利用多輔助信息的比率估計方法與驗證

喬松珊，張建軍

（1.中原工學院 信息商務學院，鄭州 450007；2.河南農(nóng)業(yè)大學 信息與管理科學學院，鄭州 450002）

0 引言

比率估計是借助輔助變量信息建立的非線性估計形式，而估計量的精度依賴于對輔助變量信息的利用程度，為此，一些學者嘗試借助輔助變量其他信息，進一步提高比率估計效果。簡單隨機抽樣下Sisodia等[1]，Singh等[2]，Yan等[3]分別利用變異系數(shù)、峰度系數(shù)和偏度系數(shù)提出了比率估計的不同改進形式，隨后Subramani等[4]提出了以輔助變量多個指標作為輔助信息的比率估計量，并指出當相關系數(shù)滿足一定條件時，該估計量的估計效率要優(yōu)于上述其它幾種改進形式。另外，輔助信息也可以用來提高抽樣效率，排序集抽樣(RSS)便是應用較廣泛的一種抽樣方式，該方法最初由McIntyre(1952)[5]在估計農(nóng)產(chǎn)品產(chǎn)量時提出，比較適合樣本不易數(shù)量化，卻可以利用輔助信息排序的場合?；谠摮闃臃椒ǖ谋嚷使烙嬕呀?jīng)有一些研究結果，Samawi等[6]用排序集樣本代替簡單隨機抽樣，分析了總體均值的比率估計問題，結果表明采用新的抽樣方法的比率估計有效降低了均方誤差；另外，Kadilar等[7]通過增加比率系數(shù)k，排序集抽樣下提出了改進的比率估計量，并討論了系數(shù)k的確定方法；Jozani等[8]研究了總體均值的無偏和近似無偏比率估計形式，并分析了估計量的均方誤差；A1-Omari[9]采用輔助變量分位數(shù)構造改進的比率估計量。

雖然排序抽樣下比率估計的改進已經(jīng)有了一些研究結果，但是這些研究結果僅利用了輔助變量的某一個指標，考慮到簡單隨機抽樣下，以輔助變量多個指標線為輔助信息可以提高比率估計效果，基于這一考慮，本文嘗試用排序集樣本代替隨機樣本，利用輔助變量的均值、偏度系數(shù)和中位數(shù)作為輔助信息，建立均值的改進比率估計方法，并計算了該估計量的偏差和均方誤差，最后，通過實例進一步說明估計量的有效性。

1 基于排序集樣本的比率估計

設(X，Y)為二維總體，從總體中1次抽取k2個個體，隨機劃分為k組，按照輔助指標X對每組進行由小到大排序，用小括號表示輔助變量X的次序統(tǒng)計量，相應研究變量Y的次序統(tǒng)計量用中括號表示，記為。接著從第1組取出秩為1的統(tǒng)計量，從第2組取出秩為2的統(tǒng)計量，…，如此進行下去，從第k組取出秩為k的統(tǒng)計量，記為，為了便于討論，簡記為 ，即i=1，2，…，k，稱此樣本為排序集樣本。上述過程重復m次，得到樣本容量為mk的樣本，記為i=1，2，…，k，j=1，2，…，m。

當均值μX已知時，排序集抽樣下μY的比率估計為[6]：

引理1：排序集抽樣下，比率估計量μ?YRSS的近似均方誤差為：

引理2：排序集抽樣下，樣本均值XˉRSS，YˉRSS的估計方差與協(xié)方差分別為：

其中TXY(i)=(μX(i)-μX)(μY[i]-μY)，σX與σY為變量X與Y的方差，μX(i)=E(X(i))，μY(i)=E(Y(i)),ρ為兩變量相關系數(shù)。

2 利用多輔助信息的改進比率估計

有效的比率估計要求在降低估計偏差的同時，進一步降低估計量的均方誤差，有鑒于此，嘗試以排序集樣本代替隨機抽樣樣本，以輔助變量均值、偏度系數(shù)和中位數(shù)為輔助信息，建立均值μY的改進比率估計模型，具體形式如下：

其中β(x)與m(x)分別為輔助變量的偏度系數(shù)和中位數(shù)。

衡量估計量優(yōu)良性的重要標準是估計量的偏差和估計誤差，為此，首先討論改進估計量的偏差。由于排序集抽樣下樣本均值仍是總體均值的無偏估計量[10]，故有δ1),則。從而利用引理2中的結論，容易得到：

同理：

其中TX(i)=μX(i)-μX,TY[i]=μY[i]-μY，TXY(i)=TX(i)TY[i],

定理1：若θ=，當θ·δ1＜1時，比率估計的估計偏差近似為:

