一種改進的DWT-FMM圖像修復(fù)算法

補朝陽，李　尊

（1.新鄉(xiāng)學(xué)院 a.化學(xué)化工學(xué)院；b.物理與電子工程學(xué)院，河南 新鄉(xiāng) 453003；2.武漢科技大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院，湖北 武漢430081）

圖像修復(fù)技術(shù)［1-2］用來對破損圖像的待修復(fù)區(qū)域進行合理的填充，恢復(fù)視覺效果。目前，此技術(shù)已被應(yīng)用于文物修復(fù)、舊照片恢復(fù)、冗余目標(biāo)移出等方面，是圖像處理與計算機視覺領(lǐng)域的研究熱點。國內(nèi)外的研究者提出了許多種修復(fù)方法，如基于變分和偏微分法、基于等照度線擴散法、基于紋理合成法、混合法以及變換域法等?；谛〔ㄗ儞Q的圖像修復(fù)［3］算法進行逐點計算，保證修復(fù)質(zhì)量和效率?？导褌惖龋?］提出引入梯度直方圖進行方向篩選的方法較好地保留了修復(fù)邊緣。Hung等［5］提出的貝賽爾曲線逼近邊緣方法保證了對曲線結(jié)構(gòu)的較好修復(fù)。

在本文中，我們提出改進的DWT-FMM圖像修復(fù)算法是對Eikonal方程和權(quán)重函數(shù)進行改進，引入約束最小二乘法進行濾波，在保證修復(fù)效率的基礎(chǔ)上，提高細(xì)節(jié)修復(fù)效果。

1　小波變換

小波變換［6］是頻域的變換方法，此方法在時域和頻域均具有良好的局部化特性。設(shè)C0表示原始圖像，離散小波變換如下：

其中：m=0，1，…，m-1；h、v 和 d 分別表示水平分量、垂直分量和對角分量；G和H都是小波變換中濾波器系數(shù)矩陣，’表示H的共軛轉(zhuǎn)置矩陣，表示G的共軛轉(zhuǎn)置矩陣。小波重構(gòu)表達(dá)式為

其中 n=N，N-1，…，1。

2　DWT-FMM圖像修復(fù)算法

DWT-FMM圖像修復(fù)算法對待修復(fù)圖像進行小波變換，得到低頻圖像和高頻圖像。算法對低頻圖像以點為單位，采用FMM（fast marching method）方式進行匹配，逐步修復(fù)圖像；對高頻圖像，則利用小波分解后上下層之間的關(guān)聯(lián)性進行預(yù)測。為了使修復(fù)圖像的效果更自然，我們對修復(fù)的圖像使用維納濾波。

2.1　低頻圖像修復(fù)

低頻圖像以像素點為研究對象，采用FMM算法對待修復(fù)區(qū)域由外向內(nèi)逐步推進修復(fù)，直至待修復(fù)區(qū)域修復(fù)完成。

FMM算法［7］由Telea于2004年提出，其實質(zhì)是利用 Eikonal方程求解時間達(dá)到函數(shù) T（x，y），模擬曲線進化過程來完成修復(fù)。此修復(fù)方法是由待修復(fù)區(qū)域邊緣逐漸向里推進，保證離完好區(qū)域最近的像素點優(yōu)先得到修復(fù)，與人工修復(fù)原則一致。FMM算法模型如圖1所示。在圖1中，表示待修復(fù)區(qū)域，Ψ表示完好區(qū)域，?表示待修復(fù)區(qū)域邊界，P表示待修復(fù)像素點，Nξ（P）表示鄰域像素點集合。

圖1　FMM算法模型

FMM算法將像素點分為3類，分別是未知像素點、已知像素點和邊界像素點。T（x，y）可通過Eikonal方程

求解。在式（3）中：βij表示待修復(fù)像素點法向運動速率，取值為1；表示一階有限差分形式。

為了保證修復(fù)路徑正確，及待修復(fù)像素點灰度值匹配正確，需要在待修復(fù)像素點P的周圍建立數(shù)學(xué)模型，計算鄰域像素點q對點P影響，進而計算出點P的灰度值。計算方法如下：

式（4）表示在點P的修復(fù)中，權(quán)重函數(shù)占主導(dǎo)地位。此方程式保證在修復(fù)的過程中保留完好區(qū)域的結(jié)構(gòu)特征。式（5）表示權(quán)重函數(shù)由3個因子所決定，分別是方向因子r、距離因子t和水平集因子V，即

式（6）中：方向因子r表示像素點q與像素點P紋理越相似，權(quán)重值越大；距離因子t表示像素點q與像素點P距離越近，權(quán)重值越大；水平集因子V表示像素點q的更新時間越短，權(quán)重值越大。

低頻圖像的修復(fù)依照FMM算法進行，直至待修復(fù)區(qū)域修復(fù)完成。

2.2　高頻圖像修復(fù)

高頻圖像修復(fù)要通過低頻信息進行預(yù)測，首先剔除高頻圖像待修復(fù)區(qū)域的邊界，然后對低頻已修復(fù)好的區(qū)域進行水平、垂直和對角方向濾波，并填充至高頻待修復(fù)圖像中，最后采用維納濾波處理使修復(fù)效果更加自然。

