基于有限差分法和偽譜法的井孔聲場數(shù)值模擬

吳海燕, 朱祖揚, 張衛(wèi)

(中國石化石油工程技術(shù)研究院, 北京 100101)

0　引　言

在裸眼井地層中,由內(nèi)到外是流體和井外地層,在套管井地層中,則在流體和井外地層中間還有一層套管,因此井孔地層可以看成徑向上是分層的、軸向上是均勻的介質(zhì)。根據(jù)井孔地層的結(jié)構(gòu)特點,優(yōu)化數(shù)值模擬方法,可以高效獲取井孔地層中的聲波場響應。

聲波場的數(shù)值模擬方法主要包括有限差分法、有限元法和偽譜法[1-2]。其中,有限差分法實現(xiàn)簡單、運算速度快,對于非均勻介質(zhì)計算具有優(yōu)勢,但是對空間采樣和時間采樣精度要求較高;有限元法可以靈活地剖分網(wǎng)格,適宜處理具有起伏邊界條件和復雜構(gòu)造的介質(zhì)模型,但是,低階有限元會產(chǎn)生頻散現(xiàn)象,而高階有限元則會產(chǎn)生虛假波現(xiàn)象,并且該方法計算量很大;偽譜法基于快速傅里葉變換求解空間導數(shù),其計算精度較高,消耗內(nèi)存較小,但是不能很好地處理邊界以及介質(zhì)內(nèi)部物性差異較大的問題[3]。許多學者把上述方法進行結(jié)合,以便進一步提高運算效率。林偉軍等[4]利用基于有限差分法和離散波數(shù)法的2.5維有限差分法計算了軸對稱和非軸對稱的井孔聲場問題;王秀明等[5]利用基于有限元法和譜方法的譜元法計算了彈性波場,嚴珍珍等[6]利用譜元法模擬了汶川大地震波場傳播;馬德堂等[7-8]基于有限差分法和偽譜法的混合方法,對起伏介質(zhì)模型進行了彈性波數(shù)值模擬;Furumura等[9]用混合法模擬了1999年中國臺灣集集地震波傳播,魏星等[10]討論了混合法在天然地震波場的應用。

基于有限差分法和偽譜法構(gòu)造的混合方法,適合處理分層介質(zhì)模型,在進行波場數(shù)值模擬時,既提高了運算速度,又保證了數(shù)值求解精度,同時節(jié)約了計算機的內(nèi)存空間。本文把該方法應用于井孔聲場模擬中,從網(wǎng)格剖分、界面處理等方面驗證了該方法的可行性,并對裸眼井聲場進行了數(shù)值模擬研究。

1　計算方法原理

在笛卡爾坐標系下,定義1個x—z平面的二維均勻彈性介質(zhì)模型,介質(zhì)密度為ρ,拉梅系數(shù)為λ、μ,則介質(zhì)的速度和應力的一階偏微分方程組可以表示為

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圖1　交錯網(wǎng)格示意圖

(1) 有限差分法。對偏微分方程組(1)～(5)用交錯網(wǎng)格有限差分來近似,圖1是交錯網(wǎng)格示意圖。聲場中的各個分量按離散的空間和時間點定義,用符號Dx、Dz表示x、z方向的差分算子;am為差分系數(shù);dx、dz為x、z方向的空間步長;Nx、Nz為x、z方向的網(wǎng)格數(shù)。則速度和應力的一階空間導數(shù)寫作如下,其他分量的空間導數(shù)可以做同樣的差分表示。

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(2) 偽譜法。Dx、Dz差分算子也可以用空間傅里葉變換替代,即把空間域求導問題轉(zhuǎn)化為波數(shù)域代數(shù)乘積問題,這種對偏導數(shù)的求解方式稱為偽譜法計算。以σxx和vz為例,偽譜法計算的速度和應力一階空間導數(shù)為

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(3) 混合算法。如果對x、z方向的空間導數(shù)采用不同的計算方式,則這種計算方式便為混合算法?；旌纤惴ㄈ诤狭擞邢薏罘址ê蛡巫V法的優(yōu)點,對于分層介質(zhì)模型具有很好的使用效果。采用混合算法技術(shù),在x方向使用偽譜法,在z方向使用有限差分法,方程(1)～(5)改寫為

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2　計算方法驗證

為了驗證混合算法的可靠性,計算了x—z平面內(nèi)0.512 m×0.512 m的地層模型。在z方向包含2層介質(zhì),分界面位于z=0.212 m處,上層介質(zhì)是泥巖地層,下層介質(zhì)是灰?guī)r地層,地層參數(shù)見表1。分別采用了上述3種計算方法進行了聲場模擬,聲源為一階導數(shù)高斯源,函數(shù)表達式為s(t)=(t-t0)e-[α(t-t0)]2,t0為波形的中心時間,α=(2πf0)2/2,f0為聲源主頻。該模型被劃分為256×256個網(wǎng)格,x、z方向的空間步長均為0.002 m,時間步長為0.1 μs。聲源布置在(0.256 m,0.256 m)位置處,聲源頻率為100 kHz,在分界面(0.3 m,0.212 m)處放置了1個接收器。

表1　模型參數(shù)

