泳池中盤(pán)制漩渦對(duì)的形成與穩(wěn)定

王盟航王志鋮李 鵬(山東省青島第二中學(xué);山東省青島第二中學(xué)物理組，山東 青島 66000)

漩渦現(xiàn)象是我們生活中的一種常見(jiàn)現(xiàn)象。例如，當(dāng)一艘貨輪緩慢地離開(kāi)港口時(shí)，它船體的兩側(cè)就會(huì)產(chǎn)生許多微小的漩渦;當(dāng)我們把洗手池中的塞子拔掉的時(shí)候，水體的運(yùn)動(dòng)也會(huì)轉(zhuǎn)化成一種漩渦運(yùn)動(dòng)的形式;當(dāng)我們以一個(gè)適當(dāng)?shù)牧Χ认蚯巴埔粋€(gè)裝有半瓶水的瓶子時(shí)，水中會(huì)形成“龍卷風(fēng)”，但最終又會(huì)衰減。

最近，我們發(fā)現(xiàn)將盤(pán)子在游泳池中推動(dòng)時(shí)(圖1)，一對(duì)漩渦可以在盤(pán)子周圍產(chǎn)生(圖2)。將盤(pán)子向前推一段路程后抽出，幾分鐘之后，漩渦仍然存在，并能穩(wěn)定地向前運(yùn)動(dòng)。這對(duì)保持長(zhǎng)期穩(wěn)定狀態(tài)的漩渦引起了我們的興趣。后來(lái)，我們重復(fù)了此實(shí)驗(yàn)，漩渦生成且保持穩(wěn)定。為什么這樣一對(duì)漩渦能在沒(méi)有外界能量加入的情況下穩(wěn)定地存在呢？

圖1　推盤(pán)子側(cè)視圖

圖2　抽出盤(pán)子后形成的一對(duì)漩渦

1　流體問(wèn)題的前提假設(shè)

1.1　漩渦形成模型的流體特點(diǎn)

研究流體問(wèn)題，首先要確定流體的模型，要從粘性和壓縮性兩點(diǎn)來(lái)考慮。

盤(pán)子在水中運(yùn)動(dòng)時(shí)，盤(pán)子物面將對(duì)流體產(chǎn)生阻力。因此，在盤(pán)子物面和遠(yuǎn)離盤(pán)子的來(lái)流區(qū)域處產(chǎn)生速度差，導(dǎo)致粘性應(yīng)力產(chǎn)生。黏性應(yīng)力的作用造成了流體垂直于盤(pán)子方向的流動(dòng)和漩渦的形成。同時(shí)，根據(jù)達(dá)朗貝爾佯謬[1]，當(dāng)物體對(duì)流體產(chǎn)生阻力時(shí)需要考慮黏性。

由于推盤(pán)子的速度小于5 m/s，不會(huì)對(duì)液體壓縮做功，所以在此流體模型中，水為不可壓縮流體。

綜上，漩渦形成模型的流體特點(diǎn)為黏性且不可壓縮。

1.2　漩渦穩(wěn)定模型的流體特點(diǎn)

當(dāng)盤(pán)子抽出水面之后，物面產(chǎn)生的黏滯阻力消失，此時(shí)，黏性作用可以忽略。同時(shí)，流體未受外力做功，流體模型亦是不可壓縮流體。

綜上，漩渦向前運(yùn)動(dòng)時(shí)的流體特點(diǎn)為非黏性且不可壓縮。

1.3　變量表格

變量名稱 變量含義τ黏性應(yīng)力μ沿x軸來(lái)流速度U0外部流動(dòng)區(qū)域來(lái)流速度δ邊界層的厚度v沿y軸來(lái)流速度ρ流體密度ν液體動(dòng)力黏滯系數(shù)l特征長(zhǎng)度(盤(pán)子的弦長(zhǎng))p液體壓強(qiáng)g重力加速度常數(shù)ω渦量Γ環(huán)量L積分路徑R單個(gè)漩渦半徑U推動(dòng)盤(pán)子的速度r距離矢量θ液體黏性系數(shù)u漩渦的角度