其中TX(i)=μX(i)-μX,TY[i]=μY[i]-μY，TXY(i)=TX(i)TY[i],i=1，2，…，k。

其中θ=，從而又因為，從而：

定理1證明結論表明，當循環(huán)次數(shù)m足夠大時仍為總體均值μY的近似無偏估計量。下面研究估計量的均方誤差。

定理2：當θ·δ1＜1時，改進比估計量的近似均方誤差為：

證明：由定理 1 中式(6)可知，μ?MRSS=μY(1+δ0)·(1+θδ1)-1，當θ·δ1＜1時，故：

將式(2)、式(3)、式(4)代入式(7)中，得到：

3 改進估計量的有效性

該估計量的近似均方誤差：

其中ρ為相關系數(shù)，

下面證明排序集樣本代替隨機樣本，能夠有效降低改進比率估計量的均方誤差。

定理3：對于相同樣本容量，即n=mk時，μ?MSRS與μ?MRSS為基于隨機樣本和排序集樣本的改進比率估計，則MSE(μ?MRSS)≤MSE(μ?MSRS)。

證明：令ωX(i)=TX(i)/μX,ωY[i]=TY[i]/μY,因為TXY(i)=TX(i)TY[i]，從而：

TXY(i)/(μXμY)=(TX(i)/μX)(TY[i]/μY)=ωX(i)ωY[i]，i=1，2，…，k。故：

當n=mk時，利用式(8)容易得到：

定理3表明，比率估計的相同改進形式下，利用排序集樣本代替隨機樣本能夠有效地降低估計的均方誤差，說明了基于排序集樣本和輔助變量多指標的改進比率估計比簡單隨機抽樣更有效。

4 隨機模擬分析

選取二維正態(tài)分布N(μX，μY，ρ)為研究總體，由于比率估計要求輔助變量與研究變量之間高度相關，為此，選取相關系數(shù)ρ=0.99，ρ=0.90，ρ=0.80三種情形分別研究，不妨選取μX=2，μY=4，σX=σY=1。給定總體分布下，對于不同的相關系數(shù)，基于matlab軟件分別生成5000個二維隨機數(shù)。采用隨機抽樣和排序集抽樣兩種抽樣方法進行比較，樣本容量n設定為6,9,12，具體來說，簡單隨機抽樣下樣本容量n=6，9，12。然而排序集抽樣樣本容量n=mk，故mk=6時，取排序數(shù)k=3，循環(huán)數(shù)m=2；mk=9時，排序數(shù)k=3，循環(huán)數(shù)m=3；mk=12時，取k=4，循環(huán)數(shù)m=3。基于兩種抽樣方法分別進行100次的統(tǒng)計模擬，根據(jù)模擬結果計算出相應估計量偏差和均方誤差。具體結果如表1所示。

表1 不同比估計量的估計結果比較

表1計算結果表明，第一，兩種抽樣下所有比率估計的均方誤差都隨著樣本量和相關系數(shù)的增加不斷變小，改進后的比率估計變化更加明顯；第二，與隨機抽樣相比，排序集抽樣方法下的比率估計偏差和均方誤差都有一定幅度降低，說明該方法的估計結果精度較好；第三，與單一基于排序集樣本的比率估計相比，基于輔助變量多指標組合的改進比率估計的精度有進一步提高，并且隨著樣本量的增加，改進效果越明顯。

5 應用實例

以77顆楊樹第11年的樹高和胸徑的測量數(shù)據(jù)為研究對象[11]，具體觀測數(shù)據(jù)見表2所示。選取楊樹的胸徑為輔助變量X，樹高為研究變量Y，(X，Y)構成二維總體，采用隨機抽樣和排序集抽樣兩種方法，樣本容量分別選為15，30，60。排序集抽樣時取k=3，循環(huán)次數(shù)m=5,10,20。

表2 楊樹的樹高和胸徑

類似抽樣過程重復100次，計算出均方誤差的平均值，具體結果見表3所示。

表3 不同比估計量均方誤差結果比較

從應用實例的計算結果容易看出，當樣本容量固定時，用排序集樣本代替隨機樣本的改進比率估計，估計精度明顯高于另外兩種估計方法。

6 結束語

改進抽樣方式和修改估計形式都可以提高比率估計的精度，本文同時考慮這兩個因素，在排序集抽樣下基于輔助變量的均值、偏斜系數(shù)和中位數(shù)作為輔助信息，構造了改進的比率估計模型，并研究了估計量的偏差和均方誤差。最后，借助隨機模擬和應用實例做了進一步分析比較，驗證了估計量的有效性。