圖2給出了0.04 ms時刻的x方向速度分量聲場快照圖,圖2(a)、(b)、(c)分別是有限差分法、偽譜法和混合算法計算的結(jié)果?？梢?當聲場傳播到地層分界面時,會發(fā)生反射和透射現(xiàn)象,上下界面地層均存在縱波和橫波,其中下界面地層聲速要快于上界面地層聲速。有限差分法計算的聲場在分界面處空間頻散小,分辨率高;而偽譜法計算的聲場在分界面處空間頻散嚴重,并且在z方向出現(xiàn)虛假波,這是由于介質(zhì)突變引起的,而在非分層方向則具有相當?shù)挠嬎憔?混合算法在x方向采用了偽譜法計算聲場,而在z方向采用了有限差分法計算聲場,聲場在分界面空間頻散小,有相當?shù)挠嬎憔取D3為分界面處接收器接收到的聲波波形,進一步證明了在分界面處,有限差分法(FD)計算的波形“純凈”,而偽譜法(PS)計算的波形存在較長的“拖尾”現(xiàn)象,混合算法(HY)計算的波形和有限差分計算的波形基本一致。因此,混合算法計算結(jié)果可靠,處理分層介質(zhì)聲場時具有相當?shù)木?同時又發(fā)揮了偽譜法需要計算機內(nèi)存資源少的優(yōu)勢。

圖2　分層介質(zhì)模型x方向速度分量聲場快照圖

圖3　位于分界面處接收器接收到的波形

3　井孔聲場模擬

豎直井孔是一種徑向分層地層,整個井孔關(guān)于井軸(z軸)對稱,沿井軸方向井孔和地層參數(shù)均不變,沿徑向(r軸)是流體和井外地層。井孔模型如圖4所示,井軸z左右兩側(cè)對稱,其中①為井內(nèi)流體,②為井外地層,在進行模擬計算時,只對井軸z的右側(cè)部分進行計算。針對井孔聲場問題,需要把方程(1)～(5)、方程(10)～(14)改為二維柱坐標系下的方程,可以參考文獻[11],在z方向使用偽譜法,在r方向使用有限差分法。

圖4　井孔模型

利用混合算法模擬了井孔中的聲場傳播,模型參數(shù)見表1。井外地層為砂巖,井孔半徑為0.1 m,計算區(qū)域徑向長度為3 m,軸向高度為10.24 m。整個計算區(qū)域被劃分為300×1 024個網(wǎng)格,r和z方向空間步長為0.01 m,時間步長為0.5 μs。在井軸上布置了1個聲源和5個接收器,最短源距為0.3 m,接收器間距為0.2 m,使用的聲源為一階導數(shù)高斯源,頻率為10 kHz。圖5顯示了0.2、0.4、0.6 ms和0.8 ms時刻的x方向速度聲場快照圖,由圖5可以清晰地看出,聲場由井孔內(nèi)向井外有規(guī)律地傳播,在井壁處聲場發(fā)生反射和透射現(xiàn)象,井孔內(nèi)聲場的能量要明顯強于井外地層聲場的能量。

考察井孔半徑對聲場傳播的影響,把井孔半徑增大為0.2 m,其他參數(shù)不變。圖6為接收器接收到的x方向速度波形,其中實線是井孔半徑為0.1 m時的波形,虛線是井孔半徑為0.2 m時的波形。由圖6可知井孔半徑較小時,井內(nèi)接收到的波形清晰,可以得到井外地層縱波、橫波和斯通利波等振型。而當井孔半徑較大時,接收器接收到的是隨著時間推移在井孔內(nèi)來回反射的聲波,且越到后面波形幅度越小,這不是地層的聲波信號。因為聲源離井壁較遠,聲源和接收器的距離小,聲波傳播在井壁處不滿足臨界折射條件所致。

圖5　砂巖地層井孔(x方向速度)聲場快照圖

圖6　不同井徑井孔的聲場波形(實線r=0.1 m,虛線r=0.2 m)

圖7　灰?guī)r地層井孔聲場波形

進一步考察井外地層對聲場傳播的影響。井外地層改為灰?guī)r,其他參數(shù)不變。圖7為接收器接收到的x方向速度波形。與圖6相比較,灰?guī)r地層縱波到達時間明顯要快于砂巖地層的縱波到達時間,后續(xù)到達的橫波和斯通利波幅度明顯較大,這是因為灰?guī)r地層是一種超硬地層。把井外地層改為泥巖,其他參數(shù)不變。圖8為接收器接收到的x方向速度波形。與圖6相比較,接收器接收到的波形只有縱波和斯通利波,并且泥巖地層縱波到達時間明顯要慢于砂巖地層的縱波到達時間,斯通利波幅度也小于砂巖地層的斯通利波幅度,這是因為泥巖地層是一種軟地層,由于在井壁處橫波傳播不滿足臨界折射條件,因此接收器接收不到橫波。

圖8　泥巖地層井孔聲場波形

4　結(jié)　論

(1) 混合算法融合了有限差分法和偽譜法的計算特點,適合處理分層介質(zhì)地層模型。將混合算法和其他2種方法進行了對比,驗證了它的計算結(jié)果可靠,在分層介質(zhì)地層聲場模擬時,具有相當?shù)挠嬎憔?同時需要的計算機內(nèi)存資源較少。

(2) 運用混合算法模擬了井孔聲場的傳播。在井壁處聲場會發(fā)生反射和透射現(xiàn)象,井孔內(nèi)聲場的能量要明顯強于井外地層聲場的能量;當井孔半徑較大,接收器與聲源的距離較近時,接收器接收不到地層的聲波信號;當井外地層分別是砂巖、灰?guī)r和泥巖3種地層時,接收器能測量到砂巖和灰?guī)r地層的縱波、橫波和斯通利波信息,而不能測量到泥巖地層的橫波信息。

(3) 對于更大范圍內(nèi)的井孔聲場模擬,混合算法可以使用并行機來完成大數(shù)據(jù)量的計算,因此仍具有很好的適用性。井孔聲場的模擬結(jié)果,可以為聲波測井儀器的研制和數(shù)據(jù)分析提供理論指導。