2　理論模型

2.1　漩渦形成模型

在實(shí)驗(yàn)中，我們以流體為坐標(biāo)系，通過(guò)讓盤(pán)子在水中移動(dòng)一定距離產(chǎn)生漩渦?，F(xiàn)在，我們把坐標(biāo)系建立在盤(pán)子上(圖3)。假設(shè)盤(pán)子固定不動(dòng)，流體向盤(pán)子方向流動(dòng)。(風(fēng)洞測(cè)試飛機(jī)模型運(yùn)用了同樣的等效法)

圖3　盤(pán)子坐標(biāo)系示意圖

2.1.1黏性應(yīng)力

當(dāng)部分插入水中的盤(pán)子遇到來(lái)流速度為U0的水時(shí)，由于受到盤(pán)子物面摩擦的影響，來(lái)流速度在盤(pán)子邊緣上等于零，此時(shí)，遠(yuǎn)離盤(pán)子物面的速度是U0。因此，在盤(pán)子邊緣和流速為U0的流體之間會(huì)產(chǎn)生速度梯度，進(jìn)而產(chǎn)生黏性應(yīng)力τ。

2.1.2邊界層

為了進(jìn)一步探究黏性應(yīng)力對(duì)流場(chǎng)分布的影響，我們需要引入一個(gè)邊界層的概念。邊界層是指介于來(lái)流速度為零的區(qū)域(盤(pán)子邊緣)和來(lái)流速度為U0的區(qū)域之間的區(qū)域。邊界層同時(shí)是緊貼物面且非常薄的一層區(qū)域(圖4)。

圖4　邊界層示意圖

在遠(yuǎn)離盤(pán)子的平流區(qū)域，黏性力遠(yuǎn)小于慣性力，可以忽略黏性。但由于邊界層內(nèi)存在很大的速度梯度，黏性應(yīng)力的作用效果明顯，黏性力和慣性力作用同等重要。因此，漩渦將會(huì)在狹小的邊界層內(nèi)部產(chǎn)生，邊界層內(nèi)部的情況是我們研究的重點(diǎn)。

納維 斯托克斯方程是用來(lái)描述黏性流體的，但是，邊界層厚度δ比特征長(zhǎng)度l(指盤(pán)子插入水中后，盤(pán)子表面與水面相切的弦長(zhǎng))小得多，我們可以簡(jiǎn)化納維 斯托克斯方程，并將其推導(dǎo)為普朗特邊界方程。

根據(jù)之前的分析，我們可以得到邊界層方程的基本假設(shè)為

(2)黏性力和慣性力同階。

我們通過(guò)估階的方法將方程簡(jiǎn)化[2]。

納維 斯托克斯方程

普朗特邊界方程

2.1.3邊界層分離

現(xiàn)在，我們用邊界層分離來(lái)解釋漩渦對(duì)的產(chǎn)生。在盤(pán)子的物面上，黏附條件為

u=0， v=0

聯(lián)立方程(4)和盤(pán)子物面黏附條件，可以推出：

聯(lián)立方程(4)和黏度系數(shù)與動(dòng)力黏度系數(shù)換算公式

可以推出方程

在方程(6)中，得到了壓力導(dǎo)數(shù)和速度曲線曲率的關(guān)系，這將便于下一步分析物面周邊流體速度場(chǎng)的變化。

我們先簡(jiǎn)化盤(pán)子模型為圓柱模型來(lái)分析邊界層的分離過(guò)程。在圓柱上建立坐標(biāo)系，利用LBM(Lattice Boltz mann Method)在Matlab中模擬邊界層在圓柱物面的脫離過(guò)程。圖5中展示的是圓柱周邊流體的速度場(chǎng)，Re=100。

