生活中的函數(shù)問題

文 /謝小芳

函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容.我們主要學(xué)習(xí)了一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)，它們?cè)谏钪械膽?yīng)用非常廣泛，請(qǐng)看下面的例子.

一、生活中的函數(shù)模型

例1如圖1，一種斜挎包的挎帶由雙層部分、單層部分和調(diào)節(jié)扣構(gòu)成．小敏用后發(fā)現(xiàn)，通過調(diào)節(jié)扣加長或縮短單層部分的長度，可以使挎帶的長度（單層部分與雙層部分長度的和，其中調(diào)節(jié)扣所占的長度忽略不計(jì)）加長或縮短．設(shè)單層部分的長度為xcm，雙層部分的長度為ycm，經(jīng)測量，得到如下數(shù)據(jù)：

圖1

單層部分的長度x（cm）雙層部分的長度y（cm）……4 6 8 150 73 72 71 10　……

（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)的規(guī)律，填寫表格，并直接寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式；

（2）根據(jù)小敏的身高和習(xí)慣，挎帶的長度為120cm時(shí)，背起來正合適，請(qǐng)求出此時(shí)單層部分的長度；

（3）設(shè)挎帶的長度為lcm，求l的取值范圍．

解：（1）在表格兩空中，分別填70，0.

由表格可知，y是x的一次函數(shù)，設(shè)y=kx+b.

∴單層部分的長度為90cm．

∴75≤l≤150．

點(diǎn)評(píng)：沒有明確函數(shù)類型，需要探索表格數(shù)據(jù)呈現(xiàn)的規(guī)律，根據(jù)三類函數(shù)的特性，確定函數(shù)類別，用待定系數(shù)法求解析式．

二、生活中的函數(shù)最值

例2某藍(lán)莓種植生產(chǎn)基地產(chǎn)銷兩旺，采摘的藍(lán)莓部分加工銷售，部分直接銷售，且當(dāng)天都能銷售完，直接銷售是40元/斤，加工銷售是130元/斤（不計(jì)損耗）．已知基地雇傭20名工人，每名工人只能參與采摘和加工中的一項(xiàng)工作，每人每天可以采摘70斤或加工35斤.設(shè)安排x名工人采摘藍(lán)莓，剩下的工人加工藍(lán)莓．

（1）若基地一天的總銷售收入為y元，求y與x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）如何分配工人，才能使一天的銷售收入最大，并求出最大值．

解：（1）y=[70x-（20-x）×35]×40+（20-x）×35×130=-350x+63 000．

∵x為正整數(shù)，且x≤20，

∴7≤x≤20，

在y=-350x+63 000中，k=-350＜0，

∴y隨x增大而減小，

當(dāng)x=7時(shí)，y取最大值，最大值為-350×7+63 000=60 550．

答：安排7名工人采摘藍(lán)莓，13名工人加工藍(lán)莓，才能使一天的收入最大，最大收入為60 550元．

點(diǎn)評(píng)：求一次函數(shù)最值的步驟：求出一次函數(shù)解析式；確定自變量的取值范圍；根據(jù)函數(shù)的增減性確定最值．

例3某農(nóng)場擬建一間矩形種牛飼養(yǎng)室.飼養(yǎng)室的一面靠墻（墻足夠長），已知建筑材料可建圍墻的總長為50m．設(shè)飼養(yǎng)室長為x（m），占地面積為y（m2）．

（1）如圖2，問飼養(yǎng)室長x為多少時(shí)，占地面積y最大？

（2）如圖3，現(xiàn)要求在圖中所示位置留2m寬的門，且仍使飼養(yǎng)室的占地面積最大.小敏說：“只要飼養(yǎng)室長比（1）中的長多2m就行了.”請(qǐng)你通過計(jì)算，判斷小敏的說法是否正確．

圖2

∴當(dāng)x=25時(shí)，占地面積最大，

即飼養(yǎng)室長x為25m時(shí)，占地面積y最大.

∴當(dāng)x=26時(shí)，占地面積最大，

即飼養(yǎng)室長x為26m時(shí)，占地面積y最大.

∵26-25=1≠2，

∴小敏的說法不正確．

點(diǎn)評(píng)：列出二次函數(shù)的表達(dá)式，將其配成頂點(diǎn)式，根據(jù)自變量的取值范圍確定最值．

三、生活中的函數(shù)圖象

例4某市規(guī)定每月用水18立方米以內(nèi)（含18立方米）和用水18立方米以上兩種不同的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)．某用戶每月應(yīng)交水費(fèi)y（元）是用水量x（立方米）的函數(shù)，其圖象如圖4所示．

（1）若某用戶某月用水量為18立方米，則應(yīng)交水費(fèi)多少元？

（2）當(dāng)x＞18時(shí)，求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，若小敏家某月交水費(fèi)81元，則這個(gè)月用水量為多少立方米？

解：（1）由圖4可知，月用水量18立方米，交水費(fèi)45元.

（2）由81元＞45元，所以用水量超過18立方米，

設(shè)y=kx+b（x≥18），

∵ 直線經(jīng)過點(diǎn)（18，45），（28，75），

圖4

∴y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y=3x-9（x≥18），

當(dāng)y=81時(shí)，3x-9=81，解得x=30.

答：這個(gè)月用水量為30立方米．

點(diǎn)評(píng)：本題的函數(shù)圖象是以分段方式呈現(xiàn)的，稱作分段函數(shù)．解這類問題，要注意幾個(gè)方面：（1）尋找函數(shù)的分段點(diǎn)；（2）對(duì)每一段函數(shù)關(guān)系，求出解析式；（3）利用解析式解決相關(guān)問題．

四、生活中的函數(shù)說理

圖5

例5甲、乙兩人進(jìn)行羽毛球比賽，羽毛球飛行的路線為拋物線的一部分，如圖5，甲在O點(diǎn)正上方1m的P處發(fā)出一球，羽毛球飛行的高度y（m）與水平距離x（m）之間滿足函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=a（x-4）2+h，已知點(diǎn)O與球網(wǎng)的水平距離為5m，球網(wǎng)的高度為1.55m．

（2）若甲發(fā)球過網(wǎng)后，羽毛球飛行到與點(diǎn)O的水平距離為7m，離地面的高度為的Q處時(shí)，乙扣球成功，求a的值．

∵1.625＞1.55，

∴此球能過網(wǎng).

點(diǎn)評(píng)：利用二次函數(shù)解決拋物線型的球類運(yùn)動(dòng)、隧道、大橋和拱門等實(shí)際問題時(shí)，要恰當(dāng)?shù)亟⑵矫嬷苯亲鴺?biāo)系，把這些實(shí)際問題中的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為拋物線上的點(diǎn)，從而確定拋物線的解析式，利用解析式去解決問題，或進(jìn)行判斷說理．