3　改進的DWT-FMM圖像修復(fù)算法

我們提出的改進的DWT-FMM圖像修復(fù)算法針對Eikonal方程和權(quán)重函數(shù)進行了改進，圖像自然化濾波則采用約束最小二乘法。

3.1　Eikonal方程改進

在式（3）中，有限差分的形式為一階。文獻(xiàn)［8］針對FMM算法的精度進行分析，得出二階差分精度高于一階差分精度的結(jié)論。因此我們用二階差分的形式替代一階差分引入Eikonal方程，改進DWT-FMM圖像修復(fù)算法，完成圖像修復(fù)操作，表達(dá)式如下：

上述4個表達(dá)式為二階差分形式，其中Δx和Δy分別表示在x軸和y軸方向上的網(wǎng)格間距，Ti，j表示網(wǎng)格坐標(biāo)（i，j）的到達(dá)時的值。

3.2　權(quán)重函數(shù)的改進

權(quán)重函數(shù)是由方向因子、距離因子和水平集因子的乘積形式?jīng)Q定的，具有盲目性。在權(quán)重函數(shù)表達(dá)式中，3個因子對函數(shù)的影響應(yīng)具有同等地位，而在圖像修復(fù)的原則中，方向因子的優(yōu)先級要高于其余2項，否則易引入相關(guān)度較小的像素點，影響修復(fù)效果。為此，我們提出將黃金率［9］引入權(quán)重函數(shù)中，將因子相乘形式改成加權(quán)和的形式，以此提高方向因子的優(yōu)先級，保證修復(fù)按照圖像結(jié)構(gòu)的方向進行，符合圖像修復(fù)的要求。改進的權(quán)重函數(shù)表達(dá)式為

3.3　約束最小二乘法

原修復(fù)算法的最后步驟是采用維納濾波進行自然化處理。維納濾波是由Winner提出的，具有計算量小、抗噪能力強和修復(fù)效果好的特點，在圖像復(fù)原中被廣泛應(yīng)用。但是圖像修復(fù)是一個病態(tài)的逆問題，為了克服病態(tài)，我們采用約束最小二乘法［10］進行自然化處理。此方法可利用待修復(fù)圖像的先驗知識進行約束，提高修復(fù)質(zhì)量。我們采用MATLAB中的deconvreg函數(shù)進行約束最小二乘法處理，其中拉格朗日算法的搜索范圍是 10-9～109。

4　仿真實驗結(jié)果

仿真實驗對算法的整體及所有改進部分都進行對比。實驗軟件采用MATLAB 7.0，客觀參數(shù)有均方誤差MSE、峰值信噪比PSNR和修復(fù)時間t。結(jié)果如圖2所示。圖2a）為原圖，圖2b）為待修補圖像（其中待修復(fù)區(qū)域用數(shù)字標(biāo)注，便于對比），圖2c）為原算法修復(fù)圖，圖2d）為Eikonal改進修復(fù)圖，圖2e）為權(quán)重函數(shù)改進修復(fù)圖，圖2f）為采用約束最小二乘法濾波的修復(fù)圖，圖2g）為本文算法修復(fù)圖。

針對Eikonal改進進行對比，如圖2c）和圖2d）所示。人眼看到的修復(fù)效果是，圖2c）中明顯有修復(fù)痕跡，而圖2d）的修復(fù)痕跡減輕，特別是在1處（Lena帽子上方的拐角部分），圖2d）細(xì)節(jié)處理效果較好，基本恢復(fù)原圖信息，滿足修復(fù)要求?？陀^結(jié)果如表1所示，Eikonal改進算法提高了修復(fù)的質(zhì)量和修復(fù)效率，此改進具有一定價值。

針對權(quán)重函數(shù)改進進行對比，如圖2c）和圖2e）所示。從人的視覺出發(fā)，圖2c）和圖2e）相差不大，基本滿足人的視覺要求，無明顯錯誤信息的修復(fù)，但均存在一定程度的修復(fù)痕跡?？陀^結(jié)果如表1所示，權(quán)重函數(shù)改進算法的圖像質(zhì)量具有一定的提高，修復(fù)時間也較原算法有所降低。

針對不同的濾波方法修復(fù)圖進行對比，如圖2c）和圖2f）所示。從人的視覺出發(fā)，圖2f）的改進效果與圖2c）沒有明顯差別。但從客觀數(shù)據(jù)表1可得出，無論是修復(fù)質(zhì)量還是修復(fù)效率，本算法都得到了一定的提高，相較于維納濾波可以達(dá)到自然修復(fù)的目的。

對改進算法和原算法進行對比，如圖2c）和圖2g）所示。改進算法在細(xì)節(jié)處理上有一定程度的提高，減少了修復(fù)痕跡，得到了修復(fù)效果更好的修復(fù)結(jié)果圖，符合修復(fù)的原則?？陀^結(jié)果如表1所示，改進算法在提升圖像修復(fù)質(zhì)量、滿足視覺要求和加強細(xì)節(jié)處理的基礎(chǔ)上，保證了效率。

圖2　修復(fù)效果對比圖

表1　客觀數(shù)據(jù)對比表

5　結(jié)束語

在DWT-FMM修復(fù)算法的基礎(chǔ)上，針對3方面進行改進：改進的Eikonal方程提高修復(fù)精度，改進的權(quán)重函數(shù)保證修復(fù)圖像的結(jié)構(gòu)方向和改進濾波方法增強修復(fù)的自然效果。改進算法在細(xì)節(jié)修復(fù)上有一定提高，人為修復(fù)痕跡減輕，修復(fù)效果自然，但仍存在條狀痕跡。綜上，改進算法對圖像的細(xì)節(jié)修復(fù)具有一定的參考意義。下一步將以修復(fù)邊緣為對象進行研究，降低修復(fù)痕跡的視覺效果。