圖5　Matlab圓柱物面邊界層分離模擬

根據(jù)伯努利方程，可以通過(guò)模擬得到的速度場(chǎng)來(lái)推導(dǎo)圓柱周邊壓強(qiáng)場(chǎng)。

在圖6中，深黑色箭頭實(shí)線為添加的輔助線，用來(lái)表示來(lái)流方向。A、B、C、D 4個(gè)點(diǎn)代表圓柱周邊特定位置的流體。

圖6　圓柱物面邊界層分離注釋

A點(diǎn)位于圓柱前段，流速趨近于零;B點(diǎn)位于圓柱一側(cè)，存在流速。此時(shí)，A點(diǎn)壓強(qiáng)將大于B點(diǎn)壓強(qiáng)，從A點(diǎn)到B點(diǎn)，壓強(qiáng)減小，流體質(zhì)點(diǎn)順壓強(qiáng)梯度流動(dòng)，沿A點(diǎn)流向B點(diǎn)，且沿x軸方向的壓強(qiáng)的導(dǎo)數(shù)小于零。

此時(shí)，根據(jù)方程(6)，可以得出邊界層內(nèi)部速度曲率小于零，速度曲線沿y軸上凸，來(lái)流方向繼續(xù)保持原先方向，沒(méi)有發(fā)生回流。

圖7(a)中的淺色線條展示的是此時(shí)邊界層上的速度曲線，速度曲線在物面一側(cè)沒(méi)有發(fā)生變化，邊界層此時(shí)緊貼物面。

圖7　圓柱物面邊界層內(nèi)速度曲線變化

回到圖6中，C點(diǎn)位于圓柱背側(cè)，流速趨于零，小于B點(diǎn)的流速。此時(shí)，從B點(diǎn)到C點(diǎn)，壓強(qiáng)增大，流體質(zhì)點(diǎn)逆壓強(qiáng)梯度流動(dòng)，因此沿著x軸的壓強(qiáng)梯度大于零。

此時(shí)，根據(jù)方程(6)，可以得出在邊界層內(nèi)部速度曲率大于零，臨近物面一側(cè)的速度曲線沿y軸下凸，來(lái)流方向繼續(xù)與原先方向相反，發(fā)生回流。

此時(shí)，圖7(a)中的深黑色線條表示盤(pán)子物面一側(cè)的速度曲線反曲，物面附近速度不為零，邊界層發(fā)生分離。

根據(jù)Matlab對(duì)漩渦速度場(chǎng)的模擬，我們發(fā)現(xiàn)圓柱繞流后速度分布發(fā)生了變化。速度為零的點(diǎn)(邊界層起點(diǎn))不在圓柱體的物面上，物面附近發(fā)生回流，邊界層發(fā)生了脫離。圖7(b)中的速度曲線的標(biāo)注和速度場(chǎng)的分布展示了漩渦成因。此時(shí)位于圓柱兩側(cè)，一對(duì)漩渦將會(huì)在流體經(jīng)過(guò)圓柱繞流后出現(xiàn)。

2.1.4盤(pán)子模型的修正

先前我們采用圓柱模型簡(jiǎn)化了盤(pán)子模型，因?yàn)楸P(pán)子本身形狀的特殊性，現(xiàn)在需要對(duì)模型進(jìn)行修正。

同樣，在盤(pán)子上建立坐標(biāo)系。此時(shí)A點(diǎn)到B點(diǎn)在x軸方向的投影遠(yuǎn)小于圓柱上從A點(diǎn)到B點(diǎn)的投影，可以推出盤(pán)子模型沿著x軸的壓強(qiáng)變化率將遠(yuǎn)大于圓柱模型。B點(diǎn)到C點(diǎn)的壓強(qiáng)梯度同理可得。

