為：

表2 模型擬合能力RMSE對比(單位10-4)

表3 模型擬合能力MAE對比

表2和表3分別給出DNS模型和AFDNS（I3、I4）模型對不同期限國債收益率進(jìn)行擬合的RMSE和MAE值。對比RMSE與MAE值可以發(fā)現(xiàn)，AFDNS（I3）與DNS模型在中期期限（1-10年）上的擬合能力相當(dāng)，對長期收益率擬合偏弱，但是對短期收益率的擬合占優(yōu)。AFDNS（I4）模型對短期收益率的擬合顯著改善，即使與AFDNS（I3）相比，短期收益率的擬合能力也有很大的提高，在0.25、0.5和0.75年上的RMSE和MAE值表明，AFDNS（I4）模型幾乎將擬合誤差降低為原來的三分之一左右；而且在長期收益率的擬合上也有一定的優(yōu)勢。

2.4 無套利“雙斜率”DNS模型的穩(wěn)定性分析

為了驗(yàn)證無套利“雙斜率”DNS模型參數(shù)估計對不同期限的樣本數(shù)據(jù)具有較好的穩(wěn)定性，分別用0.25～15年期國債收益率、0.25～20年期國債收益率以及0.25～30年期國債收益率作為分析樣本進(jìn)行實(shí)證對比分析，參數(shù)估計結(jié)果見表4。

表4 無套利“雙斜率”AFDNS（I4）模型在數(shù)據(jù)選取上的參數(shù)穩(wěn)定性分析

表4顯示，隨著數(shù)據(jù)集長度的增加，對數(shù)似然函數(shù)值也有所上升，而且各參數(shù)向量在符號與大小上保持一致。水平因子代表長期利率水平，而對角矩陣Σ顯示出水平因子的波動率持續(xù)較低，顯然符合現(xiàn)有研究結(jié)論。KP矩陣中斜率因子的取值分別為1.6268、1.3749和1.1874，呈現(xiàn)出下降的趨勢，但降幅并不是很大。通過將對角矩陣KP取值代入exp(-KP/12)計算出各因子的AR（1）系數(shù)，分別為0.8732、0.8917和0.9058，說明隨著數(shù)據(jù)長度的增加，因子的AR（1）系數(shù)增強(qiáng)，可以提取更多的信息。隨著數(shù)據(jù)期限長度的增加，新添加的斜率因子的取值分別為5.7489、4.8473、3.2465，明顯下降，但是其對應(yīng)的自相關(guān)系數(shù)分別為0.6194、0.6677、0.7630，呈現(xiàn)顯著增長的趨勢。這表明隨著國債市場的不斷完善，長期收益率數(shù)據(jù)得以豐富，選取更加有效的模型對國債收益率數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合顯得越來越重要，本文添加的新斜率因子確實(shí)能夠發(fā)揮一定的作用。

3 結(jié)論

本文在無套利框架下加入新的斜率因子構(gòu)建出無套利“雙斜率”DNS模型，在連續(xù)時間下證明其滿足經(jīng)典的風(fēng)險定價理論，既豐富了無套利DNS模型的種類，又彌補(bǔ)了傳統(tǒng)DNS模型缺乏債券定價理論支撐的不足。利用我國銀行間市場國債收益率數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)證分析發(fā)現(xiàn)，無套利“雙斜率”DNS模型可以有效改善對短期收益率數(shù)據(jù)的擬合效果，這對檢驗(yàn)預(yù)期理論以及精確捕捉通貨膨脹變動信息具有積極作用。另外，無套利“雙斜率”DNS模型參數(shù)估計的穩(wěn)定性較好，在我國債券市場不斷發(fā)展，長期收益率數(shù)據(jù)逐漸豐富的環(huán)境下，這一新模型將發(fā)揮更大的研究作用。