因此，盤(pán)子模型產(chǎn)生的速度曲率變化相比圓柱模型會(huì)更加明顯，使得流速為U0的流體在接觸到盤(pán)子邊緣的同時(shí)就發(fā)生邊界層分離現(xiàn)象，使得漩渦對(duì)隨后產(chǎn)生(圖8)。

圖8　Matlab盤(pán)子邊緣邊界層分離模擬

通過(guò)改進(jìn)Matlab的代碼，我們用盤(pán)子模型對(duì)邊界層分離現(xiàn)象進(jìn)行模擬，證實(shí)了接觸盤(pán)子邊緣的同時(shí)就會(huì)發(fā)生邊界層分離，且產(chǎn)生更明顯的漩渦對(duì)。

2.1.5回流區(qū)域驗(yàn)證

使用Fl uent編程設(shè)置盤(pán)子與平穩(wěn)來(lái)流，模擬了盤(pán)子周圍的流場(chǎng)分布。圖9中箭頭表示每一流體質(zhì)點(diǎn)的速度矢量。Fl uent模擬證實(shí)了在緊貼物面的區(qū)域，速度矢量發(fā)生變化，物面附近流體速度不為零且與來(lái)流速度U0方向相反，形成漩渦結(jié)構(gòu)。

2.2　漩渦U形渦管穩(wěn)定模型

2.2.1U形結(jié)構(gòu)的形成

之前我們只對(duì)漩渦進(jìn)行了二維的研究，現(xiàn)在需要進(jìn)一步探究這對(duì)漩渦在流體中的三維結(jié)構(gòu)。

由于部分盤(pán)子是浸在水中，運(yùn)動(dòng)的流體與盤(pán)子物面接觸時(shí)，在盤(pán)子的半圓形邊緣上均會(huì)發(fā)生邊界層分離，并產(chǎn)生湍流和漩渦現(xiàn)象。因此，漩渦會(huì)沿著盤(pán)子浸入水中的邊緣形成(如圖10所示)。

圖10　漩渦U形結(jié)構(gòu)示意圖

這些連續(xù)在盤(pán)子邊緣的漩渦將最終形成U形的聯(lián)通結(jié)構(gòu)。利用染色劑對(duì)其進(jìn)行染色(如圖11所示)，發(fā)現(xiàn)染料能沿著U形結(jié)構(gòu)從一個(gè)漩渦中心，向另外一個(gè)漩渦中心輸送，反之亦然;同時(shí)，染料跟隨漩渦的U形結(jié)構(gòu)一同向前運(yùn)動(dòng)。

圖11　漩渦U形結(jié)構(gòu)實(shí)際染色圖

染色實(shí)驗(yàn)說(shuō)明了U形結(jié)構(gòu)的性質(zhì)不是一種波，而是具有傳遞物質(zhì)性質(zhì)的結(jié)構(gòu)。與此同時(shí)，我們?cè)噲D故意破壞漩渦的U形結(jié)構(gòu)。例如，在水池中央樹(shù)立一根粗桿(直徑3c m)，當(dāng)漩渦對(duì)從粗桿中央經(jīng)過(guò)時(shí)，U形結(jié)構(gòu)會(huì)因?yàn)榇謼U物面產(chǎn)生的阻力而斷裂，這一對(duì)漩渦發(fā)生能量耗散，并逐漸解旋并消失。

這個(gè)特殊的U形結(jié)構(gòu)可能是保持漩渦穩(wěn)定的重要條件，通過(guò)查閱相關(guān)資料，推斷此結(jié)構(gòu)可能為漩渦的渦管。

因此，接下來(lái)將要驗(yàn)證漩渦U形結(jié)構(gòu)是否為渦管，同時(shí)建立漩渦漩渦U形渦管穩(wěn)定模型。

2.2.2漩渦行進(jìn)狀態(tài)的流體模型

當(dāng)利用盤(pán)子在水池中產(chǎn)生漩渦后，我們通過(guò)機(jī)械臂的電磁鐵將盤(pán)子抽出，漩渦對(duì)會(huì)一同以一個(gè)幾乎恒定的速度向前運(yùn)動(dòng)。此時(shí)，物面從流體中消失，邊界層不再存在，慣性力遠(yuǎn)大于黏性力，漩渦達(dá)到一種穩(wěn)態(tài)，可以忽略流體的黏性作用。

在納維-斯托克斯方程中，

ν?2u是黏性項(xiàng)，ν是流體的動(dòng)力黏滯系數(shù)，速度場(chǎng)的矢量拉普拉斯是

漩渦引發(fā)的速度場(chǎng)是螺線型的，即?·u=0，因此?(?·u)=0。另一方面，在漩渦的渦絲模型中，渦絲以外流場(chǎng)的渦量是零，所以?×ω=0。此時(shí)黏性項(xiàng)就可以從納維 斯托克斯場(chǎng)方程中消除掉，故我們可以把渦絲在流體中的運(yùn)動(dòng)看作是沒(méi)有阻力且液體無(wú)黏性。

2.2.3渦量

對(duì)于流體中的漩渦來(lái)說(shuō)，最關(guān)鍵的物理量是漩渦的渦量：ω=(ξ，η，ζ)，渦量為速度場(chǎng)的旋度。ω=?×u

根據(jù)亥姆霍茲第一定理[2]，漩渦渦絲上的每一點(diǎn)都與渦量向量平行，因此滿足方程：

通過(guò)擴(kuò)展這個(gè)定理，可以解釋染料沿渦絲傳遞并繞著渦絲中心旋轉(zhuǎn)的原因;此推論也證實(shí)了渦絲是在流體中跟隨漩渦一同向前運(yùn)動(dòng)，而不是向前或向外擴(kuò)散。

漩渦通常由多條渦絲圍成的一個(gè)閉合的曲面構(gòu)成渦管(如圖12所示)，若渦管存在渦量，同時(shí)渦量處處相等，即形成穩(wěn)定的渦管結(jié)構(gòu)，那么這個(gè)漩渦將是穩(wěn)定的。

圖12　渦管示意圖

2.2.4U形渦管穩(wěn)定模型

速度環(huán)量Γ是指沿著一個(gè)閉合曲線c速度的線積分;根據(jù)斯托克斯定理，速度環(huán)量和渦量之間還有如下關(guān)系

這里的速度環(huán)量表示為漩渦的渦管強(qiáng)度。我們將這對(duì)漩渦的三維結(jié)構(gòu)取出(即為圖12)并計(jì)算它的速度環(huán)量，再把原式轉(zhuǎn)化成體積積分的形式

我們得到對(duì)渦管體積積分的結(jié)果是零。

再將漩渦的渦管強(qiáng)度利用渦管的3個(gè)表面(α面、β面和側(cè)面)的速度環(huán)量的和來(lái)表示

因?yàn)閭?cè)面速度環(huán)量為零，可以得到

根據(jù)α面、β面的法向量的關(guān)系為

可以得到：再漩渦渦管的橫截面上，渦量處處相等。

同時(shí)，無(wú)黏性流體的渦旋管強(qiáng)度不隨時(shí)間的改變而改變，所以渦量在漩渦運(yùn)動(dòng)過(guò)程中保持恒定。

這類渦管模型完全符合泳池中漩渦對(duì)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和自身特點(diǎn)。

將渦量處處相等進(jìn)一步推廣可得：一個(gè)渦旋的渦管不能以一端無(wú)限小的形式存在，否則它的渦量將無(wú)限大，所以渦管必須向兩端延伸至水面的邊界(泳池中的漩渦對(duì))或者形成閉合的環(huán)(空氣中的煙圈)。

根據(jù)我們用盤(pán)子制出的一對(duì)漩渦的形態(tài)來(lái)看，它形成的渦管結(jié)構(gòu)是向兩端延伸至水面的結(jié)構(gòu)(圖12)，因此，這類渦管結(jié)構(gòu)是這對(duì)漩渦能夠穩(wěn)定存在的原因。

2.3　漩渦存在特點(diǎn)

通過(guò)進(jìn)行PIV實(shí)驗(yàn)，我們用CCD相機(jī)記錄了漩渦在一個(gè)流體切面上的流場(chǎng)分布和速度場(chǎng)分布的情況，并探究漩渦存在時(shí)的速度場(chǎng)特點(diǎn)

漩渦的速度場(chǎng)和漩渦的渦量場(chǎng)是相互關(guān)聯(lián)的。定義上，漩渦速度的旋度即是渦量。另一方面，我們推斷漩渦的渦量場(chǎng)能通過(guò)畢奧 薩伐爾定律推導(dǎo)出漩渦的速度場(chǎng)。這個(gè)推斷是由分析PIV實(shí)驗(yàn)得到的漩渦流場(chǎng)圖像和在Mathematica中對(duì)半圓形通電導(dǎo)線的磁場(chǎng)進(jìn)行數(shù)值積分的結(jié)果對(duì)比得來(lái)。這對(duì)漩渦的U形渦管附近產(chǎn)生的速度場(chǎng)u的速度環(huán)量Γ(圖13(a))與半圓形電流強(qiáng)度為I的通電導(dǎo)線產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度B(圖13(b))非常相似。

方程(17)將速度與速度環(huán)量聯(lián)系：

安培定律將磁感應(yīng)強(qiáng)度和電流聯(lián)系：

我們利用畢奧 薩伐爾定律推導(dǎo)漩渦速度場(chǎng)，即是漩渦的引發(fā)速度場(chǎng)：

在方程(20)中，d l是渦管的一小段，Γ是渦管強(qiáng)度，是由漩渦形成時(shí)的初始條件決定的。下面進(jìn)行積分

rP=(x，y，z)是流體質(zhì)點(diǎn)P的位置，

從圖13的對(duì)比結(jié)果中，看出漩渦對(duì)的速度場(chǎng)和半圓形通電導(dǎo)線的磁場(chǎng)非常相似。

圖13　漩渦對(duì)的速度場(chǎng)和半圓形通電導(dǎo)線的磁場(chǎng)

3　實(shí)驗(yàn)裝置

3.1　實(shí)驗(yàn)設(shè)備

(1)PIV(particle image velocimetry)粒子示蹤技術(shù)。PIV設(shè)備使用CCD工業(yè)相機(jī)，PIV粒子水和3瓦綠色激光器組成。示蹤粒子浮在水中的各個(gè)層上，當(dāng)有流體運(yùn)動(dòng)時(shí)，粒子的軌跡便可以記錄漩渦的流場(chǎng)、速度場(chǎng)。

(2)機(jī)械臂。利用步進(jìn)電機(jī)、CCM直線導(dǎo)軌、工業(yè)自動(dòng)化控制器等設(shè)備組成機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)單元，步進(jìn)電機(jī)結(jié)合伺服電機(jī)精確控制盤(pán)子向前移動(dòng)的速度和加速度。同時(shí)利用彈簧、電磁鐵、電磁繼電器和導(dǎo)軌制成盤(pán)子回收裝置，以保證漩渦生成后盤(pán)子能被及時(shí)并且豎直抽出，減少人手產(chǎn)生的實(shí)驗(yàn)誤差。

3.2　實(shí)驗(yàn)方法

利用激光器產(chǎn)生扇形激光平面照射在PIV粒子水中，產(chǎn)生漩渦后，利用CCD相機(jī)(20 ms/張)記錄PIV粒子的運(yùn)動(dòng)情況。

圖14　實(shí)驗(yàn)設(shè)備

3.3　預(yù)實(shí)驗(yàn)

圖15　機(jī)械臂

我們進(jìn)行預(yù)實(shí)驗(yàn)來(lái)描繪機(jī)械臂的速度曲線，從而測(cè)試機(jī)械臂的速度控制是否精確。利用激光器產(chǎn)生扇形激光平面照射在PIV粒子水中，產(chǎn)生漩渦后，利用CCD相機(jī)(20 ms/張)記錄PIV粒子的運(yùn)動(dòng)情況。

4　實(shí)驗(yàn)結(jié)果

4.1　漩渦的前進(jìn)速度

圖16展示了漩渦向前運(yùn)動(dòng)時(shí)的位移 時(shí)間圖像，通過(guò)Origin進(jìn)行線性擬合，我們得出漩渦向前運(yùn)動(dòng)的速度是一個(gè)定值，驗(yàn)證了之前的假設(shè)，即漩渦在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，周圍流體對(duì)于漩渦來(lái)說(shuō)是無(wú)粘的。

圖16 漩渦前進(jìn)位移—時(shí)間圖

4.2　漩渦的平均動(dòng)能

圖17展示了漩渦向前運(yùn)動(dòng)時(shí)平均動(dòng)能的變化。從中發(fā)現(xiàn)，漩渦動(dòng)能在減少，漩渦在耗散。但是，漩渦的擴(kuò)散幾乎是穩(wěn)定的，漩渦的衰減是很小的。

圖17 漩渦平均速度平方—時(shí)間圖

4.3　漩渦的渦量

圖18展示了漩渦向前運(yùn)動(dòng)時(shí)漩渦的渦量變化。漩渦渦量在減小，說(shuō)明漩渦的穩(wěn)定性在下降。同漩渦的平均動(dòng)能一樣，渦量減少很小，所以漩渦能保持穩(wěn)定很長(zhǎng)時(shí)間。

圖18　平均渦量(絕對(duì)值)—時(shí)間圖

5　總結(jié)

5.1　漩渦的形成

通過(guò)簡(jiǎn)化納維 斯托克斯方程得到普朗特邊

界層方程，我們推導(dǎo)并解釋了為何在大Re數(shù)情況下，邊界層內(nèi)的速度曲率發(fā)生變化，物面上的邊界層會(huì)發(fā)生分離，使得漩渦產(chǎn)生。通過(guò)計(jì)算機(jī)模擬軟件Matlab和Fluent，我們對(duì)模型進(jìn)行了修正，并對(duì)理論中提出的回流區(qū)域進(jìn)行了驗(yàn)證。

5.2　漩渦的穩(wěn)定模型

通過(guò)計(jì)算簡(jiǎn)化的納維 斯托克斯方程，證明在漩渦對(duì)向前運(yùn)動(dòng)時(shí)，粘性作用可以被忽略。通過(guò)研究渦旋對(duì)的U形結(jié)構(gòu)，并利用渦管的模型解釋了漩渦對(duì)的U形結(jié)構(gòu)，證明了渦量在渦管上處處相等，同時(shí)，渦管也是漩渦對(duì)保持穩(wěn)定而不迅速耗散的原因。

5.3　漩渦的存在特點(diǎn)

利用畢奧-薩伐爾定律的形式對(duì)漩渦對(duì)的速度場(chǎng)進(jìn)行積分，同時(shí)利用Mathematica對(duì)半圓形通電導(dǎo)線的磁場(chǎng)進(jìn)行模擬，發(fā)現(xiàn)漩渦的速度場(chǎng)和半圓形通電導(dǎo)線產(chǎn)生的磁場(chǎng)有極大的相似性，進(jìn)一步說(shuō)明了漩渦的引發(fā)速度場(chǎng)可以通過(guò)畢奧 薩伐爾定律推導(dǎo)，方便了我們分析漩渦的速度場(chǎng)。

5.4　漩渦的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)

從PIV實(shí)驗(yàn)得到的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和圖像中，分析了漩渦的運(yùn)動(dòng)模式，發(fā)現(xiàn)漩渦前進(jìn)速度保持恒定，且耗散很小。